論矩陣在現實生活中的重要性

馬昕怡

摘?要：矩陣對現實生活和科學來說，是一個不可或缺常見工具，在現實生活所起重要性不言而喻，廣泛運用在人口變化及未來預測、經濟生活和社會生活、戰爭情報和商業情報傳遞、高代圖形變換等方面，廣泛被社會和大眾所接受，同時通過廣泛應用也加深對矩陣在現實生活中重要性認識和分析，大大激發了同學們學好數學積極性、主動性、創造性，以飽滿熱情投入到學習數學中去。

關鍵詞：矩陣;現實生活;重要性;應用廣泛

一、矩陣定義、由來、運算、其他特殊矩陣

據查證矩陣最先由英國數學家凱利提出，本意是子宮和控制中心的母體及孕育生命的地方。矩陣在數學上最早來自于方程組的系數及常數所構成的方陣，具體表現為縱橫排列的二維數據表格，是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合。同時矩陣作為高等代數學中的常見工具，常見于統計分析等應用數學學科和計算機科學中，具體體現在機器學習及圖形變換和三維動畫制作等方面。同時也常見于物理學電路圖等，具體體現在電路電阻串并聯或復雜電路混連、力學和牛頓三定律、光學和量子物理等方面。國內據考證矩陣于1922年由民國程廷熙在《范氏高等代數學》文章中翻譯為“縱橫陣”，并隨著時代延伸，在1993年，由中國自然科學名詞審定委員會公布“矩陣”這個名詞，并沿用至今。

矩陣實際上是一種線性變換，矩陣常見的運算最簡單莫過于加減法、數乘和轉置運算，即在理論和實際應用上，把矩陣簡單化運算，就是將矩陣分解為幾個簡單矩陣組合，分解相當于原來的線性變換可以由兩次（或多次）線性變換來表示。除此之外同時還存在一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，假若值相同的元素或者零元素在矩陣中的分布有一定規律，如Z矩陣，M矩陣，H矩陣，對角占優陣，非負矩陣;上三角矩陣/下三角矩陣，三對角矩陣，帶狀矩陣;對稱矩陣，反對稱矩陣，正交矩陣，酉矩陣，正規矩陣;辛矩陣，反辛矩陣;正態分布隨機矩陣、魔方矩陣等。

二、矩陣在現實生活中重要性

矩陣在現實生活中應用之廣，存在無可比擬的重要性。本文主要側重于體現在人口流動控制顯示方面、經濟生活運用在求消耗或成本計算方面、數學高代坐標和圖形變換計算方面、戰爭情報和商業情報傳遞方面等等，通過矩陣歸納運算等方式方法體現出直觀、方便、歸納、保密等特點，更加激發同學們學習數學興趣，提升學習高代動力。

（一）體現在地區人口普查及人口流動變換方面的重要性

矩陣高次冪在預測未來人口數量和發展趨勢或環境發生改變期間居民外出歸來等方面起著重要作用，高次冪以乘法為基礎，是由低次冪矩陣經歸納法總結所得出結論，進一步來驗證所歸納總結結果是否正確，主要運用在人口流動變換較為單一矩陣方面，可以將復雜化問題通過歸納總結得出一定規律結論，從而簡潔明了（此方法對此類問題較為適用）。

例如通過調查發現，在河北省石家莊市鹿泉區有50萬流動人口從事務農、打工、經商職業，去年和今年由于整體環境發生變化，產生影響，按上級政策要求，上述流動人口原則上幾乎不作流動。假定若干年內，流動人口總數保持不變，通過人口調查發現：

（1）在50萬流動人口中，從事農業生產人員10萬、打工人員20萬、經商人員20萬;

（2）假如從事農業生產人員每年有20%轉變為務工人員，從事農業生產人員每年有20%轉變為經商;

（3）假如打工人員由于整體環境改變影響每年有10%回家從事農業生產，20%人員轉變為經商辦企業;

（4）如經商人員中，由于受整體環境影響有10%回家從事農業生產，10%變成打工人員。

求若干年后，從事農業生產、打工人員、經商人員總數是多少？

看到類似問題，應首先想到用方程組列解，假設用xn，yn，zn分別表示n年后從事農業生產人員、從事打工人員、從事經商人員的數量，由題意可得到：

zi，則通過運算歸納規律逐步得出Xi=AXi-1結論，由低次冪計算結果來正確總結得出A，A的平方，A的立方等等，再逐步分析歸納得出相應結果：

則第n年為Xn=AnXn-1。由此不難發現從事3種行業人數由A的n次冪決定。上述問題正確運用了矩陣轉置、乘法等運算，將一個實際問題純數學化，大大解決了在預測未來人口數量和發展趨勢或環境發生改變期間居民外出歸來方面難題，由此可得出矩陣在實際生活有著不可替代重要作用，這對于我們解決實際問題重要性不言而喻。

（二）體現在經濟生活和社會生活中的重要性

學過高代都知道，矩陣是在行列式、多項式、線性方程組的基礎上演變而來的，運用行列式求消耗或運用成本最少等類似問題，可以看出方便、簡潔、直觀，增強人們可視性。這方面例子較多，在此略舉一例：

比如某某生產口罩廠家產品主要分為3種：一次性口罩、醫用口罩、N95口罩（其他類型略），出現整體環境發生變化前口罩需求量一般都較少，那時人們普遍沒有戴口罩習慣，又加上認識不到位。自2020年來，整體環境和生活環境出現了較大變化，又加上大家對個人安全保護防護認識進一步加深，戴口罩慢慢成為一種習慣，因此口罩需求量加大，要加大生產量和提升生產進度，隨之員工工資和原料費用也隨之上漲，如圖所示：

由此可見矩陣低次冪求解，可以直接按照矩陣乘法的定義求解，利用矩陣乘法，就可以得出3類口罩平時總成本107500（45000+350000+27500），環境發生改變時期總成本910000（360000+320000+230000），比較直觀顯示此工廠生產3種類型口罩總成本。

（三）體現在對機器學習或圖形變換上的重要性

在機器學習方面，首先要在數據集應用于機器學習模型前，對數據集進行預處理，如在數據去噪音、降維方面，就可提高模型預測準確率，主要表現在求解數據集協方差矩陣的特征向量，將向量值從高到低排隊，選取幾個向量值對應向量作為新的坐標向量，然后將所有數據變換新坐標系上，進而得到低噪音低維后數據集合。在圖形變換上，如在解析幾何中設立一個三角形ABC，其坐標點A（1，2），B（3，4），C（5，6）。設其向x軸反向位移2個單位，y軸正向位移2個單位，求平移后各點坐標及相應變換矩陣？

我們由題意不難得出方程x1=x0-2

y1=y0+2，由此則可得變換后坐標點A（-1，4），B（1，6），C（3，8），A1=121

341

561（矩陣變換前）

由題知：圖形變換前，A（1，2，1）、B（3，4，1），C（5，6，1）。平移矩陣后就可以得到：A（1，4，1）、B（1，6，1），C（3，8，1）。用矩陣表示A1+A0=A2，且A0=-2

2

1，A2=-141

161

381（A1和A2第一行分別表示平移前后A點坐標，第二行分別表示B點平移前后坐標，第三行分別表示C點平移前后坐標）。由此發現一種圖形變換對應一個矩陣運算，由矩陣前后變換可見圖形變換體現出直觀，簡潔，統一，奇異等特點，大大提升我們學習數學積極性、創造性，激勵我們一定要把數學這門基礎學科學好。

（四）體現在對于傳遞戰爭情報和商業情報上的重要性

如26個英文字母A、B、C、D、E、F……Z，對應相應阿拉伯數字1、2、3、4、5、6、……26，再選取一個密鑰矩陣如A=111

-101

011而對密鑰矩陣要求，即為矩陣可逆，然后求出其逆矩陣A-1，這對戰爭中情報傳遞和商業情報獲取或商業信息傳遞尤為重要。求解逆矩陣主要是以矩陣的初等變換（行、列變換）為基礎的方法，作為求逆矩陣的一般方法，并且可以推廣分塊矩陣去解決高階三角形矩陣求逆，另外就是利用矩陣與其伴隨矩陣的乘積，加上行列式的依靠依列展開式的性質求矩陣的逆矩陣。同時要求相應工作人員在熟知明文（未編碼信息）、密文（譯成代碼信息）、編碼（明文轉成代碼的教程）、譯碼（由代碼轉成明文的過程）的基礎上，熟悉工作原理，其主要原理就是選擇一個n階可逆矩陣作為加密矩陣，將明文字符按順序排列分組，將明文字符對應一個整數，組成一組列向量，用加密矩陣端乘每列向量即可。解密即把計算密鑰矩陣的逆矩陣A-1，最后得到一個明文對應于一個字符。

例如二戰時期，前蘇聯曾截獲前納粹德國一份情報，即前蘇聯一個情報人員對象發出的，I?miss?you，一般人看來無非是熱戀男女愛情表白，然前蘇聯情報人員并沒有放松警惕，由此展開研究，由情報密碼可知其對應數為9，27（空格），13，9，19，19，27（空格），25，15，21，由于加密矩陣為三階，原明碼矩陣可以變成三行陣即Y=9

11-1，則解碼，A-1AY=Y，最后通過密碼規則得出是一條重要情報，并審查出其女友是前納粹一名諜報人員，并及時改變作戰計劃和戰略部署，造成假象迷惑對方，避免人員、裝備、財產損失，為爭取戰爭主動權立下奇功。由此可見將矩陣和逆矩陣及密碼學有機結合起來，運用到軍事情報中，充分顯現矩陣運用在戰爭情報中重要性不言而喻。

同理矩陣在商業信息中運用也較為廣泛，存在不可比擬重要性，這點在現代商業中尤為突顯，把26個不同字母對應數字進行不同排列，再選擇不同可逆矩陣，不同映射關系，就是得到不同矩陣，這樣就有很多種加密和解密方式，這樣就確保傳遞商業信息秘密性，確保商業消息安全。

三、結語

通過矩陣在人口預測、經濟生活、圖形變換、戰爭和商業等方面的應用探討，充分體現出矩陣在實際生活中存在一定重要性，體現出矩陣直觀、簡潔、明了等特點，這對提升學好數學興趣、探索數學秘密，打牢數學基礎，加深矩陣研究，做好理論實踐有機結合，使矩陣廣泛運用在實際工作生活中去，更好為實際工作生活服務，具有重要意義。

參考文獻：

[1]《線性代數及其應用》（第二版）.華東理工大學出版社.

[2]《線性代數及其應用》（第二版）.天津大學數學系代數教研組.

[3]陸楓，何云峰.計算機圖形學基礎[M].北京：電子工業出版社.

[4]楊義先.高維矩陣在密碼學中應用.北京郵電學院學報.