永磁同步電機非線性自抗擾復合型控制策略研究

白晨光，魏曉靜，邱 鑫，楊建飛，葛浩銳，金 振，張永民

（1.南京師范大學 電氣與自動化工程學院，南京210046；2.中國電子科技集團公司第十四研究所，南京210039）

0 引 言

永磁同步電機（以下簡稱PMSM）是一個多變量、強耦合的非線性系統，而傳統PI控制已經不能滿足其高性能控制的要求。隨著非線性控制理論的發展，多種先進的算法被應用到電機控制中［1?2］，比如滑模變結構控制［3］、模糊控制、神經網絡控制等，這些控制方法有的實現復雜，有的存在抖振問題，還有待進一步提高。自抗擾控制（以下簡稱ADRC）是近年來發展起來的新的非線性控制算法［4］，其中的擴張狀態觀測器（以下簡稱ESO）能夠對系統內外擾動進行估計補償，大大提高系統的抗擾能力，且不依賴于系統數學模型，是整個ADRC的核心。

ADRC得到國內外學者的廣泛關注和研究，文獻［5］將線性ADRC應用在永磁電機調速系統中，雖然解決了ADRC參數多且難整定的問題，但是轉速跟蹤和抗擾動的誤差收斂速度仍然難以令人滿意。文獻［4］將電流環省去，設計了二階ADRC轉速環，并采用PD＋ESO的復合型控制策略，通過仿真說明了二階ADRC具有更好的抗擾性。文獻［6］采用非線性比例微分作為反饋控制律，結合ESO估計補償擾動，實現了較好的誤差收斂速度和較強的魯棒性。文獻［7］將模糊控制引入自抗擾控制器，利用其自適應推理估計了控制器參數，但是由于其算法復雜，運算量大，對處理器要求較高，實現起來比較困難。文獻［11］采用SMC＋ESO的復合型控制策略，與傳統SMC相比，減小了系統的抖振，提高了抗擾性能。

早期的ADRC由于其非線性結構中的參數較多，整定較困難，運用并不廣泛，之后美國克利夫蘭州立大學的高志強教授將其中的ESO線性化，AD?RC的應用才逐漸廣泛。但是線性化的ADRC在誤差收斂速度方面明顯弱于非線性的ADRC，因此可適度引入非線性結構，提高誤差收斂速度。

在文獻［4］的基礎上，本文介紹了一種非線性誤差狀態反饋（以下簡稱NLESF）＋ESO的復合型控制策略，將傳統的線性反饋替換成更高效的非線性反饋，并保留了線性ESO參數整定較少的特點。將其應用到伺服系統轉速環，利用ESO同時對轉速和擾動進行觀測，將觀測的轉速和擾動轉矩分別作為反饋量和前饋補償量，再經過NLESF輸出控制量。該復合型控制能夠兼顧系統的跟蹤精度和抗擾性能，使系統具有更快的誤差收斂速度和更強的抗擾性能。最后仿真驗證了該控制的有效性。

1 傳統轉速環線性ADRC設計

1.1 PMSM數學模型

本文的研究對象是一臺表貼式的PMSM，采用id＝0的矢量控制方式，其中d，q坐標系下的狀態方程：

式中：id，iq分別為定子電流d，q軸分量；uq為q軸電壓分量；Rs為電機定子繞組相電阻；L為電機直交軸電感；ωe為轉子電角度；ψf為轉子磁鏈；ωm為電機機械角速度；p為極對數；J為轉動慣量；TL為負載轉矩；B為粘滯摩擦系數。

為簡化控制器的設計，將電機角速度轉換成轉速，它們之間的轉換關系如下：

將式（3）代入式（2）并進行標幺化處理，得：

式中：nN為電機額定轉速；KT為轉矩系數；iqN為電機額定電流為控制量，a（t）為系統總擾動。

取電機轉速n為狀態變量x1，系統總擾動擴張為新的狀態變量x2，y為系統輸出，則系統狀態方程變為：

1.2 二階線性擴張狀態觀測器設計

結合ADRC理論對式（4）建立二階線性擴張狀態觀測器：

式中：z1，z2分別為x1（轉速），x2（擾動）的觀測估計值。

該狀態方程的特征多項式：

按照高志強教授的線性參數整定方法，該多項式形式應為（s＋ω）2才能有比較好的穩定性和過渡過程，則：

式中：ω為觀測器帶寬；ωc為轉速環系統帶寬。

由式（5）、式（6）可得觀測器誤差狀態方程：

式中：β1＝2ω，β2＝ω2。經Laplace變換得：

則由式（6）和式（10）可得各狀態觀測值：

可以看出，隨著ω的增大，觀測器收斂速度就越快。

1.3 線性狀態誤差反饋律設計

設轉速跟蹤誤差es＝n?pu－npu，求其一階導數得：

采用線性比例P反饋控制律得：

式中：kp為比例系數。

由式（13）、式（14）可得控制量：

其中，擾動量x2可由ESO觀測結果替換為z3，則式（15）變為

考慮到實際系統需要電流限幅，則控制量：

用ESO觀測得到的轉速z1代替x1作為反饋可減小系統噪聲。

圖1和圖2分別為傳統的轉速一階自抗擾控制器結構和自抗擾系統框圖。

圖1 轉速環線性一階自抗擾控制器結構框圖

圖2 轉速環線性ADRC系統結構框圖

由圖1知，當kp為一定值時，由于采用線性反饋，誤差時有這樣的特點，大誤差大增益，小誤差小增益，這樣取的控制量并不合理。而在非線性反饋中，選取合適非線性函數，可以使控制量具有小誤差大增益，大誤差小增益的特點，這種控制特點可以大大提高控制效果。

2 轉速環非線性ADRC復合控制設計

2.1 非線性函數的分析

非線性函數是ADRC的重要組成部分，合適的非線性函數會使系統的效率有很大提高。下面分別介紹兩種非線性函數fan（e，α）和fal（e，

α，δ）。

fan（e，α）是早期ADRC使用的非線性函數，它的表達式：

分別取α＝0，0.25，0.5，1時，利用MATLAB進行仿真，利用圖形直觀分析其特點。

由圖3可以看出，隨著α的增加，函數的非線性程度是隨之減弱的，且該函數在原點處不連續，在原點的導數為無窮大，因此該非線性函數在原點周圍會呈現出高頻抖動現象，基于該非線性函數設計的系統也會呈現高頻抖動，抗干擾能力欠佳。

圖3 α取不同值時的fan函數曲線

為了避免高頻抖動現象，將fan（e，α）函數改造成fal（e，α，δ）函數，其表達式：

可以看出，fal（e，α，δ）多了一個變量δ，為了便于分析，采用控制變量，在以下兩種情況下對該函數進行數值仿真。取δ＝0.01保持不變，α＝0，0.25，0.5，1時，分析α值對函數性能的影響，函數圖如圖4所示。取α＝0.25保持不變，δ＝0.01，0.05，0.1，0.2時，分析δ值對函數性能的影響，函數圖如圖5所示。

圖4 α取不同值時的fal函數曲線

圖5 δ取不同值時的fal函數曲線

從上面的仿真結果中可以看出，α值的作用和fan（e，α）一樣，影響的是函數的非線性程度，α值越小，fal（e，α，δ）函數的非線性程度就越強，α值越大，fal（e，α，δ）函數的非線性程度就越弱。一般α的取值在0～1之間；而δ的值則是函數的線性區范圍，和誤差的范圍有關。當δ取0時，fal（e，α，δ）函數就變為fan（e，α）函數，因此δ的值不宜取得過小。

采用fal（e，α，δ）的非線性誤差狀態反饋率能緩解fan（e，α）帶來的高頻抖動，并且具備小誤差大增益，大誤差小增益的優點。

2.2 非線性和線性狀態反饋抗擾性能分析

設有一階受控對象：

式中：x為狀態變量；u為控制量；a（t）為總擾動。

對它進行線性反饋：

得閉環系統：

現取狀態反饋式（21），為了使狀態變量x，在擾動a（x，t）的作用下，盡快收斂到零。對式（22）兩邊同乘x，得：

將線性反饋替換成非線性反饋：

此時閉環系統：

同線性反饋的分析得：

而實際應用時，k＞a（x，t），0＜α＜1，那么：

1

從上面的分析可知，當反饋增益k大于擾動a（x，t）得范圍時，非線性反饋的效率遠高于線性反饋，并且α冪次越小，效率就越高；由上一節分析，為了避免高頻抖動，將非線性函數換成fal（e，

α，δ）。

2.3 非線性和線性狀態反饋跟蹤性能分析

由第一節中的式（13）、式（16）可得，線性反饋的誤差狀態方程：

則系統的穩態誤差：

而引入非線性反饋后的控制量：

非線性反饋的誤差狀態方程：

則非線性反饋的穩態誤差：

由式（28）、式（31）可知，非線性反饋誤差是以指數衰減，遠比線性反饋快得多，且α越小，誤差衰減越快，穩態誤差越小。

3 仿真分析

為了驗證上述所提控制方法的控制效果，在MATLAB／Simulink環境中分別搭建了傳統PI，P＋ESO，NLESF＋ESO三種PMSM雙閉環調速系統模型，用來進行仿真驗證和分析。

表1列出了仿真用PMSM的主要參數，其中，仿真步長為10μs，控制周期為100μs。

表1 電機參數

為了更好地對比三種控制方法下的電機性能，控制量應盡量保持一致。

仿真參數設置如下：額定轉速nN＝1 000 r／min，最大電流iqN＝9 A，系數b＝71.79，轉速階躍給定為1 000 r／min。電流內環仍然采用PI控制器，d，q軸參數一樣均為Kip＝1.8，Kii＝10，限幅標幺值為±1。設置三種控制器參數，NLESF＋ESO：α＝0.5，δ＝0.02，Kp＝68，β1＝10 000，β2＝25 000 000；P＋ESO：Kp＝80，β1＝10 000，β2＝25 000 000；PI：Kp＝1.2，Ki＝80。轉速限幅標幺值為±1。

為了方便測量跟蹤性能和抗擾性能，分別做以下兩組仿真實驗：a）空載起動電機，在0.2 s時給定轉速1 000 r／min，觀測三種方式下的系統動態性能；b）空載起動電機，在0.96 s時突加5 N·m的負載，在1.2 s時卸載，觀測三種方式下的系統動態性能。

為了使仿真和實際更加接近，在仿真中加入死區模塊，死區時間設置為4μs。在轉矩輸出端加入濾波器，濾去紋波，方便圖形觀測對比。

圖6、圖7分別為空載時三種控制方法下的轉矩動態響應波形和轉速動態響應波形。

圖6、圖7可知，三種控制方法下的初始轉矩最大值基本相同，為6 N·m左右，可知三種方式的控制量也基本相同。由轉速波形分析知，傳統PI存在超調，超調量為19%，調節時間為170 ms；而P＋ESO和NLESF＋ESO的控制結構下均無超調，調節時間分別為64 ms和25 ms。

由仿真結果可知，NLESF＋ESO的結構相比于PI和P＋ESO，調節時間分別縮短85%和61%。

圖6 轉矩波形（空載）

圖7 轉速階躍響應波形（空載）

圖8、圖9分別為三種控制方法下加載和卸載額定轉矩5 N·m時的轉矩動態響應波形和轉速動態響應波形。

由圖8、圖9可知，突加負載時，傳統PI控制方式下的轉速下降為260 r／min，恢復時間為100 ms；P＋ESO控制方式下的轉速下降為32 r／min，恢復時間為30 ms；NLESF＋ESO的控制方法下的轉速下降為15 r／min，恢復時間為10 ms。突卸負載時，傳統PI控制方式下的轉速上升為290 r／min，恢復時間為100 s；P＋ESO控制方式下的轉速上升為25 r／min，恢復時間為24 ms；NLESF＋ESO的控制結構下的轉速上升為12 r／min，恢復時間為5 ms。

由上述結果可知，加載、卸載時NLESF＋ESO的結構相比于PI和P＋ESO，轉速跌落減少94%和53%；恢復時間分別縮短約90%和67%。由此可見，NLESF＋ESO的復合型控制策略大大提升了系統跟蹤精度和抗擾性能。

圖8 轉矩波形（帶載，卸載）

圖9 轉速響應波形（帶載，卸載）

4 結 語

在PMSM控制系統中，傳統的PI控制無法兼顧跟蹤性和抗擾性，而復合型的控制策略可以有效解決這個矛盾。本文在線性ADRC的基礎上，引入非線性函數，搭建了NLESF＋ESO的復合型結構，并對非線性函數的參數進行仿真分析，仿真對比了三種控制方式的性能優劣，可以得出如下結論：

1）在線性ADRC中引入非線性反饋，能大大提升誤差收斂速度，進一步提高了跟蹤進度，增強抗擾性能。

2）fan（e，α）函數是fal（e，α，δ）在δ＝0時的特殊形式，fan（e，α）在零附近存在高頻抖動，因此fal（e，α，δ）在取δ值時，避免取值過小。