磁氣組合軸承的模糊PID控制算法設計

陳李成，謝振宇，郝建勝，吳炎

(南京航空航天大學 直升機傳動技術重點實驗室, 江蘇 南京 210016)

0 引言

隨著航空、航天、醫療、化工、石油、汽車等行業的發展，普通軸承的性能已經不能滿足復雜、苛刻的使用需求。磁軸承和氣體軸承因為具有無磨損、轉速高、功耗低、噪聲小、壽命長等優點，特別適合用于高速度、高精度旋轉機械。國內外對于磁軸承和氣體軸承已經開展了大量的研究工作，磁軸承和氣體軸承的應用也日漸成熟，但是在精度要求、剛度要求、承載要求更高的場合，單一的磁軸承或者氣體軸承難以滿足使用需求。因此，磁氣組合軸承便逐漸吸引了國內外許多科研人員的關注。

在磁氣組合軸承的控制算法方面，應用最多且最成熟的是PID控制，除此之外研究的都是現代控制理論[1]，例如模糊控制、滑模變結構控制、神經網絡控制、魯棒控制、線性二次型最優控制以及自適應控制等。模糊控制是現代智能控制的一個分支，是以模糊集合理論、模糊語言變量、模糊邏輯推理及解模糊化為基礎的計算機數字控制方法。簡單來說就是使計算機能夠像人一樣對被控對象進行邏輯判斷控制。

氣體軸承的引入導致了磁氣組合軸承的工況更加復雜，而成熟的PID控制在復雜工況下又無法實現參數的自適應整定。因此，本文在考慮了氣體軸承動態承載力的情況下，研究了應用于磁氣組合軸承的模糊PID控制算法。

1 磁氣組合軸承轉子系統各環節的數學模型

圖1為采用差動控制策略的軸向磁氣組合軸承轉子系統受力圖，磁軸承的電磁力可表示為[2]

F磁=F磁2-F磁1=2kiiz-2kzz

(1)

其中：ki為電流剛度；kz為位移剛度。

氣體軸承的承載力F氣=F氣2-F氣1，則根據牛頓第二定律，磁氣組合軸承的傳遞函數可表示為

(2)

圖1 軸向磁氣組合軸承轉子系統受力圖

本文采用電渦流位移傳感器，其傳遞函數可以用一階慣性環節來表示，即

功率放大器采用電流差動控制的輸出方式，其傳遞函數用一階慣性環節來表示：

本文采用模糊PID控制器，模糊算法的具體設計將在下文詳細論述，這里僅簡要說明PID控制器的數學模型，其傳遞函數可表示成如下形式：

式中：Kp為比例系數；τi為積分時間常數；τd為微分時間常數；U(s)為控制量；E(s)為控制偏差。

2 基于PID控制器的控制算法設計與仿真

2.1 PID控制系統的設計

磁氣組合軸承控制系統傳遞函數框圖如圖2所示，其中傳感器Gs(s)、控制器Gc(s)、功率放大器Gp(s)以及磁氣組合軸承的傳遞函數在上文中已經寫明?，F將其轉換為Simulink的系統仿真模型，軸向磁氣組合軸承PID控制系統離散仿真模型如圖3所示。圖中各環節傳遞函數都已搭建完成，其中，氣體軸承只有在轉子高速轉動的情況下才會產生承載力，故用sin函數來描述轉子的轉速以及振動幅值，其動態承載力用S-Function模塊編寫的程序加載到仿真模型中。該仿真模型是基于PID控制器來設計的，其中P為比例(proportion)、I為積分(integration)、D為微分(differentiation)，比例可調節系統響應速度，積分可減小系統的穩態誤差，微分可改善系統的動態性能。

圖2 軸向磁氣組合軸承控制系統傳遞函數框

目前，PID控制器[3]以其結構簡單、魯棒性好、應用成熟等優勢成為工業上應用最廣泛的控制器。PID控制器最關鍵的一個環節是Kp、Ki、Kd等相關參數的確定。

本文利用MATLAB Simulink自帶的PID模塊對其相關參數進行自整定，獲得較好的參數后，對圖3所示的磁氣組合軸承PID控制系統仿真模型進行仿真，得到了如圖4所示的磁氣組合軸承PID控制系統響應圖。從圖4可以看出，系統響應的超調量較小，大概為0.25 V，調節時間也較短，大概為0.02 s。

圖3 磁氣組合軸承PID控制系統離散仿真模型

圖4 磁氣組合軸承PID控制系統響應圖

2.2 偏差及偏差變化率的波動范圍

下文要將系統的偏差e以及偏差變化率ec作為模糊控制器的輸入，模糊控制器的模糊論域一般為定值，本文的模糊論域取[-3，3]。然而，偏差e以及偏差變化率ec的波動范圍未必在模糊論域內，這時需要相應的量化因子，使得偏差以及偏差變化率乘以量化因子后能夠包含于模糊論域內。因此，需要根據系統的偏差以及偏差變化率的波動范圍，來初步確定模糊控制器的量化因子。

圖5為偏差的波動范圍，從圖中可以看出，在階躍信號下，偏差的波動范圍為-0.25 V～2.5 V，穩定后，偏差在±0.05 V左右波動。圖6為偏差變化率的波動范圍，從圖中可以看出，在階躍信號下，偏差變化率的波動范圍為-0.07 V～0.01 V，穩定后，偏差變化率在±0.002 5 V左右波動。

圖5 偏差波動范圍

圖6 偏差變化率波動范圍

3 基于模糊PID控制器的系統設計

模糊控制器的設計流程主要包括以下幾個步驟：確定模糊控制器的結構、確定模糊論域、確定輸入量的量化因子、確定模糊控制規則、確定解模糊化的方法、確定輸出量的比例因子。下文會具體闡述以上關鍵步驟的詳細內容。

3.1 模糊控制器的結構設計

結合本文研究的磁氣組合軸承，模糊PID控制器[4]結構如圖7所示。圖中，模糊控制器通過對軸向磁氣組合軸承控制系統的偏差e以及偏差變化率ec進行運算處理后，得到了比例、積分、微分的調節量ΔKp、ΔKi、ΔKd，再通過此調節量實時調整PID控制器中的相應參數，最終實現了模糊PID自適應整定的控制。

圖7 模糊PID控制器結構圖

3.2 輸入變量的量化因子確定

由圖7可知，模糊PID控制器的輸入量為偏差e以及偏差變化率ec，本文的模糊論域設定為[-3，3]，re為參考信號，設定為2.5 V，rk為傳感器輸出的位置信號，其輸出范圍為0～5 V，則偏差信號的范圍為[-2.5，2.5]。據此可以推斷偏差e的量化因子為3/2.5。另外考慮到安全因素，對偏差進行限幅，最終偏差e的量化因子取2。關于偏差變化率的量化因子可參考圖6來初步確定，在階躍信號下，其波動范圍為-0.07 V～0.01 V，因此，偏差變化率ec的量化因子為3/0.07，同樣對偏差變化率進行限幅，最終偏差變化率ec的量化因子取100。

3.3 模糊化

量化因子確定后，偏差e以及偏差變化率ec通過量化因子轉換成變量E和EC，假設E與EC在其模糊論域上定義了{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}7個模糊子集，即負大、負中、負小、零、正小、正中、正大。另外，上文已經提到過模糊論域設定為[-3，3]，則NB對應為-3，NM對應為-2，NS對應為-1，ZO對應為0，PS對應為1，PM對應為2，PB對應為3。

模糊子集確定后，需要確定隸屬函數。MATLAB Simulink的模糊控制工具箱中給出了11種隸屬函數，本文選用的隸屬函數為三角形隸屬函數。圖8為三角形隸屬函數的一般形式，通常三角形隸屬函數由圖中的a、b、c3個參數確定，其表達式如下所示：

圖8 三角形隸屬函數

3.4 模糊控制器的規則設計

模糊PID控制器的規則是依據理論經驗以及調試經驗來確定的[5-6]。當系統的偏差e以及偏差變化率ec發生變化時，PID的參數也要及時做出相應調整。一般的調整經驗如下：當|e|較大時，比例系數P要相應地增大，同時減小微分系數D來防止微分過飽和；當|e|較小時，減小比例系數P，增加積分系數I來獲得更好的穩態性能，在這種情況下，若|ec|較大，則減小微分系數D來增加系統抗干擾能力，若|ec|較小，則增加微分系數；當|ec|較大時，偏差變化的速率非常大，此時需要減小比例系數P，增加積分系數I來防止偏差急速地變化。

按照PID控制器的控制規律以及調試經驗，考慮Kp、Ki、Kd三個系數與e、ec的關系，設計模糊控制規則。如表1-表3所示，分別為比例系數Kp模糊控制規則表、積分系數Ki模糊控制規則表、微分系數Kd模糊控制規則表。

表1 比例系數Kp模糊控制規則表

表2 積分系數Ki模糊控制規則表

表3 微分系數Kd模糊控制規則表

3.5 解模糊化

解模糊化是獲得精確控制量的過程，使用較多的解模糊化方法有質心法、最大隸屬度法以及系數加權平均法。

本文選取的解模糊化方法為質心法(centroid)。質心法是將隸屬度函數與橫坐標圍成面積的質心作為解模糊化的輸出值，質心法的輸出控制比較靈敏，即使有較小的輸入量，輸出量也會發生變化。質心法的離散公式如下：

其中：uk為模糊規則表的相應參數，即NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB；μu(uk)為屬于uk的隸屬度乘積。

3.6 輸出的比例因子確定

比例因子是對模糊控制器的輸出量進行縮放的系數。本文的模糊控制器輸出如圖9-圖11所示，分別為比例調節量ΔKp、積分調節量ΔKi、微分調節量ΔKd。

圖9 比例調節量ΔKp的波動范圍

圖10 積分調節量ΔKi的波動范圍

圖11 微分調節量ΔKd的波動范圍

根據輸出量的波動范圍以及MATLAB Simulink的仿真可以初步確定比例因子的大小，輸出值的比例因子會影響整個系統的響應性能，比例因子越大，模糊控制輸出的調節參數對PID參數的影響就越大。

4 軸向磁氣組合軸承模糊PID控制系統仿真

軸向磁氣組合軸承模糊PID控制系統離散仿真模型如圖12所示。圖中使用了S-Function模塊對模糊控制器,即fuzzy_control進行了m語言編程。

由圖12可知，系統的偏差以及偏差變化率經過模糊控制器運算輸出調節量ΔKp、ΔKi、ΔKd；3個調節量經過比例因子縮放后與PID控制器的初始參數Kp、Ki、Kd相加得到整定后的3個參數；在通過PID控制器運算輸出控制信號；控制信號通過控制功率放大器對磁氣組合軸承進行實時控制，從而使轉子穩定懸浮。

模糊PID的控制參數如表4所示。從表中可以看出，模糊控制器輸出的比例調節量 ΔKp經過比例因子縮放后對比例系數Kp最大會產生75%的影響；同樣，積分調節量ΔKi經過比例因子縮放后對積分系數Ki最大會產生20%的影響；微分調節量ΔKd經過比例因子縮放后對微分系數Kd最大會產生17%的影響。由此可以看出，模糊控制器對PID控制器所起的調節作用還是比較大的。

表4 模糊PID控制參數

圖12 磁氣組合軸承模糊PID控制系統離散仿真模型

軸向磁氣組合軸承模糊PID與普通PID控制系統響應對比圖如圖13所示。圖中1號波形是PID控制系統仿真模型得到的系統響應圖，2號波形是模糊PID控制系統仿真模型得到的系統響應圖。從圖中可以看出，模糊PID控制器與PID控制器相比，得到的系統響應波形超調量極小，約為0.05 V，調節時間也極短，約為0.002 s。因此，本文設計的模糊PID控制器具有較好的自整定能力，使得系統具有較好的控制性能。

圖13 模糊PID與普通PID控制系統響應對比圖

5 結語

與普通PID控制相比，模糊PID控制具有參數自調整特性。仿真結果表明，模糊PID控制算法可有效改善磁氣組合軸承系統的動態性能，減少調節時間，減小超調量，提高系統的控制精度。