基于最大熵原理的聯(lián)合風速風向概率密度函數(shù)建模方法

陳友慧，王 淼，劉 巖，高 陽

（1.國網(wǎng)遼寧省電力有限公司經(jīng)濟技術研究院，遼寧 沈陽110015；2.沈陽工程學院 電力學院，遼寧 沈陽110015）

0 引言

電力系統(tǒng)中的輸電線路和輸電桿塔由于受到風速和風向（即風載荷）長時間的直接作用，會產(chǎn)生傾斜、斷裂、倒塌等事故。因此研究風速、風向的概率分布及其建模，對于輸電線路、輸電桿塔等一次設備的選型、參數(shù)設計具有重要的理論和實際意義。

傳統(tǒng)上對于風速、風向的概率分布有三類研究思路。第一類研究主要側(cè)重于風速的概率分布模型，如威布爾概率分布及其改進方法[1]～[4]、瑞利概率分布及其改進方法[5]、極值概率分布及其改進方法[6]，[7]、高斯概率分布及其改進方法[8]、帕累托概率密度分布、正態(tài)分布、Gamma分布、GEV分布、最大熵分布等[9]。第二類主要側(cè)重于風向的概率分布。文獻[10]，[11]得到了風向服從高斯分布的研究成果。文獻[12]～[16]提出了風向服從不同時間級，如秒級、分鐘級、小時級的概率密度函數(shù)，但并沒有深入給出各個時間級的概率密度函數(shù)。

第三類研究是在建立風速概率密度分布模型的同時，建立風向的概率密度分布模型。文獻[17]指出，忽略風向?qū)凸澜ㄖY構的疲勞損傷。文獻[18]，[19]從結構頂部加速度響應的均方根值表征的近似解析表達式，提出了風速風向聯(lián)合分布的概率模型。文獻[20]，[21]基于Copula函數(shù)和帕累托混合模型，提出了多風向極值風速估計方法。文獻[22]～[24]提出了風向頻度概率分布，并通過與風速條件概率分布、諧波函數(shù)、對數(shù)正態(tài)分布聯(lián)合，提出了風速風向聯(lián)合概率密度分布模型。文獻[25]，[26]基于最大熵原理，建立了極值風速的Gumbel分布和風向的二階混合von Mises分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

目前，對于風速、風向概率密度的研究沒有經(jīng)過最大熵原理單獨、綜合的檢驗，因而與實際仍然具有一定的偏差。對此，本文將最大熵原理應用至風速、風向概率密度推導，繼而演繹至風速風向聯(lián)合概率密度分布。

1 基于最大熵的風速概率密度

1.1 最大熵原理

最大熵準則：通常情況下，隨機變量的概率分布一般只能測得其某種均值（如數(shù)學期望、方差等）或已知某些限定條件下的值（如峰值、取值個數(shù)等）。符合上述值的分布可能存在多種，而其中一種分布的熵最大。選用這種具有最大熵的分布作為該隨機變量的分布，是一種有效的處理方法和準則。最大熵原理用數(shù)學模型表示為

式中：x為隨機變量；p（x）為隨機變量的概率密度；S（x）為熵值；αn為p（x）的N階原點矩；N為一個較大的正整數(shù)。

1.2 最大熵風速概率密度函數(shù)

為了獲得最大熵原理下的風速概率密度函數(shù)，設某時刻風速為vt，其對應的風速概率密度函數(shù)為p（vt），將其表示至式（1）中可得：

為了求解式（2）的最大值，通常聯(lián)合約束條件構造拉格朗日函數(shù)：

式中：λ0，λ1，…，λn為拉格朗日乘子。

當式（2）獲得最大值時，式（3）中的拉格朗日函數(shù)導數(shù)為0。對式（3）進行求導可得：

式（6）即為最大熵原理下的風速概率密度分布模型。其中還存在拉格朗日乘子λ0，λ1，…，λn，可以對式（3）求偏導獲得：

式（7）等式左邊為僅含有拉格朗日乘子的待求量，右邊αi為概率密度函數(shù)p（vt）的N階原點矩，可以通過采集樣本計算得到，下面給出計算原理。

根據(jù)概率論可知，風速的概率密度分布在其變量范圍內(nèi)積分為1，即：

由式（11）可以看出：等式左邊存在λ0，λ1，…，λn未知數(shù)；右邊是通過實際測量地采集樣本的N階原點矩，可以采取M（M＞N）次測量獲得M個量測方程，采用最小二乘法予以求得。

1.3 最大熵威布爾風速概率密度函數(shù)

將風速現(xiàn)有研究成果與實際風速進行檢驗，普遍認為風速服從威布爾分布，模型為

式中：η為比例系數(shù)；k為形狀參數(shù)。

本文基于式（12）的威布爾風速分布，在最大熵風速概率密度分布基礎上，提出基于最大熵和威布爾分布的風速概率密度函數(shù)p（v）。

式中：v為風速；函數(shù)f（v，η，k）為式（12）中的威布爾概率分布。

2 高階米塞斯風向概率密度函數(shù)

我國有專門的氣象預測站預報風向，對于陸地的風向預報一般采用圓上的16方位表示，而海面上的風向預報一般采用圓上的36方位表示。對于圓上的風向連續(xù)概率分布模型，在統(tǒng)計學中一般采用馮米塞斯分布（Von Mises Distribution）（又稱為圓周正態(tài)分布），通過采集連續(xù)的16方位中的風向數(shù)據(jù)擬合概率密度函數(shù)。嚴格來說，圓周可以均勻劃分為無限個，那么根據(jù)多階混合馮米塞斯分布可得概率密度函數(shù)為[16]

式中：f（θ）為風向概率密度函數(shù)，以圓周上的風向角度θ為變量；N為混合馮米塞斯分布的階數(shù)；μi為風向所在的位置；κi為馮米塞斯分布的比例放大參數(shù)，κi≥0；ωi為混合馮米塞斯分布的各階權值。

參數(shù)κi和μi的計算式分別為[27]

目前已有的研究主要取式（14）中的低階，比如3階、4階、5階等，一般不超過5階。式（14）中的階數(shù)越高，模型精度越高，通常取決于風向概率直方圖的峰值數(shù)[27]。一般風向概率直方圖的峰值數(shù)至少有兩個，為了高精度地擬合風向概率分布，本文采取6階混合馮米塞斯分布，即式（14）中的N=6。

3 風速風向最大熵聯(lián)合概率密度函數(shù)

3.1 風速風向聯(lián)合概率密度函數(shù)

風速風向聯(lián)合概率密度實際上就是將風速概率密度、風向概率密度依據(jù)相關性原理進行表達。

式中：f（v，θ）為風速風向聯(lián)合概率密度函數(shù)；Δθ為圓周上劃分的風向角度的間隔。

由式（17）表示的風速風向聯(lián)合概率密度函數(shù)具有一定的假設前提，比如假設風速、風向具有相對獨立性，同一風向的風速概率密度相同等，因而缺乏最大熵的檢驗和校正。

3.2 風速風向最大熵聯(lián)合概率密度函數(shù)

基于前述最大熵原理，可以推導獲得風速風向的聯(lián)合概率密度函數(shù)f（v，θ）[28]。

式中：ζ為角度；g（ζ）為ζ的概率密度函數(shù)；F（v）為風速的概率分布函數(shù)；F（θ）為風向的概率分布函數(shù)。

4 算例分析

我國多個地區(qū)常年受大風天氣影響，對電網(wǎng)輸電線路和桿塔等一次設備造成極大的沖擊。對此，東北電網(wǎng)已經(jīng)建成了國內(nèi)較大型的風電場測風站，用于觀測風速和風向。本文選用東北電網(wǎng)中某大型風電場間隔10min連續(xù)5 a的50m高度測風塔獲得的風速、風向測量數(shù)據(jù)，所有數(shù)據(jù)均已經(jīng)轉(zhuǎn)換為標準值，2017年3月觀測的部分風速數(shù)據(jù)如圖1所示。風向采用16個風向方位，為了驗證本文提出的高階米塞斯概率密度，需要18組風向數(shù)據(jù)，對此采用二次數(shù)據(jù)插值技術獲得18方位風向數(shù)據(jù)，如圖2所示。圖中以0～360°劃分方向，原16風向是在0～90°，90～180°，180～270°，270～360°之間分別插入3個方向，構成16方向圖，而本文是在此16方向中任意插入2個方向，形成18方向。

圖1 部分風速數(shù)據(jù)Fig.1 Some wind seed datas

圖2 風向數(shù)據(jù)圖Fig.2Wind direction datamap

4.1 風速概率密度函數(shù)

在前文最大熵原理下分別擬合20m和80m高度的風速概率密度函數(shù)的各個參數(shù)，結果見表1，為了減少復雜度，計算過程中采用5位小數(shù)。

表1 20m和80m高度的概率密度函數(shù)參數(shù)Table 1 Parameters of probability density function for 20meters and 80meters height

將表1中的各個參數(shù)寫入到相應的概率密度函數(shù)中，可以獲得確定的概率密度。將傳統(tǒng)最大熵原理的概率密度函數(shù)、本文方法獲得的概率密度函數(shù)進行對比，采用平均絕對百分比誤差函數(shù)MAPE擬合風速數(shù)據(jù)，結果如表2所示。

式中：yi為第i個實際值；fi為第i個預測值；n為個數(shù)。

表2 20m和80m高度概率密度函數(shù)擬合結果Table 2 Fitting results of probability density function of 20 meters and 80meters height

由表2可以看出：N取值越大，對應的MAPE越小，說明高階擬合效果更好；本文方法比傳統(tǒng)最大熵原理方法具有更好的精確度。

4.2 風向概率密度函數(shù)

本文以實際16風向角度測量數(shù)據(jù)，使用6階米塞斯風向概率密度函數(shù)擬合實際風向數(shù)據(jù)，對風向概率密度擬合曲線與實際風向數(shù)據(jù)進行比較，結果如圖3所示。

圖3 風向概率密度擬合曲線與實際風向數(shù)據(jù)比較Fig.3 Comparison ofwind direction probability density fitting curve with actualwind direction data

由圖3可見，利用風向概率密度函數(shù)擬合的曲線與實際測量的風向數(shù)據(jù)具有一致的分布趨勢。在此情況下，需要進一步檢驗風速風向聯(lián)合概率密度函數(shù)的建模效果。

4.3 風速風向聯(lián)合概率密度函數(shù)

通過對風速和風向的建模，以及形成聯(lián)合概率密度函數(shù)，與實測數(shù)據(jù)進行檢驗，結果見圖4。

圖4 本文概率密度函數(shù)與實測數(shù)據(jù)比較Fig.4 This paper compares the probability density function with themeasured data

由圖4可以看出，本文提出的風速風向概率密度函數(shù)能夠準確地擬合實際風的情況。在1 200～1 300個樣本點出現(xiàn)擬合效果不佳的情況，是由這個階段寒流導致的風速突變較大引起的。

5 結語

實際的風載荷是由風速和風向兩部分構成，因此在研究風載荷對輸電線路和輸電桿塔等一次設備的沖擊時，有必要建立風速風向的聯(lián)合概率密度模型。本文基于最大熵原理，構建了風速的概率密度模型及風向的高階米塞斯概率密度模型，進一步形成了最大熵原理下的風速風向聯(lián)合概率密度模型，通過仿真，驗證了該模型具有較高的精度。