指向深度學習的數學習題設計

鄭圣發

深度學習需要教師創設基于情境的、具有挑戰性的學習主題，引導學生圍繞核心問題積極思考，體驗成功。設計探究性、實踐性、綜合性的習題，不僅可以在解決實際問題中考查學生的學習效果，還可以引導學生積極主動、思辨性地思考數學問題，幫助學生對數學學習和數學研究形成核心、本質的認識與理解，發展高階思維。

一、聚焦圖形特性，設計實踐性習題

引導學生充分感受圖形的特性，積累圖形研究的方法和經驗，有利于學生深刻理解圖形的本質屬性，為后續探究周長、面積、體積等知識夯實基礎。如“圓”的主題單元學習，學生不僅要認識圓的半徑、直徑、圓心等一般特征，還要認識圓的對稱性、均勻性等本質特征和學習“化曲為直”的研究方法，為后續探究圓的周長和面積起到增質提效的作用。設計實踐性的習題，有助于學生再關注、再認識圖形的本質特征，形成深刻認識和理解。以下是樣題：

你玩過陀螺嗎？下面是一個簡易陀螺，如果在陀螺上點一個黑點，快速旋轉陀螺，那么黑點會形成一個圓形的軌跡（如圖1）。圖2的幾個簡易陀螺，在x處插入小棒，猜一猜這些陀螺快速旋轉時黑點可形成一個圓形的痕跡嗎？動手試一試，你有什么發現？

這個題目以空間想象和動手實踐為抓手，聚焦圓“從圓上任意一點到圓心的距離都相等”本質特征，引導學生感受“圓周上各處的向心程度相同”的特性。教學中，需要教師經常創設這樣的實踐機會，啟發學生展開數學想象，大膽猜想，發展空間能力。還需要提供動手操作的機會，引導學生在動態操作中觀察驗證，幫助他們感受圖形的空間感與圖形的本質屬性。

二、聚焦公式推導，設計變通性習題

在圖形與幾何的教學中，公式的推導過程是學生理清知識來龍去脈，形成知識結構和思維結構的過程，是培育數學核心素養的重要方面。在教學圖形計算公式的推導過程中，引導學生思考圖形如何轉化、轉化前后位置對應關系如何變化、辨析“轉化中的變與不變”，有助于學生積累數學活動經驗，感悟數學思想方法，發展高階思維。教學圓的面積公式推導過程時，可以設計變通性的習題，引導學生再回顧、再理解公式推導過程，感悟轉化、對應、極限等數學思想。以下是樣題：

如圖3，將一個圓形紙片沿著它的半徑平均分成若干份以后剪開，可以拼成一個近似的平行四邊形。如果這個平行四邊形的周長是15.42厘米，這個圓形紙片的面積是（）平方厘米。

這一題目需要學生深刻理解圓的面積推導過程，回顧圖形轉化的過程，理清轉化前后圖形各部分的位置對應關系，把握“面積不變、周長比原來增加兩條半徑”的實質。根據轉化后的平行四邊形周長比圓的周長多兩條半徑，也就是平行四邊形的底和高分別對應圓周長的一半和半徑，推算出圓的半徑，從而計算圓的面積。這樣變通性的習題，不僅關注圓的面積計算公式推導過程，還讓學生體會到推導過程中圓的面積守恒、周長增加、逼近規則圖像等數學思想方法，發展了高階思維。

三、聚焦公式算理，設計進階性習題

圖形的周長、面積、體積的計算教學不僅要理清公式的推導過程，還需要達成對公式計算算理深刻理解的教學目標。如長方形和正方形的周長計算教學，需要緊扣周長的意義，引導學生理解長方形和正方形的周長計算的本質是把四條邊連加，再利用長方形和正方形對邊相等和四條邊相等的屬性特征，形成長方形和正方形的周長計算公式，最后利用公式解決實際問題。設計進階性習題，可以幫助學生進步理解和思考長方形和正方形周長公式的算法和算理，拾階而上，發展高階思維。以下是樣題：

1.初階題目，你能列式計算嗎？

（1）用鐵絲圍一個長12厘米，寬8厘米的長方形，至少需要多少厘米鐵絲？

（2）在邊長20厘米的正方形相框外圍貼一圈花邊，至少需要多少厘米花邊？

2.進階題目：根據算式，大膽想象。

（1）根據（6+4）×2，你能想象出這是什么樣的圖形嗎？

（2）據6×4，你能想象出這是什么樣的圖形嗎？

這組題需要學生深刻理解公式，靈活應用公式。初階題目重在引導學生利用數學模型解決實際數學問題，進階題目則基于逆向思維的設計，需要學生深刻理解周長的意義和具有豐富的空間想象能力，具備良好的分散思維能力。根據算式（6+4）×2和6×4，學生基于原有的經驗常常想到長6寬4的長方形和邊長是6的正方形，如果在教師的啟發指導下想象出平行四邊形和邊長是4的六邊形，那么他們對周長的意義和計算方法就能真正達到深刻理解。

四、聚焦實際應用，設計變式性習題

應用知識解決問題是幫助學生理解知識，發展思維能力的重要途徑。聚焦實際應用，設計變式習題，進行一題多變，對學生進行“變式訓練”，使學生根據變化的情況深入思考，設法求解，可以有效防止和消除思維僵化，培養學生思維的靈活性。以下是樣題：

如圖4，梯形的上底為5厘米，下底為9厘米，高為6厘米，你能計算陰影部分的面積嗎？

學生的解題思路多數是：先算出梯形的面積（5+9）×6÷2=42（平方厘米），再算出空白部分三角形的面積5×6÷2=15（平方厘米），然后用梯形的面積減去空白部分的面積42-15=27（平方厘米），從而求出了圖中陰影部分的面積。在此基礎上，可以引導學生猜想：改變梯形的上底，陰影部分的面積是否發生改變？學生猜想后，可以將梯形的上底改成“4厘米、3厘米、2厘米、1厘米”，再次組織學生計算陰影部分的面積。學生通過計算發現，陰影部分的面積都是27平方厘米，這說明陰影部分的面積與這個梯形的上底長度無關。這樣自然引發學生的思考：這是巧合嗎？其中是不是蘊含什么規律呢？此時，學生的思維聚焦于“為什么陰影部分的面積是由梯形的下底與高決定的”。當學生通過算式演算或者利用“幾何畫板”等信息技術工具，把兩個三角形合并形成一個底9厘米、高是6厘米的三角形時，就能明晰其中的道理并感受到數學知識的奧妙。

（責任編輯：楊強）