求解勻強(qiáng)電場的策略研究
——以兩種條件下的勻強(qiáng)電場的求解方法為例

貴州

本文是對兩種條件下的勻強(qiáng)電場求解方法進(jìn)行分析，討論在已知平面內(nèi)電勢的高低和位置關(guān)系條件下對勻強(qiáng)電場場強(qiáng)的求解、已知電場力做功或電勢能的變化情況以及位移關(guān)系條件下對勻強(qiáng)電場的求解，分別對這兩類問題進(jìn)行深入的分析，提出解決此類問題的一般公式，提升學(xué)生的解題效率。

在歷年的高考或者模擬考試中，對電場的基本性質(zhì)的考查都會涉及電場強(qiáng)度的求解，而勻強(qiáng)電場的考查也是高考的重點，同時也是高考的難點。無論在模擬考試還是高考中，該知識點的得分率都比較低，對于學(xué)生來說是一大障礙，究其原因主要有四個方面：

1.電場強(qiáng)度的概念理解不透徹

2.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)功底不夠

3.概念之間的關(guān)系分不清

計算勻強(qiáng)電場場強(qiáng)，主要從電場力的性質(zhì)與能的性質(zhì)兩個角度出發(fā)，建立力的性質(zhì)與能的性質(zhì)之間的物理量關(guān)系，由于大部分學(xué)生分不清兩種性質(zhì)之間的物理量橋梁關(guān)系，或者公式應(yīng)用混淆，沒有明確物理量的含義，導(dǎo)致物理公式張冠李戴。

4.自我解題思路構(gòu)建模糊

解決問題主要是通過物理概念的形成與規(guī)律的建立，形成自己的方法和思路，構(gòu)建自己的解法思路系統(tǒng)。而在處理平面的勻強(qiáng)電場的有關(guān)問題時，很多學(xué)生沒有通過學(xué)習(xí)和做題，形成自我的解題系統(tǒng)，對電場類型題應(yīng)用怎樣的物理公式和分析思路，經(jīng)常依賴于參考答案，對參考答案的分析理解就不去思考，認(rèn)為自己也會了，當(dāng)遇到不一樣的類型問題時，不會把知識和方法進(jìn)行延伸，久而久之，對物理產(chǎn)生畏懼心理，使物理成績無法得到提高。

分析近幾年的全國卷及相應(yīng)的省、市模擬試題發(fā)現(xiàn)，對于電場強(qiáng)度的考查主要是考查點電荷模型的電場強(qiáng)度的定性描述和勻強(qiáng)電場的定量計算。而勻強(qiáng)電場的考查通常把電場力的性質(zhì)和能的性質(zhì)，特別是勻強(qiáng)電場場強(qiáng)的計算，往往涉及幾何等相關(guān)數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用。通過對一些高考試題和模擬試題的研究，把求解勻強(qiáng)電場場強(qiáng)的方法主要分為兩類：

第一類：已知電場所在的平面內(nèi)的電勢高低，此類型條件下的電場強(qiáng)度求解的方法如思路框架一：

思路框架一

第二類：已知電場力做功或者電勢能的變化情況及位移，此類型條件下的勻強(qiáng)電場強(qiáng)度的求解方法如思路框架二：

思路框架二

基于以上的兩種解題思路框架，下面以近幾年全國卷的相關(guān)試題及一些省份的模擬試題為例，分別對這兩種條件下的勻強(qiáng)電場的求解方法進(jìn)行分析和討論，闡述這兩類問題的解題策略。

一、已知電勢高低及坐標(biāo)位置

【例1】(2017·全國卷Ⅲ)一勻強(qiáng)電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c三點的位置如圖1所示，三點的電勢分別為10 V、17 V、26 V。下列說法正確的是

( )

圖1

A.電場強(qiáng)度的大小為2.5 V/cm

B.坐標(biāo)原點處的電勢為1 V

C.電子在a點的電勢能比在b點的低7 eV

D.電子從b點運動到c點，電場力做功為9 eV

【方法策略】本題題述文字簡潔，題述給出的是所在平面內(nèi)的某些點的電勢高低的具體數(shù)值，則主要是考查學(xué)生利用電場的力的性質(zhì)與能的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行求解電場強(qiáng)度等相關(guān)物理量，利用電場強(qiáng)度與電勢差的關(guān)系進(jìn)行求解，但是只告訴三個點的電勢大小，則暗示學(xué)生應(yīng)用勻強(qiáng)電場的特點關(guān)系找到相應(yīng)的等勢面，再結(jié)合幾何關(guān)系計算出等勢面之間的距離，即可找到解決辦法。

【解析】這里主要介紹電場強(qiáng)度的求解方法，根據(jù)思路框架一，

第一步：構(gòu)建平面內(nèi)的平行四邊形Oacb，根據(jù)勻強(qiáng)電場電勢的特點有φa-φO=φc-φb，解得φO=1 V。

第二步：根據(jù)在勻強(qiáng)電場中任意方向的電勢降落是均勻的，但bO兩點的電勢差為UbO=φb-φO=16 V，dbO=8 cm，因此1 cm的長度電勢降落Δφ=2 V，可得坐標(biāo)(4.5 cm,0)位置e點的電勢為10 V，而坐標(biāo)(0,6 cm)位置的電勢也是10 V，則這兩點在同一個等勢面上。

第三步：找等勢面，根據(jù)上面兩步的分析建立等勢面如圖2所示，則a、O兩點所在的等勢面的電勢差為UaO=9 V。

( )

圖3

A.2 V/m B.3.5 V/m

【方法策略】本題屬于已知電勢高低及位置距離關(guān)系求電場強(qiáng)度的問題，因此求解方法可以按照“思路框架一”逐一進(jìn)行，則不會迷路，而且方向很明確。讀者可以按照以上的思路進(jìn)行求解，本練習(xí)題的參考答案為A。

二、已知電場力做功或電勢能的變化及位置關(guān)系

【例2】如圖4所示，O、A、B是勻強(qiáng)電場中的三個點，電場平行于三點所在的平面。OA與OB的夾角為60°，OA=3l，OB=l?，F(xiàn)在有電荷量均為q(q>0)的甲、乙兩粒子以相同的初動能Ek從O點先后進(jìn)入勻強(qiáng)電場，此后甲經(jīng)過A點時的動能為4Ek，乙經(jīng)過B點時的動能為2Ek，在此過程中，粒子只受到電場力的作用，則該勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小為？

圖4

【方法策略】本題也是考查電場的基本性質(zhì)，考查電場力做功與電勢能變化的關(guān)系，已經(jīng)知道電荷動能的改變量，則可以求出電場力做功的多少，又根據(jù)電場力做功與電勢能的變化關(guān)系W=-ΔEp，同時可以求出相應(yīng)位置的電勢高低。所以本題可以應(yīng)用“思路框架二”解決。

【解析】利用思路框架二：

方法一：根據(jù)思路1，由于帶電粒子為正電荷，甲粒子從O點到A點動能增加，所以電場力做正功，根據(jù)動能定理可以求出電場力做功的多少。

第一步：據(jù)動能定理，WOA=ΔEk，則WOA=3Ek，則WOA>0；同理，WOB=ΔEk，WOB=Ek，所以WOB>0，則可以知道電場強(qiáng)度具有豎直向上的分量。

【點評】從本題的解題思路和方法來看，“思路框架二”中的兩條支路都可以分別獨立地求解此條件下的勻強(qiáng)電場的大小，由于電場力做功與電勢能的變化數(shù)值上是相等的，所以只要知道電場力做功，就知道電勢能的變化量，反之亦然。兩條解題思路可以獨立使用，也可以相互結(jié)合，達(dá)到互補(bǔ)的作用。此類型的解題思路一般是上面所列思路框架二，此方法對于思維模糊的學(xué)生有很好的幫助。在此條件下對于勻強(qiáng)電場的求解，要正確認(rèn)識電場力做功等于電勢能的變化的相反數(shù)，即W電=-ΔEp，已知電場力做功就相當(dāng)于知道電勢能的變化量，再結(jié)合幾何關(guān)系找等勢面即可解決相應(yīng)的問題。

三、勻強(qiáng)電場大小求解的拓展研究

圖6

由兩分量E1、E2與E的關(guān)系，他們可以構(gòu)成如圖7所示的矢量三角形，根據(jù)正弦定理

圖7

所以sinα=cosθsinβ，由于sinβ=sin(α+θ)，所以有

sinα=cosθsin(α+θ)

sinα=cosθ(sinαcosθ+sinθcosα)

sinα(1-cos2θ)=cosθsinθcosα

所以有cosθcosα-sinαsinθ=0，因此有cos(α+θ)=0，由于α和θ都是三角形的內(nèi)角，因此α+θ=90°，由此可得β=90°，說明在勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度E的兩個分量是相互垂直的。

從以上的分析和證明來看，在平面勻強(qiáng)電場中的某一電場強(qiáng)度E的兩個分量必須是相互垂直的，這樣它們才能構(gòu)成矢量三角形。原因是在空間中的某個方向的場強(qiáng)E是確定的，并不像力一樣，一個力可以分解成無數(shù)個分力，只要它們能夠構(gòu)成平行四邊形即可。因此對于電場的分量不能套用力的正交分解方法進(jìn)行求解。

圖8

如果已知兩分量如圖9所示，根據(jù)以上的分析，分別作E1和E2的垂線，可知電場E的兩分量一定垂直，如圖10所示，所以兩條垂線的交點與O點的連線方向即為電場強(qiáng)度的方向，假設(shè)垂直于E1的直線與E2相交于O′，假設(shè)O′到E1端點的距離為x，O′到E2端點的距離為y，根據(jù)幾何關(guān)系有

圖9

圖10

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，所以有

如【例2】

【評價】對于求解勻強(qiáng)電場的一般式，如果學(xué)生在復(fù)習(xí)時，能理解和掌握該公式的應(yīng)用，在考試中會占據(jù)很大的優(yōu)勢。應(yīng)用該公式主要是找準(zhǔn)兩分量的夾角關(guān)系，同時要注意用幾何關(guān)系尋找合場強(qiáng)方向，該公式無論在已知某點的電勢的高低或者是已知電場力做功，都可以先把每個分量的電場強(qiáng)度計算出來，根據(jù)公式可以快捷地計算出結(jié)果，使解決問題變得方便。