Robust估計在投資組合問題中的應(yīng)用研究

陳亞男，朱 睿，畢緣媛

(1.巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥238000；2.巢湖學(xué)院 工商管理學(xué)院，安徽 合肥238000)

1 背景分析

投資組合是分散風(fēng)險的有效途徑。投資者在投資過程中追求收益越大越好，風(fēng)險越小越好。但是由于投資中不能明確定義收益和風(fēng)險，金融投資行業(yè)面臨的根本任務(wù)就是：如何在不確定的環(huán)境下有效配置資產(chǎn)，實現(xiàn)收益最大化與風(fēng)險最小化的平衡，即如何進行投資組合的選擇。一般地，研究者都假設(shè)Markowiz均值-方差投資組合模型(以下簡稱M-V模型)的收益率是對稱分布的，這導(dǎo)致資產(chǎn)收益率的樣本均值和協(xié)方差矩陣存在估計誤差。隨著時間推移，不穩(wěn)定的投資組合權(quán)重會大幅波動，擴大了該模型的局限性，使得該模型的投資效果表現(xiàn)不佳。此外，通常認為樣本均值中的估計誤差遠大于樣本協(xié)方差矩陣中的估計誤差。

Markowitz對最優(yōu)投資組合問題進行了開創(chuàng)性的研究[1]，提出采用方差度量風(fēng)險，均值度量收益，建立了均值-方差投資組合模型分散風(fēng)險。Markowitz[1]又擴展了資產(chǎn)組合選擇理論，改進了均值-方差投資組合，提出了僅僅依賴于協(xié)方差矩陣的均值-方差模型(最小方差投資組合模型)。Black和Litterman驗證了在Markowitz均值-方差模型中資產(chǎn)收益對均值和協(xié)方差矩陣非常敏感[2]。Chopra和Ziemba也證實了估計參數(shù)的微小變化能夠引起均值-方差投資組合的巨大改變[3]。Broadie的研究表明不穩(wěn)定投資組合在樣本平均和協(xié)方差方面的表現(xiàn)很差[4]。Chan證實了改進的Markowitz均值-方差投資組合不依賴于資產(chǎn)收益率均值的估計，但仍然非常容易受到估計誤差的影響[5]。Jagannathan驗證了樣本均值的估計誤差較大，忽略樣本均值投資組合的損失就會大大降低[6]。Jagannathan，DeMiguel，Jorion證明了即使夏普比率與樣本均值和協(xié)方差兩者相關(guān)的其他績效指標用于比較時，改進的Markowitz均值-方差投資組合通常表現(xiàn)得也不是更好[6-8]。這些都是由于資產(chǎn)收益率不完全滿足正態(tài)分布這個假設(shè)條件引起的。

為此，很多國內(nèi)外學(xué)者對Markowitz的均值-方差投資組合模型做了改造，即用魯棒估計量代替均值和協(xié)方差矩陣形成拓展的投資組合。Huber[9](P182-313)，Hampel[10](P89-138)，Rousseeuw和Leroy的研究表明即使當(dāng)經(jīng)驗(樣本)分布偏離正態(tài)分布時[11](P154-246)，魯棒估計量也能提供有關(guān)資產(chǎn)收益率有意義的信息。Tukey舉例說明了使用魯棒估計量的優(yōu)點[12](P448-485)。Lobo和 Body，Goldfarb 和 Iyengar在均值-方差框架中研究了魯棒投資組合問題[13-14]。Quaranta 和 Zaffaroni在期望收益滿足盒狀不確定集的條件下[15]，通過使用Soyster的方法，研究了基于CVaR的投資組合的魯棒優(yōu)化問題，解決了傳統(tǒng)均值-方差投資組合模型中估計誤差的敏感性問題和投資組合權(quán)重的不穩(wěn)定性。康志林改進了CVaR模型[16]，進一步研究魯棒優(yōu)化模型的光滑估計方法。何先影把非參數(shù)估計引入均值-絕對偏差和均值-下半絕對偏差投資組合模型的研究[17]。程夢婷結(jié)合了魯棒估計與偏距，對投資組合模型進行了研究[18]。趙慶在魯棒優(yōu)化模型中引入交易成本和現(xiàn)實約束，發(fā)展了多種魯棒估計投資組合模型[19]。Cavadini，Perret-Gentil也提出了投資組合權(quán)重對資產(chǎn)收益偏離正態(tài)分布的敏感性分析的界限[20-21]。Cavadini，Perret-Gentil的研究表明投資組合的分析界定自動地來自于資產(chǎn)回報協(xié)方差矩陣的魯棒估計量的影響函數(shù)。Jagannathan表明強制賣空限制有助于減少估計誤差對最小方差投資組合的穩(wěn)定性和表現(xiàn)的影響[6]。李雄英針對夏普指數(shù)模型使用到的回歸分析中的回歸系數(shù)易受到離群值的影響[22]，將魯棒估計引入到回歸模型中，構(gòu)建了魯棒夏普指數(shù)模型。李健通過統(tǒng)計分析和定量分析，對現(xiàn)代投資組合和魯棒估計進行總結(jié)[23]，建立了風(fēng)險不確定下的魯棒估計投資組合模型。丁碩利用Fast-MCD多變量魯棒估計方法改進了投資組合效果[24]。DeMiguel和Nogales提出了M-估計和S-估計投資組合[25]，盡管設(shè)計了新的損失函數(shù)來解決投資組合敏感性問題，但是模型相對比較復(fù)雜，計算過程中的運算量依然很大。本文在DeMiguel和 Nogales研究的基礎(chǔ)上進行改進，用Tukey損失函數(shù)代替Huber損失函數(shù)來解決M估計投資組合問題的最優(yōu)性條件隨資產(chǎn)收益分布的變化而變化的問題，從而得出這些分析范圍，不僅能夠減少計算量，而且使得模型更為簡潔。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 Markowiz均值-方差投資組合模型

Markowiz均值-方差投資組合模型(以下簡稱M-V模型)的假設(shè)條件為：資產(chǎn)的收益率的概率分布已知，以資產(chǎn)組合收益率的期望值度量不確定的收益，以方差度量投資組合的風(fēng)險，理性的投資者希望資產(chǎn)組合收益率的期望值更大，而其方差值越小；投資者遵守占優(yōu)原則，即面對相同風(fēng)險水平，選擇資產(chǎn)組合收益率大的資產(chǎn)組合；對于相同收益率，選擇風(fēng)險程度小的資產(chǎn)組合。以隨機變量Xp表示投資組合P={1,2,…,n}的投資組合收益率，則傳統(tǒng)的M-V模型為：

(1)

2.2 魯棒估計投資組合模型的建立

2.2.1 魯棒性

當(dāng)樣本分布與正態(tài)分布稍微偏離時，傳統(tǒng)投資組合估計的效率可能會大大降低。當(dāng)收益率服從正態(tài)分布的時候，魯棒估計量在投資組合模型的應(yīng)用并不像最大似然估計(MLE)那樣有效，但是它們的屬性對于正態(tài)分布的偏差并不那么敏感。因此，我們考慮風(fēng)險資產(chǎn)的收益率大部分時間是正態(tài)分布，但是風(fēng)險資產(chǎn)的收益率遵循不同的偏差分布的可能性很小。也就是說，我們假設(shè)真正的資產(chǎn)收益分布G是

(2)

在這里，μ是正態(tài)分布的均值，∑是正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣，D為偏差分布。本文的基本假設(shè)之一是投資者確實知道真正的資產(chǎn)收益分布偏離正態(tài)分布，但投資者并不知道這種偏差的參數(shù)形式。若投資者知道參數(shù)形式的偏差分布D，則通過使用最大似然估計(MLE)來估計該分布，投資者就能更好地進行投資。DeMiguel和 Nogales給出了5種偏差分布的形式[25]，本文采用第一種偏差分布。

2.2.2 損失函數(shù)

Markowitz提出的方差風(fēng)險測度是用方差來衡量資產(chǎn)收益率與收益率期望的偏差程度的指標[1]，并且方差風(fēng)險測度將異于期望收益率的所有情況均視為風(fēng)險。在投資組合優(yōu)化模型中，通常方差越大就說明這種投資組合所承擔(dān)的風(fēng)險越高，也就是說，方差越大，風(fēng)險就越大，所造成的損失也就越多。因此，損失函數(shù)ρ(r)也可以作為一種風(fēng)險測度，來衡量投資組合的有效性。投資組合中常用的幾種損失函數(shù)為Lp損失函數(shù)、L1-L2損失函數(shù)、Huber損失函數(shù)、Tukey損失函數(shù)等。其中Tukey損失函數(shù)具有良好的樣本外性質(zhì)，若將其用于魯棒M-投資組合，必須滿足兩個條件：

1)Tukey損失函數(shù)必須是對稱的，且最小值為0；

2)存在一個常數(shù)c，當(dāng)x∈[0,c]時，Tukey損失函數(shù)嚴格增加；當(dāng)x∈[c,+∞)時，Tukey損失函數(shù)為常數(shù)。

2.2.3 魯棒估計投資組合模型

將M估計用于投資組合，如何才能將風(fēng)險、收益與M估計結(jié)合起來，本文將構(gòu)造投資組合風(fēng)險的M-估計量：

(3)

其中，ρ(·)為損失函數(shù)，用于表示投資組合的風(fēng)險。本文選用Tukey損失函數(shù)，m是最優(yōu)投資組合下的M估計量，從而(3)式可以轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題來計算M估計量：

(4)

本文選擇M估計量作為魯棒估計投資組合模型的估計量，損失函數(shù)ρ(·)是最小值為0的凸對稱函數(shù)，用于表示投資組合的風(fēng)險，對于給定的投資組合權(quán)重ω，m是投資收益率的M估計量，從而(4)式可以轉(zhuǎn)化為

(5)

通常資產(chǎn)收益率的均值或協(xié)方差矩陣用作M估計量，其不足是對樣本數(shù)據(jù)中離群值十分敏感，誤差較大。故本文用Tukey損失函數(shù)來代替協(xié)方差矩陣，從而建立一種區(qū)別于M-V模型的魯棒估計投資組合模型(以下簡稱M-Tuk模型)：

(6)

如果固定ω，(6)式的目標函數(shù)的m的最小值等于(5)式中投資組合收益率風(fēng)險的M估計量。如果將投資組合的權(quán)重向量ω作為優(yōu)化問題的變量，則使得風(fēng)險最小化的M估計投資組合就建立了。

3 投資組合模型的實證分析

M-V模型對于樣本數(shù)據(jù)具有較大的依賴性，利用樣本數(shù)據(jù)計算模型的變量。一般情況下，本文采集的樣本數(shù)據(jù)并不完全服從正態(tài)分布。為克服樣本數(shù)據(jù)不完全服從正態(tài)分布這個缺點，本文使用魯棒估計方法對樣本數(shù)據(jù)進行處理，而損失函數(shù)為風(fēng)險度量。魯棒估計方法有如下優(yōu)點：一是該方法放寬了假設(shè)條件，對于資產(chǎn)收益率的分布是否滿足正態(tài)分布不作要求，更符合實際情況；二是考慮到樣本數(shù)據(jù)存在互相依賴性，該方法允許實驗中采集的數(shù)據(jù)存在相互依賴性，滿足實際中金融損失數(shù)據(jù)的研究要求。本文使用M-Tuk模型算出有效邊界，給出投資組合權(quán)重箱線圖，以及Sharpe Ratio，turnover rate等績效指標，然后與傳統(tǒng)的M-V模型進行對比分析。

3.1 數(shù)據(jù)選取與分析

為了能夠更好地研究M-V模型與M-Tuk模型的有效性，本文主要對滬深300指中20只股票的日收盤價進行研究分析，對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，算出每只股票的日收益率rti。然后，用MATLAB 2013a對rti進行分析，具體統(tǒng)計結(jié)果，見表1。

3.2 數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗

M-Tuk模型是建立在股票收益率為非正態(tài)分布基礎(chǔ)上的，因此本文需要進一步驗證數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，從股票收益率的柱狀統(tǒng)計圖以及Q-Q圖分析其正態(tài)性。

由圖1(左)柱形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可知，萬科A股票收益率序列的均值(Mean)是0.002407，標準差(Std.Dev.)是0.027344，偏度(Skewness)是0.711545，峰度(Kurtosis)是5.999888。其中，偏度值大于0，峰度值大于5，這些參數(shù)值說明序列分布有長的右拖尾，且具有尖峰和厚尾的特征。同時，Jarque-Bera統(tǒng)計量為335.3289，P值為0.00000，拒絕該指數(shù)收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。柱形圖的數(shù)據(jù)表明萬科A股票指數(shù)收益率不服從正態(tài)分布。圖1(右)Q-Q圖發(fā)現(xiàn)中直線方程為y=x，而股票收益率的Q-Q圖偏離直線y=x的程度較大。這種現(xiàn)象進一步證實了股票收益率存在非正態(tài)性。綜合上述，對萬科A股票數(shù)據(jù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)萬科A股票收益率具有波動集聚性和非正態(tài)性。

同理，用Eviews軟件畫出余下19只股票收益率的柱狀圖和Q-Q圖，經(jīng)分析圖中各類統(tǒng)計參數(shù)后得出均不服從正態(tài)分布，具體的統(tǒng)計參數(shù)分析見表2。

表1 股票收益率統(tǒng)計描述

圖1 萬科A指數(shù)收益率柱狀統(tǒng)計圖和Q-Q圖

表2 20只股票收益率的統(tǒng)計量

續(xù)表

3.3 傳統(tǒng)投資組合與魯棒投資組合有效邊界的分析

經(jīng)過上述對數(shù)據(jù)處理分析后，本文已經(jīng)斷定數(shù)據(jù)具有漸進正態(tài)性。有效邊界是指所有投資組合中，相同風(fēng)險下，收益最高的那些組合，或者說是收益相同時，風(fēng)險最低的組合，即所有投資組合機會集左上方邊界，本文只研究有效邊界的左上方邊界。不同的投資組合模型的有效邊界可能不同。具體來說，在相同風(fēng)險下，不同投資組合模型的收益不同，或在獲得相同收益的情況下，投資者使用不同的投資組合進行投資時所承擔(dān)的風(fēng)險也有所差別。本文用采集的樣本數(shù)據(jù)來研究分析M-V模型與M-Tuk模型的有效邊界。通過MATLAB 2013a軟件對樣本收益率進行分析，得到相關(guān)的有效邊界圖像，描述如圖2。

圖2 不同偏離程度下投資組合的有效邊界

從圖2中不難看出，自上而下，第一條有效邊界是h=0條件下M-Tuk模型的有效邊界，第二條是h=0.025條件下的M-Tuk模型的有效邊界，第三條是h=0.05條件下的M-Tuk模型的有效邊界，第四條是h=0條件下的改進后M-V模型的有效邊界，第五條是h=0.025條件下的改進后M-V模型的有效邊界，第六條是h=0.05條件下的改進后M-V模型的有效邊界。顯而易見，M-Tuk模型的有效邊界很明顯都位于M-V模型有效邊界的上方，這說明M-Tuk模型在選擇如何投資時有著更好的表現(xiàn)，即在保證投資風(fēng)險不變的情況下，選擇M-Tuk模型進行投資會獲得更大的收益，或在獲得相同收益的情況下，選擇M-Tuk模型進行投資會承擔(dān)更低的風(fēng)險。當(dāng)資產(chǎn)收益率存在一小部分的離群值時，即資本收益率的分布在一定程度上偏離正態(tài)分布時，選擇M-Tuk模型進行投資比選擇M-V模型進行投資更穩(wěn)定，所受影響更小。

3.4 傳統(tǒng)投資組合權(quán)重與魯棒投資組合權(quán)重的穩(wěn)健性分析

本文使用“滾動視野法(滾動地平線法)”來比較不同投資組合權(quán)重的穩(wěn)健性。投資組合權(quán)重的箱形圖給出了不同投資組合模型穩(wěn)定性的圖形表示，不同的箱形圖表示投資者選擇不同的投資組合模型進行投資時，分配給特定資產(chǎn)的投資組合權(quán)重的變動性。本文通過投資組合權(quán)重向量的箱線圖的分布情況來分析M-V模型和M-Tuk模型的穩(wěn)健性。利用MATLAB 2013a軟件編程，繪制出這6種投資組合權(quán)重向量的箱線圖，描述如圖3。

圖3 不同h下投資組合模型權(quán)重的箱線圖

圖3(a)給出了資產(chǎn)收益率不同程度地偏離正態(tài)分布(不同h下)時，M-V模型權(quán)重的箱線圖，其中圖(a1)是h=0下M-V模型的權(quán)重箱線圖，圖(a2)是h=2.5%下M-V模型的權(quán)重箱線圖，圖(a3)是h=5%下M-V模型的權(quán)重箱線圖。可以看出當(dāng)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布時，M-V模型中的每個資產(chǎn)的權(quán)重分布相對比較集中，但是隨著資產(chǎn)收益率偏離正態(tài)分布的程度越來越大時，M-V模型中的每個資產(chǎn)的權(quán)重分布越來越分散，這說明了當(dāng)資產(chǎn)收益率偏離正態(tài)分布時，M-V模型是不穩(wěn)定的。

圖3(b)給出了資產(chǎn)收益率不同程度地偏離正態(tài)分布(不同h下)時，M-Tuk模型的投資組合權(quán)重的箱線圖，其中圖(b1)是h=0下M-Tuk模型的權(quán)重箱線圖，圖(b2)是h=2.5%下M-Tuk模型的權(quán)重箱線圖，圖(b3)是h=5%下M-Tuk模型的權(quán)重箱線圖。可以看出當(dāng)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布時，M-Tuk模型中的每個資產(chǎn)的權(quán)重分布相對比較集中，圖3(b2)、(b3)表示隨著資產(chǎn)收益率偏離正態(tài)分布的程度越來越大時，M-Tuk模型中的每個資產(chǎn)的權(quán)重分布并沒有越來越分散，依然分布比較集中，即當(dāng)資產(chǎn)收益率偏離正態(tài)分布程度不同(h=0、2.5%、5%)時，M-Tuk模型中每個資產(chǎn)的權(quán)重(h=0、2.5%、5%)分布差別不是很大，甚至可以說幾乎無差別，這就說明了M-Tuk模型是相對穩(wěn)定的。

總而言之，M-Tuk模型權(quán)重的穩(wěn)定性對股票收益率分布偏離正態(tài)性的偏差最不敏感，M-V模型的權(quán)重對于偏離正態(tài)分布的收益率是非常不穩(wěn)定的。

為了進一步說明M-Tuk模型比M-V模型具有更好的穩(wěn)定性和有效性。本文決定引入股票收益周轉(zhuǎn)率和夏普比率這兩個績效指標來進一步證明上述結(jié)論。

3.5 傳統(tǒng)投資組合權(quán)重與魯棒投資組合權(quán)重的績效指標

通過上述對不同情況下的M-Tuk模型和M-V模型的有效邊界和權(quán)重的穩(wěn)健性的分析，我們已經(jīng)了解到M-Tuk模型比M-V模型更為有效和穩(wěn)定。下面引入股票收益周轉(zhuǎn)率和夏普比率這兩個績效指標來進一步討論這2種投資組合模型，分析M-Tuk模型是否是投資者的最佳選擇。利用MATLAB 2013a軟件編程，算出2種投資組合的收益周轉(zhuǎn)率和夏普比率，描述如表3。

表3 投資組合收益率的周轉(zhuǎn)率和夏普比率

表3給出了假設(shè)股票收益率服從正態(tài)分布(h=0)時，以及假設(shè)有小部分樣本股票收益率數(shù)據(jù)偏離正態(tài)分布(h=2.5%、h=5%)時，M-V模型和M-Tuk模型的樣本間方差(風(fēng)險)、樣本間夏普比率和樣本間周轉(zhuǎn)率。

隨著樣本股票收益率偏離正態(tài)分布的數(shù)據(jù)的比例增加，M-V模型和M-Tuk模型的Sharpe rat.值也在變大。這并不奇怪，因為偏離正態(tài)分布的股票收益率等于每個資產(chǎn)的期望收益加上資產(chǎn)收益率的5倍標準差，從而計算出來的夏普比率也會有一定的變化。由于M-V模型對票收益率偏離正態(tài)分布的程度更為敏感，所以隨著股票收益率偏離正態(tài)分布的數(shù)據(jù)的比例增加，M-V模型的夏普比率增長速度低于M-Tuk模型的夏普比率。而且，我們也發(fā)現(xiàn)不管股票收益率偏離正態(tài)分布的程度有多大，M-Tuk模型的周轉(zhuǎn)率都會比M-V模型的周轉(zhuǎn)率低。

總而言之，我們的研究結(jié)果表明，當(dāng)資產(chǎn)收益分布偏離正態(tài)時，M-Tuk模型獲得了比M-V模型更高的樣本中夏普比率和更低的周轉(zhuǎn)率。也就是說，M-Tuk模型比M-V模型更加穩(wěn)定，更加有效。

4 結(jié)論與建議

資產(chǎn)收益率往往是偏離正態(tài)分布的，M-V模型的估計誤差較大，這時用魯棒估計改善這種情況就顯得尤為重要了。本文就這一方面進行了嘗試性工作，用魯棒估計(M估計)代替極大似然估計(MLE)，為了減少計算量，把M估計中所使用的Huber損失函數(shù)換成Tukey損失函數(shù)。此外，本文假設(shè)資產(chǎn)收益率偏離正態(tài)分布的程度h分別為0、2.5%、5%，并且與M-V模型進行比較分析，得出以下結(jié)論：

結(jié)論一：當(dāng)資產(chǎn)收益率偏離正態(tài)分布時，且隨著資產(chǎn)收益率偏離正態(tài)分布的數(shù)據(jù)的比例增加，M-V模型的有效邊界就會越低，然而，魯棒估計投資組合的有效邊界幾乎沒有什么變化，即魯棒估計投資組合對資產(chǎn)收益率的分布偏離正態(tài)分布不太敏感。

結(jié)論二：通過對不同種投資組合模型權(quán)重箱線圖的比較，M-Tuk模型權(quán)重的穩(wěn)定性對股票收益率分布偏離正態(tài)性的偏差不敏感，M-V模型權(quán)重即使對于正態(tài)分布的資產(chǎn)收益率也是非常不穩(wěn)定的。這說明M-Tuk模型的穩(wěn)健性高于M-V模型。

結(jié)論三：對比Sharpe Ratio、Turnover等統(tǒng)計量，以及他們之間的P值，M-Tuk模型的Sharpe Ratio值最大，Turnover值最小，這說明M-Tuk模型具有更高的準確度。

盡管本文提出的魯棒估計方法在資產(chǎn)多元化管理上有較好的結(jié)果展示，但仍然有部分問題需要再做進一步的研究。譬如以Huber損失函數(shù)作為風(fēng)險度量的M估計投資組合模型是否比以Tukey損失函數(shù)作為風(fēng)險度量的M估計投資組合模型更為穩(wěn)健。為此，我們已經(jīng)做了一些相關(guān)工作，后續(xù)還需深入研究。