指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)

鄭圣發(fā)

深度學(xué)習(xí)需要教師創(chuàng)設(shè)基于情境的、具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心問題積極思考，體驗(yàn)成功。設(shè)計(jì)探究性、實(shí)踐性、綜合性的習(xí)題，不僅可以在解決實(shí)際問題中考查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，還可以引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)、思辨性地思考數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究形成核心、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解，發(fā)展高階思維。

一、聚焦圖形特性，設(shè)計(jì)實(shí)踐性習(xí)題

引導(dǎo)學(xué)生充分感受圖形的特性，積累圖形研究的方法和經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生深刻理解圖形的本質(zhì)屬性，為后續(xù)探究周長(zhǎng)、面積、體積等知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)。如“圓”的主題單元學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅要認(rèn)識(shí)圓的半徑、直徑、圓心等一般特征，還要認(rèn)識(shí)圓的對(duì)稱性、均勻性等本質(zhì)特征和學(xué)習(xí)“化曲為直”的研究方法，為后續(xù)探究圓的周長(zhǎng)和面積起到增質(zhì)提效的作用。設(shè)計(jì)實(shí)踐性的習(xí)題，有助于學(xué)生再關(guān)注、再認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)特征，形成深刻認(rèn)識(shí)和理解。以下是樣題：

你玩過陀螺嗎？下面是一個(gè)簡(jiǎn)易陀螺，如果在陀螺上點(diǎn)一個(gè)黑點(diǎn)，快速旋轉(zhuǎn)陀螺，那么黑點(diǎn)會(huì)形成一個(gè)圓形的軌跡（如圖1）。圖2的幾個(gè)簡(jiǎn)易陀螺，在x處插入小棒，猜一猜這些陀螺快速旋轉(zhuǎn)時(shí)黑點(diǎn)可形成一個(gè)圓形的痕跡嗎？動(dòng)手試一試，你有什么發(fā)現(xiàn)？

這個(gè)題目以空間想象和動(dòng)手實(shí)踐為抓手，聚焦圓“從圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等”本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生感受“圓周上各處的向心程度相同”的特性。教學(xué)中，需要教師經(jīng)常創(chuàng)設(shè)這樣的實(shí)踐機(jī)會(huì)，啟發(fā)學(xué)生展開數(shù)學(xué)想象，大膽猜想，發(fā)展空間能力。還需要提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)態(tài)操作中觀察驗(yàn)證，幫助他們感受圖形的空間感與圖形的本質(zhì)屬性。

二、聚焦公式推導(dǎo)，設(shè)計(jì)變通性習(xí)題

在圖形與幾何的教學(xué)中，公式的推導(dǎo)過程是學(xué)生理清知識(shí)來龍去脈，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)的過程，是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面。在教學(xué)圖形計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考圖形如何轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化前后位置對(duì)應(yīng)關(guān)系如何變化、辨析“轉(zhuǎn)化中的變與不變”，有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展高階思維。教學(xué)圓的面積公式推導(dǎo)過程時(shí)，可以設(shè)計(jì)變通性的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生再回顧、再理解公式推導(dǎo)過程，感悟轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)、極限等數(shù)學(xué)思想。以下是樣題：

如圖3，將一個(gè)圓形紙片沿著它的半徑平均分成若干份以后剪開，可以拼成一個(gè)近似的平行四邊形。如果這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)是15.42厘米，這個(gè)圓形紙片的面積是（）平方厘米。

這一題目需要學(xué)生深刻理解圓的面積推導(dǎo)過程，回顧圖形轉(zhuǎn)化的過程，理清轉(zhuǎn)化前后圖形各部分的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系，把握“面積不變、周長(zhǎng)比原來增加兩條半徑”的實(shí)質(zhì)。根據(jù)轉(zhuǎn)化后的平行四邊形周長(zhǎng)比圓的周長(zhǎng)多兩條半徑，也就是平行四邊形的底和高分別對(duì)應(yīng)圓周長(zhǎng)的一半和半徑，推算出圓的半徑，從而計(jì)算圓的面積。這樣變通性的習(xí)題，不僅關(guān)注圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程，還讓學(xué)生體會(huì)到推導(dǎo)過程中圓的面積守恒、周長(zhǎng)增加、逼近規(guī)則圖像等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展了高階思維。

三、聚焦公式算理，設(shè)計(jì)進(jìn)階性習(xí)題

圖形的周長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算教學(xué)不僅要理清公式的推導(dǎo)過程，還需要達(dá)成對(duì)公式計(jì)算算理深刻理解的教學(xué)目標(biāo)。如長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算教學(xué)，需要緊扣周長(zhǎng)的意義，引導(dǎo)學(xué)生理解長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算的本質(zhì)是把四條邊連加，再利用長(zhǎng)方形和正方形對(duì)邊相等和四條邊相等的屬性特征，形成長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式，最后利用公式解決實(shí)際問題。設(shè)計(jì)進(jìn)階性習(xí)題，可以幫助學(xué)生進(jìn)步理解和思考長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)公式的算法和算理，拾階而上，發(fā)展高階思維。以下是樣題：

1.初階題目，你能列式計(jì)算嗎？

（1）用鐵絲圍一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬8厘米的長(zhǎng)方形，至少需要多少厘米鐵絲？

（2）在邊長(zhǎng)20厘米的正方形相框外圍貼一圈花邊，至少需要多少厘米花邊？

2.進(jìn)階題目：根據(jù)算式，大膽想象。

（1）根據(jù)（6+4）×2，你能想象出這是什么樣的圖形嗎？

（2）據(jù)6×4，你能想象出這是什么樣的圖形嗎？

這組題需要學(xué)生深刻理解公式，靈活應(yīng)用公式。初階題目重在引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題，進(jìn)階題目則基于逆向思維的設(shè)計(jì)，需要學(xué)生深刻理解周長(zhǎng)的意義和具有豐富的空間想象能力，具備良好的分散思維能力。根據(jù)算式（6+4）×2和6×4，學(xué)生基于原有的經(jīng)驗(yàn)常常想到長(zhǎng)6寬4的長(zhǎng)方形和邊長(zhǎng)是6的正方形，如果在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下想象出平行四邊形和邊長(zhǎng)是4的六邊形，那么他們對(duì)周長(zhǎng)的意義和計(jì)算方法就能真正達(dá)到深刻理解。

四、聚焦實(shí)際應(yīng)用，設(shè)計(jì)變式性習(xí)題

應(yīng)用知識(shí)解決問題是幫助學(xué)生理解知識(shí)，發(fā)展思維能力的重要途徑。聚焦實(shí)際應(yīng)用，設(shè)計(jì)變式習(xí)題，進(jìn)行一題多變，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“變式訓(xùn)練”，使學(xué)生根據(jù)變化的情況深入思考，設(shè)法求解，可以有效防止和消除思維僵化，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。以下是樣題：

如圖4，梯形的上底為5厘米，下底為9厘米，高為6厘米，你能計(jì)算陰影部分的面積嗎？

學(xué)生的解題思路多數(shù)是：先算出梯形的面積（5+9）×6÷2=42（平方厘米），再算出空白部分三角形的面積5×6÷2=15（平方厘米），然后用梯形的面積減去空白部分的面積42-15=27（平方厘米），從而求出了圖中陰影部分的面積。在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生猜想：改變梯形的上底，陰影部分的面積是否發(fā)生改變？學(xué)生猜想后，可以將梯形的上底改成“4厘米、3厘米、2厘米、1厘米”，再次組織學(xué)生計(jì)算陰影部分的面積。學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，陰影部分的面積都是27平方厘米，這說明陰影部分的面積與這個(gè)梯形的上底長(zhǎng)度無關(guān)。這樣自然引發(fā)學(xué)生的思考：這是巧合嗎？其中是不是蘊(yùn)含什么規(guī)律呢？此時(shí)，學(xué)生的思維聚焦于“為什么陰影部分的面積是由梯形的下底與高決定的”。當(dāng)學(xué)生通過算式演算或者利用“幾何畫板”等信息技術(shù)工具，把兩個(gè)三角形合并形成一個(gè)底9厘米、高是6厘米的三角形時(shí)，就能明晰其中的道理并感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的奧妙。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）