肘內(nèi)式懸掛LMI優(yōu)化的多目標(biāo)輸出反饋控制研究*

胡峰波,董 勝,袁朝輝*

(1.航空工業(yè)第一飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院,陜西 西安 710089; 2.西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,陜西 西安 710129)

0 引 言

肘內(nèi)式懸掛系統(tǒng)分為固定缸筒式、擺動(dòng)式和肘內(nèi)式[1]。肘內(nèi)式油氣懸掛以高壓氣體作為彈性介質(zhì),液壓油流過可控節(jié)流孔產(chǎn)生阻尼作用,進(jìn)而達(dá)到減緩車體振動(dòng),調(diào)節(jié)車體與輪軸連接剛度的目的。

懸掛設(shè)計(jì)一般需要滿足乘坐的舒適性,操縱的穩(wěn)定性[2]和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的非飽和性[3，4]。乘坐的舒適性主要體現(xiàn)在車輛車體垂直加速度上,加速度越小，人體感覺越好。操縱的穩(wěn)定性主要體現(xiàn)在輪胎與地面的接觸和連接剛度上。執(zhí)行機(jī)構(gòu)的非飽和是指執(zhí)行機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)輸出滿足實(shí)際硬件約束。上述性能相互矛盾,實(shí)際上在這些性能要求中,只有車體垂直加速度需要優(yōu)化,其他指標(biāo)只要不超過相應(yīng)的范圍即可,所以問題可以歸結(jié)為約束系統(tǒng)的干擾抑制問題[5]。

本文提出一種肘內(nèi)式油氣懸掛的結(jié)構(gòu)形式,應(yīng)用線性矩陣不等式原理對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行優(yōu)化,并進(jìn)行優(yōu)化前后油氣懸掛性能的仿真對(duì)比。

1 肘內(nèi)式懸掛結(jié)構(gòu)分析與建模

1.1 懸掛結(jié)構(gòu)

肘內(nèi)式油氣懸掛由油氣彈簧和可控葉片式阻尼減震器組成,肘內(nèi)式懸掛結(jié)構(gòu)如圖1所示。

油氣彈簧部分包括高壓氣室、浮動(dòng)活塞、主活塞以及活塞連桿。葉片式減震器包括旋轉(zhuǎn)葉片,固定隔板,均壓油道和伺服閥控結(jié)構(gòu)。伺服閥控結(jié)構(gòu)完成阻尼力的半主動(dòng)控制作用。通過調(diào)節(jié)伺服閥的開口大小理論上完全可以改變懸掛的阻尼力進(jìn)而起到減震作用。油氣彈簧的作動(dòng)缸和平衡肘體做成一體,活塞連桿一端鉸接在懸掛上支臂上,另一端與主活塞用球鉸相連。可控阻尼減振器位于肘體內(nèi)部上端,可控阻尼減振器盤式結(jié)構(gòu)軸心與平衡肘同軸安裝。

圖1 肘內(nèi)式懸掛結(jié)構(gòu)

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在對(duì)油氣懸掛導(dǎo)向桿系合理簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上,筆者分析其結(jié)構(gòu)參數(shù)與位移,作用力之間的關(guān)系。在依據(jù)該簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)建立肘內(nèi)式懸掛模型之前,筆者做如下假設(shè):

(1)懸掛內(nèi)部部件間密封狀態(tài)良好;

(2)油液在懸掛內(nèi)部各油缸內(nèi)流動(dòng)時(shí),不考慮壓降和氣穴現(xiàn)象[6];

(3)只考慮單個(gè)輪子的運(yùn)動(dòng)情況,忽略各輪之間通過履帶的鉸鏈。

為了便于對(duì)懸掛機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,將圖1簡(jiǎn)化為懸掛結(jié)構(gòu)平面連桿如圖2所示。

圖2 懸掛結(jié)構(gòu)平面連桿OA0—懸架上支臂長(zhǎng)度;OE0—作動(dòng)缸力臂長(zhǎng)度;AD—活塞桿長(zhǎng)度;OC—平衡肘長(zhǎng)度;δ—上支臂與水平線角度;γ—靜傾角;φ—作動(dòng)缸作用半徑安裝角;α—懸架旋轉(zhuǎn)角度;s—空氣彈簧壓縮量

其中：O點(diǎn)為平衡肘軸心,其與車體固連;C點(diǎn)為車輪輪軸;A點(diǎn)為作動(dòng)缸活塞連桿頂端位置,其相對(duì)于車體固定;B點(diǎn)為作動(dòng)缸中心線與平衡肘延長(zhǎng)線的交點(diǎn);D點(diǎn)為作動(dòng)缸活塞連桿球頭位置;OE表示作動(dòng)缸力臂;O、A、C、D處均有一旋轉(zhuǎn)副,D點(diǎn)沿EB做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

懸掛結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 懸掛結(jié)構(gòu)參數(shù)

現(xiàn)將平衡肘OC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,見圖2。C點(diǎn)從C0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C′,E點(diǎn)從E0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E′,由于A(A0)點(diǎn)不動(dòng)所以D點(diǎn)從D0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D″。有:

(1)

D″(xD″,yD″)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下:

以A0(xA0,yA0)點(diǎn)為圓心,活塞桿長(zhǎng)度AD為半徑的圓方程為:

(x-xA0)2+(y-yA0)2=AD2

(2)

過E′(xE′,yE′)點(diǎn)與OE′垂直的直線(即作動(dòng)缸幾何中心線)方程為:

(3)

將式(3)代入到式(2)得:

(4)

解得:

(5)

其中:

(6)

同理，D′(xD′,yD′)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下:

(7)

其中:

(8)

最終有:

s2=(xD′-xD″)2+(yD′-yD″)2

(9)

1.3 油氣彈簧組成與動(dòng)力學(xué)分析

相對(duì)于空氣忽略油氣彈簧油液的壓縮性,初始?xì)怏w壓強(qiáng)為P0,體積為V0。氣體受外力作用,向下的位移(壓縮量)為x,此時(shí)氣室壓力和容積的變化為ΔP、ΔV,由接近真實(shí)氣體的準(zhǔn)靜態(tài)多變過程方程[7]如下:

(10)

式中:P—?dú)怏w在平衡狀態(tài)下的壓強(qiáng);V—?dú)怏w在平衡狀態(tài)下的體積;n—?dú)怏w物質(zhì)的量;R—普適氣體常量;a,b—范德瓦爾茲常數(shù);κ—多變指數(shù)。

其中,取κ=1,可得:

(11)

又因?yàn)?

(12)

式中:Ae—有效面積。

將式(11)寫成ΔP關(guān)于x的函數(shù),并將ΔP在x=0處泰勒展開,忽略高階微分項(xiàng),可求出:

(13)

氣體物質(zhì)的量可以近似求得:

(14)

可以根據(jù)式(12～14)求出Δp為:

(15)

空氣彈簧中氣體壓力為:

(16)

代入Δp忽略二階小量,式(16)可以寫成:

Fs=P0·Ae+(k1+k2)x

(17)

Ae不隨壓縮量x變化而變化,從而有:

(18)

壓縮氣體選擇空氣,簡(jiǎn)便起見,取等溫過程近似,所以在初始位置附近油氣彈簧的彈性系數(shù)為:

(19)

進(jìn)而式(17)可改寫為:

Fs=P0·Ae+k1s

(20)

1.4 減震器部分組成與動(dòng)力學(xué)分析

肘內(nèi)葉片式阻尼減振器將平衡肘軸心關(guān)節(jié)處進(jìn)行修改,將盤式減振器置于肘體內(nèi)部,與平衡肘軸同軸布置,通過花鍵與肘體連接,其主要由阻尼調(diào)節(jié)裝置、固定節(jié)流孔、外壁、旋轉(zhuǎn)葉片、限壓閥、均壓油道、隔板等組成。葉片和隔板將整個(gè)工作空間分為A,B,C,D4個(gè)區(qū)域。平衡肘上下擺動(dòng)帶動(dòng)葉片在減振器腔體中順時(shí)針(逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn),使A、C(B、D)腔受壓成高壓腔,B、D(A、C)腔成低壓腔,油液從高壓腔經(jīng)過固定節(jié)流孔和與之并聯(lián)的阻尼調(diào)節(jié)裝置流向低壓腔。阻尼調(diào)節(jié)裝置跨接在葉片減震器隔板兩側(cè)。

油氣彈簧特性模型如圖3所示。

圖3 油氣彈簧特性模型

筆者通過改變閥口開度,改變減振器節(jié)流通道,進(jìn)而改變減振器的阻尼力大小,達(dá)到半主動(dòng)式減震效果。這里改變的是可控阻尼力大小,而固定節(jié)流孔阻尼不變。減振器工作時(shí),葉片轉(zhuǎn)動(dòng),均壓油道溝通的兩腔各處壓力相等,油溫和體積彈性模量為常數(shù)。認(rèn)為盤內(nèi)外泄漏均為層流流動(dòng)。車輪軸心受到路面不平度影響產(chǎn)生擾動(dòng),進(jìn)而會(huì)在車輛重心處產(chǎn)生擾動(dòng)位移和擾動(dòng)加速度,影響車輛行駛的平順性。

由流量連續(xù)性方程可知,葉片減振器的流量為:

(21)

式中:Qf—負(fù)載流量;Q1—葉片掃過體積流量;Vt—阻尼盤等效容積;Ey—油液等效容積彈性模量;Csl—阻尼盤總泄漏系數(shù);pf—高低壓腔壓力差。

葉片掃過體積流量可以表示為：

(22)

式中:D—葉片的外徑;d—葉片的內(nèi)徑;V—車輪軸心旋轉(zhuǎn)線速度;OC—平衡肘等效半徑;h—阻尼盤厚度。

其中,阻尼盤等效截面積為:

(23)

所以式(21)可以寫成:

(24)

根據(jù)力矩平衡原理,平衡肘C點(diǎn)受到的阻尼力為:

(25)

2 懸掛數(shù)學(xué)模型

單輪懸架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型如圖4所示。

圖4 單輪懸架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型Fd—阻尼力;Fs—彈性力;xs—簧上質(zhì)量位移;xu—非簧上質(zhì)量位移;cs—固定節(jié)流孔對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的不變阻尼系數(shù);xg—路面擾動(dòng)位移;mu—車輪重量;ms—簧上質(zhì)量;kt—車輪等效彈性系數(shù);ks—油氣彈簧等效彈性系數(shù)

肘內(nèi)式油氣懸掛動(dòng)力學(xué)特性可用如下微分方程描述,即:

(26)

(27)

Fd(t)=Fmaxu

(28)

式中:Fmax—最大可調(diào)阻尼輸出力;u—控制輸入。

對(duì)式(26～28)進(jìn)行拉普拉斯變換,并且經(jīng)過整理,選取狀態(tài)變量為:

(29)

動(dòng)力學(xué)方程可以改寫為:

(30)

對(duì)于懸掛而言,控制的主要問題側(cè)重于在一定的頻率范圍內(nèi)降低車身垂直方向的加速度幅值水平,在這個(gè)過程中動(dòng)靜載荷比要保證車輛的接地性,其約束可寫為:

kt(xu(t)-xg(t))≤(ms+mu)g

(31)

作動(dòng)器行程要在設(shè)計(jì)范圍內(nèi),約束可寫為:

|(xs(t)-xu(t))|≤xmax

(32)

式中:xmax—最大懸掛動(dòng)行程。

考慮到控制目標(biāo)是減小加速度,因此控制輸出和約束輸出分別選擇為:

(33)

(34)

而測(cè)量輸出選擇為:

(35)

3 基于LMI方法的輸出反饋性能優(yōu)化

將肘內(nèi)式懸掛近似看成線性時(shí)不變系統(tǒng),筆者依據(jù)上節(jié)建模分析,系統(tǒng)狀態(tài)空間方程歸一化寫成如下形式:

(36)

式中:x—狀態(tài)變量;w—外部擾動(dòng)輸入;u—控制輸入。

現(xiàn)在需要設(shè)計(jì)控制器,使其滿足:‖Twz1(s)‖∞≤γmin,‖z2(t)‖≤1,?t≥0,閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)落在目標(biāo)LMI區(qū)域中。其中：Twz1(s)—w到z1的傳遞函數(shù)。

第二個(gè)約束可寫t為:

(37)

也就是要求從w到z2的廣義H2范數(shù)小于1。

輸出反饋控制器為:

(38)

接入系統(tǒng)后增廣系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:

(39)

其中:

Dlp,1=D11+D12DkD31

Dlp,2=D21+D22DkD31

H∞性能:存在對(duì)稱正定矩陣P1使其滿足下式[8]:

(40)

廣義H2性能:存在對(duì)稱正定矩陣P2使其滿足下式:

(41)

極點(diǎn)配置:閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)落在LMI區(qū)域[9]:

(42)

其中:

L=LT={λij}1≤i,j≤m∈Rm×m,H={μij}1≤i,j≤m∈Rm×m。

當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱正定矩陣P3滿足

(43)

在LMI框架內(nèi),需要解決這個(gè)非凸優(yōu)化問題。因此,尋求一個(gè)李雅普諾夫矩陣P:=P1=P2=P3來同時(shí)滿足上述3條約束。

(44)

(45)

X和Y是對(duì)稱正定矩陣,對(duì)不等式(40)進(jìn)行同余變換[11],則不等式(40)等價(jià)于:

(46)

(47)

(48)

4 數(shù)學(xué)仿真

對(duì)油氣懸掛系統(tǒng)模型使用上述優(yōu)化方法,筆者將測(cè)量輸出接入求得的輸出反饋控制器。控制輸出就能滿足設(shè)計(jì)性能指標(biāo)并可求出可調(diào)阻尼力Fd(t)的大小,又因?yàn)槭?25),At不變,進(jìn)而可得到減震器高低壓腔壓力差,通過改變可調(diào)節(jié)流孔大小跟蹤壓差值。

懸掛系統(tǒng)參數(shù)取值如表2所示。

表2 懸掛系統(tǒng)參數(shù)取值

優(yōu)化問題可以歸結(jié)為:

(49)

根據(jù)相關(guān)汽車平順性脈沖輸出行駛驗(yàn)證方法(GB4970.85),本文采用長(zhǎng)坡型單凸塊確定性路面輸入:

(50)

式中:l—車輛水平位移;Am—凸塊高度;L—凸塊長(zhǎng)度。

則相應(yīng)的垂直速度可以表示為:

(51)

這里選擇25 km/h和40 km/h進(jìn)行懸掛垂直加速度抑制性能分析,取Am=0.1 m,L=5 m,此時(shí)可以求出擾動(dòng)頻率為0.28 Hz≤f≤3.33 Hz。通過仿真可以得到γmin=653.468 9。

Twz1(s)系統(tǒng)優(yōu)化前后波特圖對(duì)比如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)優(yōu)化前后波特圖對(duì)比

車輛懸掛系統(tǒng)在一定范圍內(nèi)擾動(dòng)通道增益減小。

根據(jù)無窮范數(shù)定義結(jié)合波特圖求出同時(shí)在廣義H2約束下:

‖Twz1(s)‖∞=46.554 3≤γmin

(52)

圖6 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后垂直加速度對(duì)比

懸掛優(yōu)化前后車體垂直加速度有較大程度上的減小,簧上質(zhì)量振動(dòng)相對(duì)被動(dòng)式系統(tǒng)衰減較大。

懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后簧上質(zhì)量速度對(duì)比如圖7所示。

圖7 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后簧上質(zhì)量速度對(duì)比

由圖7可知,簧上質(zhì)量的速度明顯減小。

懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后非簧上質(zhì)量速度對(duì)比如圖8所示。

圖8 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后非簧上質(zhì)量速度對(duì)比

由圖8可知,非簧上質(zhì)量的速度基本保持不變。

系統(tǒng)優(yōu)化前后懸掛動(dòng)行程如圖9所示。

圖9 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后懸掛動(dòng)行程

由圖9可以看出：半主動(dòng)懸掛行程較被動(dòng)式懸掛行程有所增加,這有助于降低振動(dòng),即使行程增加也仍然小于xmax=0.1 m。

懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后車輪壓縮行程如圖10所示。

圖10 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后車輪壓縮行程

由圖10可以看出：半主動(dòng)懸掛車輪壓縮行程較被動(dòng)式懸掛車輪壓縮行程有所減小,這有助于保證車輛的接地性。

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者通過對(duì)肘內(nèi)式半主動(dòng)懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,建立起了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,在系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上應(yīng)用LMI方法,設(shè)計(jì)出了綜合考慮多目標(biāo)性能的輸出反饋控制器。

基于LMI方法設(shè)計(jì)的輸出反饋控制器,應(yīng)用范數(shù)的物理意義,使系統(tǒng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)擾動(dòng)通道增益最大值不大于性能指標(biāo)參數(shù)γ,并考慮到系統(tǒng)的硬約束條件,使系統(tǒng)外部輸入到約束輸出的廣義H2范數(shù)小與1,保證了控制的有效性。通過靈活地在LMI框架下配置系統(tǒng)的極點(diǎn)位置,使系統(tǒng)表現(xiàn)出理想的性能。

通過仿真看到：控制器在系統(tǒng)能力范圍內(nèi)明顯的減小了垂直方向加速度,改善了乘坐舒適性;動(dòng)行程和最大輸出阻尼力都小于硬件約束。