列車車軸的熱彈性振動分析

馮小庭

(西安鐵路職業技術學院，陜西 西安 710026)

0 引言

鐵道客車集中軸溫報警器是檢測鐵路客車運行軸溫、保證旅客列車運行安全的重要設備。客貨車軸溫報警器由傳輸線路、溫度傳感器、控制顯示器及數據記錄儀組成。客貨運列車100%安裝軸溫報警儀設備，對軸溫進行實時監測，其目的是對列車軸承進行運行狀態實時監測。隨著列車運營速度的不斷提升，軸承、剎車發熱對列車車軸的動態特性的影響愈加顯著，其熱彈性振動研究顯得十分必要。

有大量的文獻涉及典型結構的熱彈性振動分析[1-5]。寇海江提出了熱沖擊和碰摩故障共同作用下的旋轉懸臂板系統動力特性解析解法，討論分析得出熱沖擊和碰摩故障對薄板振動的影響規律[6]。孫凱鵬建立熱彈性梁動力學建模，并對熱彈性梁進行熱彈性有限元分析[7]。王明祿討論FGM梁在熱載荷作用下的變形和應力分布，發現熱載荷下FGM梁的應力翻轉現象[8]以及結構在濕熱磁等復雜物理場協同作用下的振動特性[9-10]。通過研究發現，列車車軸的熱彈性研究尚不多見。

本文中將列車車軸等效為簡直梁，基于Euler-Bernoulli梁理論，研究了車軸在恒定溫度場中的振動問題；應用熱彈性理論得出梁的本構關系；使用Hamilton原理推導出系統的動力學方程，并使用Rayleigh-Ritz法對方程進行離散；研究了溫度變化對車軸振動的影響。

1 系統建模

1.1 系統動能和勢能

列車在行進過程中，軸承與車軸接觸有發熱現象。將列車車軸簡化為簡支梁，在兩段受恒定熱源的加熱，如圖1所示。建立圖示的坐標系Oxyz。梁截面圓形半徑為r，長為L，橫截面積為A,彈性模量為E，截面慣性矩為I，泊松比為μ，密度為ρ，熱膨脹系數為α。假設溫度場沿橫向分部均勻。

圖1 列車車軸

梁上任意一點P0(x)變形后的位置是P，其在慣性坐標系Oxyz下的變形矢量為u=[u,w]T。

P點在慣性坐標系Oxyz下的矢徑為

r=ui+wk

(1)

式(1)對時間求導，得到P點的速度矢量

(2)

則系統的動能為

(3)

根據Euler-Bernoulli梁理論和線性熱彈性假設，即材料的彈性模量E不隨溫度變化[12]，可得材料本構方程為

σx=E[εx-α(T-T0)]

(4)

不計梁的面內拉伸變形。故系統勢能僅是彎曲變形的應變能

(5)

其中NT、MT為熱軸力、熱彎矩，表達式如下：

(6)

(7)

式中T0是參考溫度,即車軸剎車盤處的溫度。

1.2 系統運動方程

應用Hamilton原理建立系統的動力學方程。將動能、勢能、外力功的變分代入式(6)。并在任意兩個時刻積分

(8)

其中t0、t1為任意兩個固定時刻。將式(3)、式(5)代入式(6)，得系統的動力學方程為

(9)

(10)

由上式可知溫度與軸向運動之間是耦合的。考慮到橫向振動遠大于軸向振動，故僅研究橫向振動。熱響應特征時間與結構響應特征時間的比是振動的一個關鍵參數。當溫度變化緩慢或者溫度變化頻率遠小于軸向振動頻率時，即可以忽略溫度與彈性之間的耦合關系。同時，溫度沿x軸方向有變化。控制方程整理為

(11)

1.3 溫度場

當列車在剎車時，剎車盤劇烈發熱。視車軸一端的溫度恒定，即剎車與車軸連接的根部溫度是恒定的。則，此時問題轉換為一維穩定傳熱問題。將車軸散熱問題視為內部有負熱源的熱傳導問題,由一維穩態傅里葉導熱方程可知

(12)

(13)

(14)

將上式代入熱彎矩表達公式，整理再代入式(11)，即可得車軸熱彈性振動方程。可知在溫度場中的振動可以視為簡支梁受到不變激振力的強迫振動。

2 振動分析

為了研究導熱梁的一般振動，對振動方程進行無量綱化處理。用假設模態法進行求解，設運動方程的解為

(15)

已知簡支梁的固有頻率振型函數為

(16)

其中：K是剛度矩陣；KT是由于熱彈性引起的剛度變化；M是層合梁質量矩陣。廣義坐標向量q={q1,q2,…,qN}T。F是廣義力向量。依據振型的正交性，質量矩陣M的第i行、j行的元素表達式為

(17)

剛度矩陣K的第i行、j行的元素表達式為

(18)

由溫度引起的剛度矩陣KT的第i行、j行的元素表達式為

(19)

3 數值計算

設表面換熱系數hs、熱傳導系數λ不隨溫度變化，是常值。各個參數的取值如下：彈性模量E=1.75×1011Pa，車軸橫截面積A=0.026 1 m2，熱膨脹系數α=1.2×10-5m/℃，密度ρ=7 800 kg/m3，初始溫度T0=80℃，環境溫度T∞=20℃，導熱系數λ=48 W/(m·K)，表面換熱系數hs=29 W/(m2·K)。計算的時長為2 s。一般而言低階振型在振動中發揮主要作用，故截取前4階振型疊加作為車軸的實際振動。

圖2是剎車盤溫度80℃、車軸遠端20℃時的實際振動。分別截取了不同時刻的實際振動，振動幅值的數量級較小，說明實際車軸振動的幅值很小。

圖2 隨時間變化時的振動

當剎車片處的溫度變化時，車軸的振動是變化的。現考察，溫度變化與最大振幅之間的關系。剎車片在80℃～100℃的范圍變化時，研究一個振動周期內最大振幅與溫度的關系(圖3)。

圖3 剎車片端的溫度與最大振幅

由圖3可知，隨著剎車片處的溫度提高，車軸最大振幅呈現波浪上升的趨勢，這是因為溫度的提升使得熱應力增加，從而車軸的振動幅值增大。

當列車在不同的地域行進時，外界的溫度是不同的。為了簡化研究，假設環境溫度即為列車車軸遠離剎車片的軸端溫度。圖4是環境溫度與最大振幅的變化圖。

由圖4可知，隨著環境的溫度提高，車軸最大振幅呈現曲線下降的趨勢。這是因為溫差減小使得熱應力減小的緣故。

圖4 環境溫度與最大振幅

車軸所受集中力對車軸的振動也是有影響的。剎車盤溫度80℃，車軸遠端20℃時，剎車盤處施加[103N，2×103N]之間的集中載荷。考察最大振幅與集中載荷之間的關系(圖5)。

圖5 集中力與最大振幅

由圖5可知，隨著集中力的幅值增加，車軸最大振幅呈現曲線上升的趨勢。外力對車軸振幅的影響比溫度引起的變化要更加明顯。

圖6是集中力和溫度同時變化時的車軸最大振幅變化的趨勢圖。從圖6(a)可知剎車溫度越大、集中力越大時車軸的振動幅值越大。從圖6(b)可知，其他條件不變時，環境溫度越小、集中力越大時車軸的振動幅值越大。

圖6 溫度集中力同時作用時的振動

盡管車軸最大振幅的數量級是很小的，但是當車軸內部有氣孔、裂紋等加工缺陷時，劇烈的振動會惡化車軸的力學性能。因此，需要實時檢測車軸的溫度，避免軸溫過高時車軸的振動幅值增大。

4 結語

因列車車軸的熱彈性振動研究資料有限，當列車以極高的速度運行時，列車車軸的振動就不能簡單地被忽略。本文建立了一種列車熱彈性振動的簡化模型，得出軸溫的增大會使得車軸的振動加劇，這就需要對軸溫進行準確、及時地測量，同時車軸在剎車過程中受到集中載荷的作用也會使列車的振動加劇。在后續的研究中可以考慮用Timoshenko梁作為車軸振動模型的近似簡化。