經歷推理過程，促進知識理解

許葛倩

摘要：培養推理能力是數學教學的重要目標，而通過推理過程也可以促進知識理解?！俺朔ǚ峙渎伞钡慕虒W，可以引導學生充分經歷推理過程，從而發展推理能力，并且促進知識理解：舉例猜想驗證，經歷歸納推理;借助幾何直觀，經歷類比推理;基于已有知識，經歷演繹推理。

關鍵詞：數學推理;乘法分配律;歸納推理;類比推理;演繹推理

推理是數學思維的基本方式，也是發現（創造）數學知識的重要途徑。培養推理能力是數學教學的重要目標，而通過推理過程（建立知識聯系）也可以促進知識理解（建構）。數學推理包括歸納、類比等以經驗和直覺為依據的合情推理，以及以邏輯的規則為依據的演繹推理。兩種推理協同發展，才能真正培養數學的探索發現（創新）能力。

曹培英教授指出：“與合情推理被張揚并存的是，傳統小學數學的教學內容中，有很多尚待發掘的演繹推理。” 在“乘法分配律”的教學中，許多教師往往只引導學生觀察、比較幾組等式，便歸納得出運算律，而沒有讓學生通過其他推理方式檢驗（說明）。實際上，這一內容的教學可以引導學生充分經歷推理過程，從而發展推理能力，并且促進知識理解（建構）。

一、舉例猜想驗證，經歷歸納推理

歸納推理是從特殊例子推出一般規律或者從個別事實得到一般結論的過程。它是人們日常生活中用得最多的推理方式，很符合小學生的年齡和思維特征。在歸納推理中，教師特別要引導學生注意例子有沒有全面性和典型性，從而使得出的結論更科學;關注有沒有出現反例，從而使得出的結論更可靠。

在“乘法分配律”的教學中，教師可以引導學生通過舉例猜想驗證乘法分配律，從而經歷歸納推理。筆者的教學過程如下：

[教師出示蘇教版教材例題，引導學生采用兩種方法計算，得到等式（6+4）×24=6×24+4×24。]

師該式子有什么特點？等號兩邊有什么聯系？

生等號兩邊都有6、4、24，左邊先算6與4的和，再算它與24的積;右邊先分別算6與24、4與24的積，再算它們的和。

師我們可以大致提煉出“三個數”“先加再乘”“先乘再加”的特點。你能猜想出什么結論？

生兩個數相加再乘一個數等于這兩個數分別乘那一個數再相加。

師好的。因為我們對式子的特征有了一點感覺，所以可以先猜想一般的結論。而如果我們對式子的特征沒有感覺，則可以類似地再寫幾組這樣的算式，算一算兩邊是否相等，看看式子相等時具有什么特征。有了猜想，下面要做什么？

生驗證。

師怎么驗證？

生舉例。

師沒錯，還是舉例。不管是猜想還是驗證，都需要舉例，需要舉出更多的例子。我們有四十幾位同學，如果每人舉一個例子，就有四十幾個例子了。那就請大家根據剛才的猜想在作業紙上每人寫一個例子，再看看兩邊是不是相等。開始吧！

（學生舉例。）

師老師發現有同學寫出了三位數的例子，真好！當然，舉例時除了考慮較大的數，還要考慮一些特殊的數，如0、1等。

（學生舉出更多的例子。）

師我們舉出了很多例子，還舉出了一些比較特殊的例子，使例子具有了全面性和典型性;同時，我們沒有發現反例。因此，可以初步說明猜想是正確的。其實，這個猜想就是乘法分配律，用字母代替數字寫成算式是：（a+b）×c=a×c+b×c。

二、借助幾何直觀，經歷類比推理

類比推理是根據兩個對象在某些屬性上相同或相似，通過比較推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的過程。在數學中，數與形有著密切的關系，是重要的類比對象?？吹匠橄蟮臄祷蚴?，要類比聯想其幾何意義，借助幾何直觀推理結論，進而理解意義。

在“乘法分配律”的教學中，教師可以引導學生聯想兩數相乘的幾何意義，借助幾何直觀說明乘法分配律，從而經歷類比推理。筆者的教學過程如下：

師還有其他方法說明乘法分配律成立嗎？

（學生思考。）

師可以從幾何意義的角度考慮：兩個數相乘在幾何圖形中相當于求什么？

生求長方形的面積。

師什么樣的長方形？

生長和寬分別是這兩個數的長方形。

師很好！我們先來看乘法分配律的一個特殊情況，如（4+5）×3=4×3+5×3，它的左邊相當于求什么？右邊呢？畫出圖形，看看左右兩邊相等嗎？

生（出示圖1）左邊的（4+5）×3算的是大長方形的面積;右邊的4×3、5×3分別算的是兩個小長方形的面積，合起來也是大長方形的面積。

師說得真好！其他例子都能放到長方形中說明嗎？

生能。

師那一般情況（a+b）×c=a×c+b×c呢？（出示圖2）我們一起來結合長方形的面積說一說。

（學生指圖說明。）

三、基于已有知識，經歷演繹推理

由于合情推理得出的結論具有或然性（不可靠），所以，數學研究特別重視演繹推理，從而追求結論的必然性（可靠）。這也是數學研究理性精神最重要的體現。雖然小學生的思維以具體形象思維為主，但是在高年段，抽象邏輯思維已經開始發展。因此，教師在教學中可以適當引導學生開展演繹推理，即從已有知識（結論）出發，依據邏輯規則進行推理，使學生走出主要依靠經驗和直覺的合情推理的局限，更加嚴謹地思考問題。

在“乘法分配律”的教學中，教師可以引導學生基于乘法的意義以及加法交換律和結合律，推導乘法分配律，從而經歷演繹推理。筆者的教學過程如下：

師我們能不能從已有的知識出發，更加嚴謹地推理得到乘法分配律？

（學生思考。）

師根據所學，乘法的意義是什么？

生幾個相同加數的和。

師沒錯。這樣，乘法就能變成加法。同時，我們還學過加法的兩個運算律，是什么？

生加法交換律、加法結合律。

師我們能不能試著推理一下？還是先來看（4+5）×3=4×3+5×3這個特殊情況，它的左邊（4+5）×3用乘法的意義能變成什么？

生3個（4+5）相加。

師（出示圖3第一行）沒錯。繼續用加法交換律和結合律，把相同的加數放在一起，能變成什么？

生3個4相加和3個5相加。

師（出示圖3第二行）好的。下面還可以用什么變成什么？

生反過來用乘法的意義，變成4×3+5×3。

師（出示圖3第三行）非常好！這就變出了它的右邊4×3+5×3。（指著圖3）請你看圖再想一想這個過程。如果不能理解，可以借助其中標注的圓點。

（學生思考并理解。）

師現在來看更一般的情況：如果這里的4和5用a和b來表示，那么可以怎么推理？

（學生活動后，一位學生出示推理過程并解釋。）

師很好?，F在可以看最一般的情況了：把這里的3也用c來表示。

生我知道了?。ǔ鍪緢D4）（a+b）×c就等于c個（a+b）相加，繼續變隊形，c個a排成一隊，c個b也排成一隊。看！就是a×c+b×c。

師非常好?。ㄖ钢鴪D4）另外，從乘法交換律的角度看，（a+b）×c除了表示c個（a+b）相加，還能表示什么？

生（a+b）個c相加。

師很好！那么乘法分配律還可以怎樣證明？

（一位學生出示圖5并解釋。）

（a+b）×c=c+c+…+c（a+b）個

=（c+c+…+c）a個+（c+c+…+c）b個

=a×c+b×c

最后，需要指出的是，上述教學中對乘法分配律的推理是在整數范圍內進行的，因為依據蘇教版小學數學教材的安排，此時（四年級下學期）學生尚未學習小數、分數的運算，也未學習負數。而在更大的范圍（有理數乃至實數）內推理（尤其是演繹推理）乘法分配律，有一定的難度，未必適合小學生。對此，教師可以做進一步思考。

參考文獻：

[1] 曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2] 張琴.在“過程”中推理[J].教育研究與評論（課堂觀察），2020（5）.