立足“前概念”的數學概念教學探索

華鎧

摘要：學生在學習數學概念之前，通常都會在日常生活和先前學習經驗的基礎上形成“前概念”——與新概念相關的認識。有些前概念是對新概念的不完整或不全面理解，有些前概念是對新概念的錯誤理解，有些前概念是與新概念相近的正確的舊概念;此外，學生的前概念中很可能缺少對一些相關概念的認識。教師應該根據不同類別的前概念對數學概念學習的影響，采取相應的教學策略，“輕負高效”地展開教學。以《體積和容積》一課為例來說明。

關鍵詞：前概念;數學概念教學;以學定教;《體積和容積》

美國著名教育心理學家奧蘇伯爾說過：“影響學習的唯一重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學。”學生在學習數學概念之前，通常都會在日常生活和先前學習經驗的基礎上形成“前概念”——與新概念相關的認識。前概念會影響新概念的學習。因此，教師在數學概念的教學中，不能對學生做簡單的“灌輸”，而應該探明學生的前概念，并據此引導、幫助學生建構、理解新概念。

具體來說，有些前概念是對新概念的不完整或不全面理解。這些前概念與新概念并不相悖，也無沖突，反而是學習新概念的生長點。教師要引導學生基于這一類前概念，自然建構新概念。有些前概念是對新概念的錯誤理解。這些前概念與新概念大相徑庭，彼此沖突，因而是學習新概念的障礙物。教師要幫助學生摒棄這一類前概念，從而排除干擾，真正理解新概念。有些前概念是與新概念相近的正確的舊概念。這些前概念與新概念的區別很微小，因而很難辨別、容易混淆。教師要引導學生通過比較，辨析這一類前概念，從而不僅建構新概念，而且完善知識結構。此外，學生的前概念中很可能缺少對一些相關概念的認識。數學概念教學還要幫助學生聯系相關概念，完善知識結構，充分理解新概念。也就是說，教師應該根據不同類別的前概念對數學概念學習的影響，采取相應的教學策略，“輕負高效”地展開教學。

下面，以《體積和容積》一課為例，談談筆者的做法。

一、探明學生的各類前概念

六年級學生在學習“體積”和“容積”這兩個概念之前，對它們的認識并非一張白紙。課前，筆者設計調查問卷，調查學生對“體積”和“容積”的前概念。結果表明，學生的不完整或不全面前概念有：大部分物體都占有一定的空間，看不見的物體不占有空間;物體占有的空間有大有小;容器中裝了物體，物體的體積就是容器的容積。學生的錯誤前概念有：表面積大，物體占有的空間就大;質量重，物體占有的空間就大;形狀發生變化，物體占有的空間大小也變化;體積大的物體容積一定大。學生的易混淆前概念有：物體的容積就是體積。學生的前概念中缺少對長度、面積等相關概念的認識。

二、根據學生的各類前概念，引導、幫助學生建構、理解新概念

（一）基于不完整或不全面的前概念，建構體積概念

由上述調查結果可知，學生對“體積”有不完整或不全面的前概念。因此，教師可以創設有趣的情境，激活學生這樣的前概念，在此基礎上引導學生類比舉例、推向一般（特別需要引導學生認識到，空氣等看不見的物體也占有空間），從而水到渠成地建構體積概念。具體的教學片段如下：

師劉謙的魔術很受歡迎，今天老師也來變個魔術。（演示實驗：準備甲、乙兩個完全相同的杯子，在乙杯中放入一些石塊，在甲杯中倒滿水，再將甲杯中的水倒入乙杯，發現乙杯溢出一些水）兩個相同的杯子為什么裝不下一樣多的水呢？

生因為乙杯中有石塊。

師為什么杯子里有石塊，就裝不下這么多水了呢？

生因為石塊占了一定的地方。

師是的。數學上，我們說石塊占空間。（稍停）除了石塊占空間，找一找，還有什么占空間？想一想，什么不占空間？

生鉛筆占空間。

生書本占空間。

生空氣占空間。

……

生任何物體都占空間。

師人占空間嗎？

生占。

師那老師和××同學比，你發現了什么？

生老師占的空間大，同學占的空間小。

師物體所占空間的大小叫作物體的體積。

（二）摒棄錯誤的前概念，理解體積概念

由上述調查結果可知，學生對“體積”錯誤的前概念，集中體現在對體積與面積、質量、形狀關系的認識上。因此，教師需要創設比較的情境，激發學生的認知沖突，讓學生感到自己的前概念失去了作用，不能解釋當前的現象，不能解決當前的問題，從而主動摒棄錯誤的前概念，真正理解體積概念。具體的教學片段如下：

師（出示兩本書，第一本封面面積大，但書薄;第二本封面面積小，但書厚）這兩本書，誰的體積大？為什么？

生第一本的體積大，因為它的面積比較大。

師第一本確實有兩個面的面積很大，但是體積就一定大嗎？（將第一本書折起來）現在你有什么發現？

生這本書雖然有兩個面的面積大，但是它薄。折起來看，兩本書的體積一樣大。

師快速判斷：一斤棉花和一斤鐵塊，誰的體積大？

生體積一樣大，因為都是一斤。

師質量一樣，體積就一樣嗎？或者說，質量大，體積就大嗎？（出示一個氣球和一個皮球，讓學生掂一掂、看一看）誰的質量大？誰的體積大？

生氣球質量小，但是體積大;皮球質量大，但是體積小。

師（出示一塊橡皮泥）這塊橡皮泥所占空間的大小是這塊橡皮泥的——

生體積。

師（把橡皮泥搓圓、壓扁）現在與原來比，形狀發生變化了嗎？體積發生變化了嗎？為什么？

生形狀變了，體積沒變，因為還是同一塊橡皮泥。

師形狀不同，體積不一定不同。

（三）辨析易混淆的前概念，建構容積概念

由上述調查結果可知，學生對“容積”雖然有不完整或不全面的前概念，也有錯誤的前概念，但是其產生的根源在于易混淆的前概念，即體積概念。因此，教師應該引導學生多角度、多層次地對比容積與體積，看清兩個概念之間的聯系與區別，從而既建構容積概念，又完善與體積概念有關的知識結構。初步認識容積概念后，教學片段如下：

師（出示一個木盒和一個魔方）這里的木盒和魔方，誰的體積大？誰的容積大？

生木盒的體積大。魔方沒有容積。

師沒錯。物體都有體積，但只有容器有容積。那么，木盒的體積和容積，哪個大？

生木盒的體積比容積大。

師是的。同一個物體，它的體積總是比容積大，因為壁有厚度。

（四）聯系更多的相關概念，完善與體積概念有關的知識結構

由上述調查結果可知，學生對“體積”的前概念中還缺少對更多相關概念的認識。因此，教師可以聯系更多的相關概念，幫助學生進一步完善與體積概念有關的知識結構。這樣，學生對體積概念的認識才不孤立、更穩固，理解才算到位，學習才算高效。具體來說，可以引導學生由比較一維的長度到比較二維的面積再到比較三維的體積——

師（出示兩條邊，一條長6厘米，另一條長5厘米）誰大？比的是什么？

生第一條大，比的是長度。

師（加上寬，形成面，一個是邊長6厘米的正方形，另一個是邊長5厘米的正方形）現在誰大？比的是什么？

生第一個大，比的是面積。

師（加上高，成為體，一個是棱長6厘米的正方體，另一個是棱長5厘米的正方體）誰大？比的是什么？

生還是第一個大，比的是體積。

最后需要指出的是，數學概念往往抽象程度高，牽涉范圍廣，其學習往往不能一步到位，需要螺旋上升。比如，在后續“體積與容積的單位”“長方體和正方體的體積計算”等內容的教學中，教師需要引導學生不斷深入地理解體積與容積的概念。