探討“一對內(nèi)力功”的代數(shù)和

新疆

高中物理中所涉及的系統(tǒng)內(nèi)力做功問題，例如彈力做功，摩擦力做功，磁場力做功，碰撞中的彈力做功等，在這些相互作用中，作用力與反作用力做功的代數(shù)和由什么決定？并且這個(gè)代數(shù)和與能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系是怎樣的？本文從探討高中物理中課堂教學(xué)的常見模型出發(fā)，探討“一對內(nèi)力功”代數(shù)和的問題。

力在空間的累積效果叫作功，而且力的作用是相互的，由兩個(gè)或兩個(gè)以上的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)叫作質(zhì)點(diǎn)組或者質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系以外的物體均稱為外界，外界對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力稱為外力，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力稱為內(nèi)力。然而內(nèi)力功的問題在高中階段是難點(diǎn)，例如兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A和B，內(nèi)力的大小為FAB(A對B的力)和FBA(B對A的力)，F(xiàn)AB和FBA做的功分別為WAB和WBA，由于兩質(zhì)點(diǎn)A、B的運(yùn)動情況不相同，WAB與WBA可能為零，可能都為正值，可能一正一負(fù)相加為零；也可能一正一負(fù)相加不為零。我們感興趣的是這一對內(nèi)力功的代數(shù)和什么時(shí)候?yàn)榱悖裁磿r(shí)候不為零，功又是能量轉(zhuǎn)化的量度，當(dāng)這個(gè)代數(shù)和不為零時(shí)，能量又是怎樣轉(zhuǎn)化的？

1.彈力功

1.1 斜劈滑塊

如圖1中，表面為弧形的光滑斜劈A放在一個(gè)光滑的水平面上靜止，現(xiàn)在斜劈頂端處無初速度釋放一個(gè)小物塊B，在小物塊下滑的過程中，A、B間彈力對斜劈做的功與對小物塊做的功的代數(shù)和為多少？

圖1

解：設(shè)重力對B做的功為WGB，彈力對A做的功為WA，彈力對B做的功為WB，對A、B組成的系統(tǒng)由動能定理有WA+WB+WGB=ΔEkA+ΔEkB①

ΔEkA和ΔEkB分別表示A、B兩物體動能的增量。

由于A、B系統(tǒng)內(nèi)僅有動能和重力勢能相互轉(zhuǎn)化，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒-ΔEpB=ΔEkA+ΔEkB②

重力做功與重力勢能變化的關(guān)系WGB=-ΔEpB③

聯(lián)立①②③解得WA+WB=0 ④

可見，以上的解法由動能定理和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立得出內(nèi)力功之和為零，并沒有從正面直接解決問題，理由是機(jī)械能守恒的前提是系統(tǒng)外力不做功，系統(tǒng)內(nèi)非保守力也不做功(這里的保守力僅限于重力和彈簧彈力)，支持力和壓力是非保守力，既然認(rèn)為機(jī)械能守恒，也就默認(rèn)了非保守力不做功，即這一對彈力做功之和為零，也就沒有證明的必要了。

1.2 繩子跨定滑輪

如圖2，這是2014年海南的高考題，質(zhì)量相同的兩物體a、b間用不可伸長的輕繩跨接在一光滑的輕質(zhì)定滑輪兩側(cè)，a在水平桌面的上方，b在水平粗糙桌面上，初始時(shí)用力壓住b使a、b靜止，撤去此壓力后，a開始運(yùn)動。在a下降過程中，b始終未離開桌面，在此過程中“D.繩的拉力對a做的功與對b做功的代數(shù)和為零”這是其中的一個(gè)選項(xiàng)。我們設(shè)ΔEa和ΔEb分別表示a，b機(jī)械能的增加量，Wf表示摩擦力對b做的功，Q表示產(chǎn)生的內(nèi)能，對a、b系統(tǒng)用能量守恒定律有-ΔEa=ΔEb+Q①

圖2

由功能關(guān)系知Wa+Wb+Wf=ΔEa+ΔEb②

由功能關(guān)系知Wf=-Q③

聯(lián)立①②③得Wa+Wb=0 ④

在這個(gè)問題中a、b系統(tǒng)的機(jī)械能是減小的，即機(jī)械能不守恒，我們依然得出了這一對內(nèi)力功之和為零的結(jié)論。我們還可以推測在1.1中，若斜劈A與地面之間有滑動摩擦，可以斷定，那一對彈力功之和依然為零，具體證明如下：設(shè)摩擦力對斜劈A做的功為Wf，產(chǎn)生的內(nèi)能為Q，ΔEA和ΔEB分別表示A、B機(jī)械能的增加量，對A、B系統(tǒng)用功能關(guān)系，有WA+WB+Wf=ΔEA+ΔEB④

對A、B系統(tǒng)用能量守恒定律有-ΔEB=ΔEA+Q⑤

由功能關(guān)系知Wf=-Q⑥

聯(lián)立④⑤⑥得WA+WB=0 ⑦

可見，一對內(nèi)力功之和是否等于零和機(jī)械能守恒與否無關(guān)。

1.3 彈簧和兩物體

如圖3，彈簧對物體A的彈力與對物體B的彈力是一對內(nèi)力，A、B兩物體放在光滑的水平面，其間連一彈簧，現(xiàn)給物體A一個(gè)初速v0，從開始到彈簧長度最短時(shí)，彈力對物體A、物體B做的功分別為WA、WB，A、B動能的增加量分別為ΔEkA和ΔEkB，(ΔEkA<0)彈簧彈性勢能的增加量為ΔEp，對A、B系統(tǒng)列動能定理WA+WB=ΔEkA+ΔEkB①

圖3

對A、B系統(tǒng)列能量守恒定律-ΔEkA=ΔEkB+ΔEp②

聯(lián)立①②得WA+WB=-ΔEp③

這說明：一對彈簧彈力做功的代數(shù)和等于其彈性勢能的減少量。我們可以看到，物體A位移大于物體B位移，故|WA|>WB，即WA+WB<0，將③式改成-(WA+WB)=ΔEp，可以看出，克服一對彈簧彈力做的功等于系統(tǒng)彈性勢能的增加量。

反思：這里的WA+WB為什么不等于零呢？很顯然是由于A、B兩物體的位移不一樣大，導(dǎo)致彈簧長度發(fā)生了變化，即動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能。

2.摩擦力功

2.1 滑塊木板

如圖4，木板B在光滑的水平面勻速向右運(yùn)動，這時(shí)，無初速度釋放一物塊A，最終二者一起勻速運(yùn)動(物塊A沒有從木板B上掉下)，若在這個(gè)過程中，摩擦力對物塊A做的功為WfA，對木板B做的功為WfB，因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為Q，用ΔEkA和ΔEkB分別表示A、B動能的增加量，在沒有計(jì)算之前，有讀者會認(rèn)為|WfB|=Q，認(rèn)為木板B克服摩擦力做的功等于產(chǎn)生的內(nèi)能。但是，木板B克服摩擦力做的功等于其動能的減少，如果全部等于產(chǎn)生的內(nèi)能，那么物塊A的動能增大又怎么解釋呢？

圖4

對系統(tǒng)A、B列動能定理WfA+WfB=ΔEkA+ΔEkB①

對系統(tǒng)A、B列能量守恒-ΔEkB=ΔEkA+Q②

聯(lián)立①②得-(WfA+WfB)=Q③

這說明：克服一對滑動摩擦力做功之和等于內(nèi)能的增加量(也就是我們平時(shí)所說的Q=fs相對)

反思：這里的WfA+WfB為什么不等于零呢？很顯然，物塊A與木板B的位移不一樣大，導(dǎo)致物塊A在木板B上滑動，從而產(chǎn)生了內(nèi)能。

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，對于動生電動勢的能量轉(zhuǎn)換，我們常說“克服安培力做的功等于產(chǎn)生的電能”。但是，這句話是不完整的，例如在電磁驅(qū)動中，安培力是物體運(yùn)動的動力，不存在“克服”這一說法，何況，這時(shí)安培力做了功，使物體具有動能，而不是電路中的電能，關(guān)于這個(gè)問題，是否也涉及到內(nèi)力功的問題呢？

3.磁場力功

3.1 電磁驅(qū)動1

如圖5，光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在水平面上，左端由導(dǎo)線相連，導(dǎo)體棒垂直靜置于導(dǎo)軌上構(gòu)成回路。在外力F作用下，回路上方的條形磁鐵豎直向上做勻速運(yùn)動。在勻速運(yùn)動過程中外力F做功WF，磁場力對導(dǎo)體棒做功W1，磁鐵克服磁場力做功W2，重力對磁鐵做功WG，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q，導(dǎo)體棒獲得的動能為Ek。則

( )

圖5

A.W1=QB.W2-W1=Q

C.W1=EkD.WF+WG=Ek+Q

對導(dǎo)體棒列動能定理，可知C項(xiàng)正確，對磁鐵和導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)列動能定理WF+W1-W2+WG=Ek①

對系統(tǒng)列能量守恒WF=Ek+ΔEp+Q②

由功能關(guān)系WG=-ΔEp③

聯(lián)立②③，可知D正確，再由D項(xiàng)和①聯(lián)立，可知B正確。

B項(xiàng)是什么意思呢？如果我們將它寫成

-(-W2+W1)=Q④

其中-W2為磁場力對磁鐵做的功，W1為磁場力對導(dǎo)體棒做的功，-W2+W1為這一對磁場力做功之和，這個(gè)和為負(fù)值，這也是顯而易見的，括號前面的負(fù)號表示“克服”。因此，我們可以說“克服一對磁場力做功之和等于電能”，然而，造成這一對內(nèi)力做功之和不為零的原因是磁鐵與導(dǎo)體棒發(fā)生了相對運(yùn)動，導(dǎo)致機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能。下面我們繼續(xù)討論電磁驅(qū)動中內(nèi)力功的問題。

3.2 電磁驅(qū)動2

如圖6，是一個(gè)磁懸浮列車的原理簡化圖，紙面為軌道平面，垂直紙面向里和向外的磁場相互間隔，每個(gè)磁場的長和寬分別為s和l，矩形線框abcd(與磁場的長，寬相同)固定在車廂底板，當(dāng)磁場以速度v0向右勻速運(yùn)動時(shí)，線框也跟著向右運(yùn)動，當(dāng)線框的速度為v時(shí)(v

圖6

線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=2Bl(v0-v)①

將①兩邊同乘以電流I，得EI=2IBl(v0-v)②

安培力F=2IlB③

而電功率P電=EI④

聯(lián)立②③④可得P電=Fv0-Fv⑤

將⑤變形為-(-Fv0+Fv)=P電⑥

其中，-Fv0表示安培力對磁場做功的功率，F(xiàn)v表示安培力對線框做功的功率，-Fv0+Fv表示一對安培力功率之和，-(-Fv0+Fv)表示克服這一對安培力功率之和，故⑤的含義是克服這一對安培力功率之和等于電功率，如果兩邊同乘以時(shí)間t，我們就可以說克服這一對安培力做功之和等于產(chǎn)生的電能。然而，造成這一對內(nèi)力功之和不為零的原因是線框與磁場之間發(fā)生了相對運(yùn)動，產(chǎn)生了電能，這一對安培力做功之和為負(fù)值是必然結(jié)果。

4.理論證明

(a)

(b)

這一對內(nèi)力元功的代數(shù)和為

表明兩質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的元功的代數(shù)和等于力與相對元位移的標(biāo)積。

表明一對作用力和反作用力做功的代數(shù)和取決于力和質(zhì)點(diǎn)間的相對位移，即一對內(nèi)力功的代數(shù)和等于力乘在力的方向上的相對位移，功的正負(fù)由力的正負(fù)和力的方向上位移的正負(fù)決定，可以得出，兩質(zhì)點(diǎn)在力的方向上沒有發(fā)生相對運(yùn)動時(shí)，內(nèi)力功的代數(shù)和為零，這句話是判斷一對內(nèi)力功之和是否等于零的依據(jù)。到這里我們不禁想起碰撞問題，在一維非彈性碰撞中，兩物體在力的方向上有相對運(yùn)動(物體發(fā)生了形變)，內(nèi)力功之和不為零而是一個(gè)負(fù)值，故系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，而這個(gè)和的絕對值為系統(tǒng)損失機(jī)械能的值，在彈性碰撞中，物體碰撞后恢復(fù)了原狀，兩物體在力的方向上沒有發(fā)生相對運(yùn)動，內(nèi)力功之和為零，機(jī)械能無損失，故守恒。現(xiàn)在，也很容易解釋了為什么完全非彈性碰撞損失的機(jī)械能最多的問題。