一階電路時域分析教學改革與實踐

高文根，陳其工，王冠凌

(安徽工程大學 電氣工程學院，安徽 蕪湖 241000)

隨著我國高教改革的深化，越來越重視培養學生的自主學習能力，在此大環境下，課堂教學學時有了較大的削減[1]，以安徽工程大學“電路分析”課程為例，課堂教學學時被削減了20%。在壓縮學時的背景下，為了提高教學效率，實現課時縮減但教學質量不縮水的目標，教學改革勢在必行[2]。動態電路分析是電路理論教學體系中的重要內容[3]，通常包括時域分析與頻域分析兩種分析方法。目前，主流的電路理論教材中一階電路時域分析法都是按零輸入響應、零狀態響應、全響應三種情況，分為三個小節來組織教學內容，每小節包含列寫電路方程、求解電路方程、討論物理意義等環節，進而給出三要素分析法[4](P147)，[5](P255)，[6](P221)。這種遞進式教學內容組織方式需要有充裕的學時作為保證，此外，一階電路三種響應的教學內容缺乏數學層面上的歸納統一，不利于學生理解動態電路的物理意義[7]。筆者結合教學中的實踐，積極探索學時壓縮背景下的電路理論教學模式改革，針對一階電路時域分析教學中存在的上述問題，探索出一種新的教學方式。從數學層面上實現一階電路三種響應教學內容的統一，引導學生實現三種響應的融會貫通；采用實際工程案例來加深學生對動態電路的物理意義的理解，激發學生的學習興趣，培養學生的工程思維。

1 一階電路的模型

動態電路中通常含有儲能元件電容或電感，由于儲能元件中的能量吐納需要一定的時間來完成，當電路換路時，電路由舊穩態過渡到新穩態會產生一個動態響應的過程。動態電路的求解方程為微分方程或積分方程，當電路方程為一階微分方程時，即為一階電路[8]。電路模型是電路分析的研究對象，是一階電路分析的基礎，在一階電路時域分析教學中，首先要建立電路的模型[9](P40)。教學中分別給出具有普適性的結構模型，以及具有統一性的數學模型。

1.1 一階電路模型的普適性解釋

目前，一階電路時域分析都是在直流激勵場景下展開教學，教材中通常采用典型的RC與RL串聯電路來進行講解，實踐教學中很多學生存在疑問，基于如此簡單的電路結構推導出的三要素公式為什么具有普適性？在實際教學中，依據戴維寧定理推出一階電路RC串聯結構模型，如圖1所示，任一線性含源電路網絡都可以等效為一個電壓源US與電阻R串聯電路；為了實現數學方程的統一，方便學生理解與記憶，根據電路理論的對偶原理，依據諾頓定理推出一階電路GL并聯結構模型，如圖2所示，任一線性含源電路網絡都可以等效為一個電流源IS與電導G并聯結構模型。由此，從電路理論層面解釋了一階電路RC串聯模型與GL并聯模型的由來，給出一階電路模型具有普適性的依據。

圖1 一階電路RC串聯結構模型

圖2 一階電路GL并聯結構模型

1.2 一階電路模型的統一性方程

依據基爾霍夫電壓定律列寫圖1所示RC串聯電路的回路電壓方程，依據基爾霍夫電流定律列寫圖2所示GL并聯電路的結點電流方程，分別為

比較式(3)與式(4)可見，RC串聯與GL并聯一階電路的方程呈對偶特性，其中RC與GL的乘積為一個常數，統一用τ表示；狀態變量電容電壓uC與電感電流iL統一用y表示；當一階電路中激勵為直流，電壓源US和電流源IS為常數，統一用A表示。一階電路模型的電路方程可歸納統一為

(5)

式(5)統一了一階電路的電路方程上，對全響應、零狀態響應和零輸入響應三種情況都適用，將三種情況歸納在一起講解，不僅節省了授課學時，提高了課堂效率，而且便于學生從數學層面理解一階電路問題，易于融會貫通一階電路的三種響應的教學內容。

2 一階電路的響應

從數學的角度來看，一階電路的分析就是求解式(5)所示的一階微分方程，這對于修完《高等數學》的學生來說，并不是難事。教學中主要側重于引導學生：推導出三要素公式、理解三要素的物理意義、一階電路響應的分解，培養學生“工程問題→數學模型→數學求解→工程應用”的工科思維[10]。

2.1 一階電路的三要素公式

式(5)所示一階微分方程的全解由其通解yh和特解yp兩部分組成，分別為

(6)

其中，k1、k2都為常數，則全解的表達式為

(7)

由式(7)，令t=∞時有k2=y(∞)；令t=0+時有k1=y(0+)-k2=y(0+)-y(∞)。代入式(7)整理得

(8)

其中，y(0+)的物理意義是電路換路后最初時刻y的初始值，對應的是電容電壓初始值uC(0+)或電感電流初始值iL(0+)；y(∞)的物理意義是電路換路后重新達到穩定狀態時y的穩態值，對應的是電容電壓穩態值uC(∞)或電感電流穩態值iL(∞)；τ是個常數，由式(8)可見τ是個時間常數，它的大小影響指數項衰減的快慢，即決定了一階電路過渡過程時間的長短，工程上一階電路的過渡過程一般為3τ～5τ。根據上述推導，一階電路響應的三要素公式可歸納為如式(8)所示，由此，一階電路分析問題則轉化為求解所求響應y的初始值y(0+)、穩態值y(∞)和時間常數τ，求解出三者的數值后，代入式(8)即可得出相應響應的解[11](P36)。

2.2 一階電路的響應分析

一階電路的響應分為零輸入響應、零狀態響應、全響應三種情況，三者都符合式(8)所示的三要素公式，即在數學上是統一的，相互之間的區別僅在于電路變量的初值、有無電源激勵的條件不同。教學中根據1.2與2.1兩節內容，結合式(5)與式(8)對一階電路響應進行分析，引導學生實現三種響應的融會貫通。

當一階電路中沒有電源作用，電路的響應僅僅由電感或電容元件的初始儲能作用產生，稱為零輸入響應。此種情況下，電壓源或電流源的數值為零，即A=y(∞)=0；電容電壓或電感電流的初始值不為零，即y(0+)≠0。代入式(8)可得零輸入響應如式(9)所示，可見零輸入響應的物理意義是儲能元件中儲能的放電過程。

(9)

當一階電路中電感或電容元件沒有初始儲能，電路的響應僅僅由電源作用產生，稱為零狀態響應。此種情況下，電容電壓或電感電流的初始值為零，即y(0+)=0；電壓源或電流源的數值不為零，即A=y(∞)≠0。由式(8)可得零輸入響應如式(10)所示，可見零輸入響應的物理意義是儲能元件在外部電流源激勵下的充電過程。

(10)

當一階電路中儲能元件的初始儲能和電源都不為零，兩者共同作用產生的響應，稱為全響應。此種情況下，y(0+)≠0，A=y(∞)≠0，全響應可表示為式(8)，其物理意義是儲能元件的儲能與外部電源共同作用所產生的過渡過程。由式(8)可見，全響應是由穩態分量(強制分量)y(∞)與暫態分量(自由分量)[y(0+)-y(∞)]e-t/τ疊加的結果。此外，式(8)可以變換為式(11)，則全響應又可理解為由零輸入響應和零狀態響應疊加的結果。

(11)

3 一階電路的工程案例

在電路理論教學中，一階電路的教學內容緊跟在一般線性電阻電路之后，一般電阻電路模型是代數方程，一階電路模型則是微分或積分方程。這種數學上的跨越是源于電路背后物理本質的不同，如果單純從理論上講解，學生難免會覺得抽象，不利于學生理解一階電路的物理意義，培養學生的工程思維。為了避免理論教學與工程實踐脫節，需要結合學生專業特點，選擇合適的工程案例進行講解，引導學生學習一階電路的物理過渡過程。本文以自動化專業為例，筆者在教學中選用“聲光控制路燈電路”作為工程案例，起到了良好的教學效果。

3.1 工程案例電路工作原理

電路理論課程是電類專業的專業基礎課，通常在低年級開設，開課時學生還沒有學習過其他相關專業課程。因此，需要介紹清楚工程案例電路的工作原理，讓學生充分了解工程案例的背景。

圖3 聲光控制路燈電路原理圖

如圖3所示，在“聲光控制路燈電路”電路中，AC/DC為直流電源電路，主要功能是將交流電轉變為直流電給聲光控制路燈系統供電。P1和P2是兩個邏輯與門電路，X11、X12、X21和X22分別是它們的輸入。R5為光敏電阻，與電阻R4構成分壓電路，當光照明亮時，R5阻值很小，使得與門P1輸入X12為低電平封鎖P1，此時無論P1輸入X11的高低，P1輸出Y1都為低電平，進而使得與門P2輸出Y2為低電平，使得三極管T2截止，繼電器K的線圈L不得電，觸點S無法閉合，路燈Y不亮。當光照昏暗時，R5阻值很大，使得P1輸入X12為高電平，此時P1輸出Y1的高低則視X11的高低而定，當沒有聲音激發拾音器RP時，由于電容C1隔直通交的性質，電源UCC與電阻R2構成三極管T1基極偏置，使得三極管T1工作在飽和區，使得P1輸入X11為低電平，其輸出Y1為低電平，P2輸出Y2為低電平，三極管T2截止，繼電器K的線圈L不得電，路燈Y不亮；當拾音器RP受到聲音激發時，產生交變信號通過電容C1影響三極管T1基極偏置，造成三極管T1截止，使得P1輸入X11為高電平，其輸出Y1為高電平，P2輸出Y2為高電平，使得三極管T2工作在放大區，繼電器K的線圈L得電導通，觸點S閉合，路燈Y被點亮。綜上所述，只有同時滿足環境光線昏暗、拾音器受到聲音激發兩個條件時，路燈才會點亮，否則路燈不亮，實現了聲光控制路燈的功能。

在“聲光控制路燈電路”工作原理介紹中，涉及模擬電子電路和數字電子電路兩門課程的相關知識，這兩門課恰好是電路理論課程的后修課程，教學中應該給予適當的交代，對學生做好引導，激發學生的學習興趣，培養學生對所學專業的認同感。

3.2 一階電路工程應用剖析

3.2.1 一階RC電路

如圖3所示，結合3.1節中的工作原理分析，當滿足光照昏暗、拾音器受到聲音激發時，P1輸出Y1為高電平時，二極管D1正向導通，與電容C2構成一階RC電路給電容C2充電，但拾音器受到聲音激發是短暫的，瞬間P1輸出Y1就由高電平恢復為低電平，由于一階RC電路的時間常數τ等于RC的乘積，二極管正向導通電阻很小(電阻阻值R6被設計的很大，可以近似忽略視)，此時時間常數τ很小，瞬間電容C2已被充滿，使得P2輸出Y2為高電平，進而驅動繼電器K的觸點S閉合，路燈Y被點亮。

當P1輸出Y1由高電平恢復為低電平后，二極管D1反向截止，此時電阻R6和電容C2構成一階RC電路供電容C2放電，由于R6阻值很大，此時時間常數τ很大，電容放電過渡過程相對緩慢，實現在一定時間內能維持P2的輸入X21和X22為高電平，即能維持P2輸出Y2為高電平，起到路燈延時照明的作用，延時長短可以通過R6和C2的參數來設計。

3.2.2 一階GL電路

當P2輸出Y2為高電平時，使得三極管T2工作在放大區，三極管T2與繼電器K的線圈L構成一階GL電路，由于一階GL電路的時間常數τ等于GL的乘積，此時三極管的等效電導G較小電阻，時間常數τ較小，線圈L快速充電，令觸點S閉合，點亮路燈Y。當電容C2經R6放電使得P2輸出Y2變為低電平，三極管T2截止，根據電感的特性，其電流不允許突變，所以在線圈L兩端設計了并聯二極管D2，該二極管作用是供三極管T2截止后線圈L續流，釋放線圈儲存的能量，避免線圈L兩端產生過電壓，損壞電路器件。由于二極管D2正向導通的電導較大，此時時間常數τ較大，電感釋放能量過程較長，沖擊較小。

4 結論

將一階電路的各個響應從數學模型上進行統一，歸納在一起列寫電路方程、求解電路方程、討論物理意義，從數學上推導出三要素公式，同時闡明三要素的物理意義，再從不同角度理解一階電路各種響應的本質，以及相互之間的關系。此外，結合工程實例講解一階電路的過渡過程特性，引導學生認識一階電路在工程中的應用，讓學生進一步理解一階電路動態響應的物理意義。通過教學實踐發現，與原有的教學方式相比，本文提出的一階電路時域分析教學方法可減少三分之一的教學課時，教學效果良好，適應課時縮減的教學需要，對新工科背景下高校電路理論課程的教學具有一定的參考意義。