“信號與系統”中時空域思想的重要性與教學滲透

楊梅

[摘 要] “信號與系統”課程是電子信息類學科各專業的重要基礎理論課，具有信息量大、理論性強、數學公式繁雜等特點，學習難度較大，教學難度也較大。為了使學生對課程內容有更清晰的認知，提高教與學的效果，闡述了時空域思想在本課程授課過程中的重要性，并通過具體的時域物理過程、空間域物理過程等實例，詳細講述了如何將本課程的知識點與時空域變化的物理過程相結合的教學方法，并指出該思維可以推廣滲透到其他物理變量中。這種教學方法能夠有效地促進學科交叉與融合，讓學生對專業知識的系統性和體系性有更深入的理解。

[關鍵詞] 信號與系統;時域思想;空間域思想;物理過程

[作者簡介] 楊 梅（1985—），女，山東臨沂人，博士，南京郵電大學通信與信息工程學院講師，主要從事電磁場與電磁波、微波技術與天線等研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? ?[文章編號] 1674-9324（2021）13-0159-04? ? ?[收稿日期] 2021-02-04

一、引言

“信號與系統”課程是電子信息類學科各專業的基礎理論課，具有信息量大、理論性強、數學公式繁雜等特點，對學生的數學基礎要求高，學習、教學難度也大。同時其也是一門開放性的基礎理論課程，每一部分內容都可以根據專業需求進行深化和擴展，在整個本科教學環節中具有承上啟下的作用。因此，研究和改進“信號與系統”課程的教學方法，對學生的本課程學習和后續專業課程學習具有積極的意義[1] （P1-77）。

二、信號與系統是認識物理世界的方法

“信號與系統”課程主要包括信號分析與系統分析兩部分。

信號是信息傳遞的載體，是描述物理變化的一種物理量。信號分析的基本出發點在于分解和線性疊加思維，化繁為簡，分而后合。“分”即為信號的分解，將復雜的信號分解為一系列典型的簡單信號，對復雜信號的分析處理就轉化為對簡單信號的分析處理。“合”則為信號的線性疊加合成，將分解得到的簡單信號或者簡單信號的響應進行線性疊加，將得到復雜信號或復雜信號的響應。因此，通過研究基本簡單信號的特性和信號的線性組合關系，就可以實現對復雜信號的特性分析。

系統分析的主要任務是在已知系統的數學模型與輸入信號的前提下，求得系統的輸出響應信號。而要分析一個系統，首先要建立描述該系統基本特性的數學模型，然后用數學方法進行求解，并對所求得的結果做出物理解釋，賦予物理意義。激勵信號作用于系統產生響應信號，因此對系統的分析方法和對信號的分析方法是一致的。從這個意義上來說，“信號與系統”課程是認識和分析物理世界的一種方法，信號與系統思維就是一種世界觀和方法論，涵蓋了“任何復雜事物是由簡單事物組成的，客觀認識事物的基礎是全面觀察分析事物”這一哲學方法論思想[2]。

因此，“信號與系統”課程的教學過程，如果更多地從實際物理過程出發，關注課程中數學公式背后所涉及的物理過程或者物理現象，將枯燥的公式和煩瑣的推導與更容易理解和想象的物理過程相結合，既可以提高課堂教學的趣味性，又能吸引學生的注意力，從而提升教與學的效果[3]。

三、物理現象是時間域的過程

物理現象最基本最直觀的體現是隨時間變化的時間域過程，大部分的“信號與系統”課程教材都是從時域的角度開始講起，因為時域分析的物理概念更加清晰，學生比較容易理解和掌握。

課程一般是由淺入深地引入時域分析的內容，而對一般信號x（t）作為激勵的系統響應y（t）的分析，可以在沖激信號？啄（t）的系統響應h（t）已經求得的基礎上，由卷積積分得到，如圖1所示。因此，沖激信號是進行信號時域分析的基礎[4] （P1-60）。

如果只在課堂上呈現知識點，讓學生機械地記憶相關的定義和公式，后續授課內容多了，學生容易遺忘和混淆，而將某種隨時間變化的物理過程貫穿到授課內容中，讓學生對所學知識點都能找到印證，更容易理解和記憶課程知識。以沖激信號δ（t）為例，根據沖激信號的數學定義：

沖激信號是一個脈沖函數，脈沖面積為1，在t=0時刻函數的幅值為無窮大，而在t≠0時函數值均為零。因此，沖激信號可以視為一個強度甚大，但是作用時間很短，而作用效果有限的物理量的數學模型[1]。授課中可以舉例說明，比如打羽毛球或者乒乓球時，球拍擊球的力很大，而球拍和球接觸的時間Δt極短，力和時間的乘積FΔt是擊球的沖量，這是一個有限值。在理想情況下，擊球的力趨向于無窮大而擊球時間趨向于無窮小，二者的乘積仍為原來的沖量，這就是一個沖激函數。球被擊飛之后的速度就可以視為球拍對球施力之后的響應。羽毛球或乒乓球被擊飛后如果沒有其他外力繼續作用的話，球的速度會迅速下降最終變為零。從這個角度去思考零狀態條件下沖激信號作用于系統之后的沖激響應h（t），就能更好地去理解系統的沖激響應為何是指數衰減的形式了。

“信號與系統”課程后續的頻域、復頻域、Z變換域分析，都是基于時域分析展開的，因此在實際物理現象或物理過程的基礎上對時域分析進行講解，使得學生對此部分內容有更深入的理解和掌握，對學生學好“信號與系統”這門課及了解其在后續專業課程中的應用，是非常有意義的。

四、物理現象是空間域的過程

物理現象是發生在時間和三維空間中的，因此物理過程同時也是隨空間變化的空間域過程。從空間域的角度去分析信號與系統的特性隨物理過程的變化，同樣是一種直觀的、本質的認識事物的方法。結合已經學習或者了解到的空間域的生動直觀的物理過程，引導學生將所學的信號與系統知識內容進行空間域映射，使學生體會到所學的知識可以用來解決和解釋很多實際的物理現象和問題，進一步加深對所學知識的理解和興趣。

典型的一維空間變化的信號分析，如傳輸線理論，是微波電路設計和計算的理論基礎，其與電路基礎理論之間的關鍵差別是研究對象的電尺寸。傳輸線理論研究的是微波信號，其信號頻率較高，電波長較短，因此，傳輸線的尺度可能為一個波長的幾分之一或幾個波長，在整個傳輸線長度內其電壓和電流的幅值和相位都可能發生變化[5] （P42-51）。傳輸線理論中，沿z方向延伸的雙線傳輸線上的電壓和電流的行波解一般可表達為：

其中，γ=α+jβ為復傳播常數，其實部α代表了信號在傳輸線上的衰減系數，而虛部β代表了信號在傳輸線上的相位變化速度，e-γz和eγz分別代表了沿+z方向傳輸的信號和沿-z方向傳輸的信號。在“信號與系統”課程內容中，典型的連續時間信號之一復指數信號的數學表達式為：

對比式（2）和式（3）可以看出，傳輸線上的電壓和電流隨一維空間z的變化，與“信號與系統”課程中典型的復指數信號隨時間的變化形式是一致的。因此，在課程講授過程中，可以將復指數信號的一般形式和各種特例對應的表達式，映射到傳輸線上傳輸的信號波及其物理解釋中。這樣不僅可以加深學生對復指數信號表達式的理解，同時也能讓學生了解所學知識在實際工程中的應用。例如，式（3）中復指數信號的復系數實部如果為零，即信號變為f（t）=Ae，從數學表達式上來看，復指數信號變為等幅虛指數信號。如果將其映射到傳輸線理論中的信號波表達式（2）中，等幅虛指數信號對應為復傳播常數的實部衰減系數時的α=0行波信號。衰減系數為零，則傳輸線是無耗傳輸線，而無耗傳輸線上傳輸的信號，其幅度不變，只有相位隨傳輸距離而變化，這樣就能更好地理解等幅虛指數信號對應的物理過程了。

電磁波的產生和傳播，是一種典型的三維空間信號分析理論。在很多電子信息類學科的專業培養方案中，電磁場與電磁波是后修的學習難度較大的一門專業理論課，同時，電磁場和電磁波的基礎內容，學生在高中物理中已有學習和接觸，因此，在“信號與系統”課程授課中進行一定的反映，既可以使學生對所學課程知識有更深入的理解，對后續電磁場課程的學習也有一定的幫助。例如，圖3所示的不同媒質分界面的斜入射的電磁波的分析理論，可以在“信號與系統”授課過程中講解信號的分解疊加、線性時不變系統的對單頻激勵的響應等方面進行教學滲透。

在電磁場理論中，圖2所示的平行極化波在斜入射到不同媒質分界面時，會產生平面波的反射和透射，在入射媒質1中的電磁場是入射波和反射波的疊加[6] （P153-187），其表達式為：

其中矢量為電磁波傳播方向的單位矢量，矢量和矢量分別為電磁波傳播方向的傳播常數。由式（4）可以看出，電磁波信號是一種具有明顯物理意義的信號疊加示例，媒質中的電場可以由具有不同傳播方向的入射電場和反射電場疊加得到，同時振動方向在xoz平面的入射電場和反射電場，又都可以分解為x方向的分量和z方向的分量。將媒質內的電磁波信號進行空間變量分解，對分解后的信號分量可以進行嚴謹的數學分析，從而得到清晰的物理規律。在“信號與系統”授課中，相對于時間變量的分解疊加思維，空間變量分解和疊加思維通常沒有受到重視。實際上對于我們周邊的各種信號而言，時間變化往往伴隨著空間變化，尤其是在電磁波的傳播過程中，空間變化是更形象、更明顯的變化，同時，電磁波的空間分解過程是建立在線性系統和線性方程的基礎上的，有著堅實的物理基礎和嚴謹的數學分析過程。因此，在“信號與系統”課程的授課中，將電磁場的空間變量的分解疊加思維滲透到教學中信號的分解疊加講解中，是奠定學生良好工程思維的一種途徑，能夠有效地促進學科交叉與融合，形成系統的知識架構，取得更好的授課效果。

圖2描述的平面波的斜入射理論，還可以在講授連續時間系統的頻域響應時進行舉例滲透。在用傅里葉變換分析法對線性時不變系統進行頻域分析時，其單元信號是虛指數信號ejωt，大部分非周期信號都可以分解為一系列虛指數信號的疊加。虛指數信號作用于線性時不變系統時，其零狀態響應為同頻率的虛指數信號。這一結論也可以用平面波的斜入射理論進行舉例印證。式（4）只是給出了電磁場的空間變化關系，在電磁場理論中，如果考慮瞬時電磁場的變化，則入射波和透射波的表達式可寫為：

即正弦電磁波隨時間變化的分量可以由虛指數信號進行描述。對比式（5）給出的媒質1中的入射電磁場和媒質2中的透射電磁場可以看出，透射電磁場的頻率和入射電磁場的頻率是一致的。也就是說，平面電磁波入射到媒質分界面并發生透射的空間變化過程中，這個系統的響應—透射平面電磁波，與系統的激勵信號—入射平面電磁波，二者的頻率是相同的，即這個物理過程對應的線性時不變系統不改變激勵信號的頻率。

因此，很多其他課程中的空間物理過程，可以作為示例在“信號與系統”課程的知識點講解中得到體現，從而讓枯燥的“信號與系統”課程知識，在學生眼中具有清晰的物理體現，輔助學生加深對所學知識的理解。

五、時空域思想對其他物理量的滲透

“信號與系統”課程的授課內容中，包括時域分析、頻域分析和復頻域分析等，這些知識點都是建立在數學基礎上的，描述系統的模型，也都是基于數學公式的模型，因此，所有的授課內容都需要依據清晰準確的數學公式進行推導。而單純地記憶繁雜的公式及其推導，授課過程枯燥無味。將實際的物理過程與“信號與系統”課程中的內容相結合，加深學生對所學知識的認識，是一種有效提高教與學效果的途徑。

雖然我們的學習和生活中有更多的物理過程是隨時間域和空間域變化的，將時空域思想滲透到“信號與系統”課程中是一種有效的教學手段，但是物理變量不一定是時間和空間，它可以是任意的一種變量，比如速度、顏色、明亮、熱量等。例如，傅里葉變換中的變量t可以是時間，用在時域和頻域的轉換過程中，也可以是空間尺度，用在圖像處理的過程中，而傅里葉分析最初是作為熱過程的解析分析工具被提出的。但是無論傅里葉分析被用于哪個領域或者應用，其核心方法或者說傅里葉變換的表達式是固定的，萬變不離其宗，這也是“信號與系統”課程之所以被稱為電子類專業基礎課程的原因所在。因此，將“信號與系統”課程的時域分析推廣到時空域分析，進而推廣到任意其他物理變量領域，這一教學思維對提升“信號與系統”課程的教學效果是非常有幫助的。

六、結語

本文闡述了將隨時空域變化的物理過程融合滲透到“信號與系統”課程授課中的教學思維，具體講述了如何將“信號與系統”課程的知識點與時空域變化的物理過程相結合的教學方法，并指出了該思維可以進一步推廣滲透到其他物理變量中。這種教學方法將枯燥的課堂知識與形象的物理過程相結合，一方面能加深學生對所學知識的理解，另一方面可以使學生了解所學知識在解決實際問題中的運用，同時能夠有效地促進學科交叉與融合，使學生形成更為系統的知識架構。

參考文獻

[1]管致中，夏恭恪，孟橋.信號與線性系統[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]王正勇，熊淑華，吳曉紅.《信號與系統》課程教學模式改革探析[J].創新創業理論研究與實踐，2020（19）：110-112.

[3]李建華.淺談“信號與系統”課程教學中的能力培養[J].電氣電子教學學報，2016（6）：35-37.

[4]解培中，周波.信號與系統分析[M].2版.北京：人民郵電出版社，2020.

[5]David M.Pozar.微波工程[M].3版.張肇儀等，譯.北京：電子工業出版社，2006.

[6]孫國安.電磁場與電磁波理論基礎[M].2版.南京：東南大學出版社，2003.

Abstract： The course of Signal and System is an important basic theoretical course for all majors of electronic information. It contains large amount of information， a lot of theories， and complex mathematical formulas and so on， therefore it is difficult to learn and difficult to teach. In order to make students have a clearer understanding of the course content and improve the teaching effect， this paper expounds the importance of time-space domain thought in the teaching of Signal and System course and describes in detail how to combine the knowledge of this course with the physical process of time-space domain through specific examples of time-domain physical process and space-domain physical process. It points out that the time-space domain thought can be further extended to other physical variables. This teaching method can effectively promote the intersection and integration of disciplines， and enable students to have a deeper understanding of the systematization and the structure of the professional knowledge.

Key words： Signal and System; time-domain thought; space-domain thought; physical process