函數空間的拓撲結構

2021-05-29 01:37:18楊寒彪楊忠強

汕頭大學學報(自然科學版) 2021年2期

關鍵詞：結構

楊寒彪，楊忠強

（1.五邑大學數學與計算科學學院，廣東江門 529020；2.汕頭大學理學院數學系，廣東汕頭 515063）

1 引言

函數空間是眾多數學分支的研究對象，例如，泛函分析，復分析，拓撲學等.一般來說，函數空間由一族函數的集合上賦予各種結構后得到.例如，賦予代數結構后可以得到向量空間，賦予度量和拓撲后可以得到度量空間和拓撲空間.也可以把線性結構和拓撲結構結合后得到拓撲線性空間等.

本文希望總結一些我們了解的關于函數空間的拓撲結構問題的答案.這個問題的一般形式為：設X，Y是兩個賦予一定結構的集合，例如，拓撲結構，線性結構等.F（X，Y）表示從X到Y的一些映射所構成的集合，例如，連續映射等.我們希望探討在F（X，Y）上賦予一個自然的拓撲Γ后得到拓撲空間FΓ（X，Y）的拓撲結構，即，證明這個空間同胚于哪個經典的空間.當然，為了完成這個工作，對空間FΓ（X，Y）的性質的探討也是必不可少的.在幾乎所有的情況下，空間FΓ（X，Y）都是無限維的（當Y是零維拓撲空間時，往往是例外），所以無限維拓撲學的方法對解決這個問題是舉足輕重的，這個問題也構成了無限維拓撲學發展的重要動力之一.

本文中，R是實數集合并賦予通常拓撲和序，I＝[0，1]，N＝{1，2，…}是R的子集，并遺傳R的拓撲和序，Rn是n-維Euclidean空間.

我們定義幾個常見的無限維空間，這些空間是我們需要的典型空間和模型空間.Hilbert方體是指乘積空間Q＝[－1，1]N.進一步，我們能定義它的以下子空間：

2 同胚于?2的空間

設X是緊度量空間，Cu（X，R）表示從X到R的全體連續函數且賦予一致收斂拓撲，那么，眾所周知，Cu（X，R）是一個可分的Banach空間.

我們首先看Fréchet提出的一個問題：

問題 2.1.（Fréchet問題）?2≈RN是否成立

Anderson在文獻[1]中證明了?2≈RN.從而肯定的回答Fréchet問題.Anderson論文的關鍵之處是給出了Hilbert方體Q的吸收子等概念，為無限維拓撲的創立開啟了大門.所以，我們有必要介紹一下這個概念.

首先，我們介紹Z-集的概念，Z-集是無限維拓撲學的基本概念之一，由Anderson在文獻[2]中給出.其來源于幾何拓撲學，是有限維拓撲學中邊界集在無限拓撲學的對應概念.設X是拓撲空間，A是X中的閉集，若對X的任意開覆蓋U，存在連續映射f:X→XA使得（f，idX）?U，則稱A是X中的Z-集，這里idX表示X上的恒等映射，（f，idX）?U表示對任意的x∈X，存在U∈U使得f（x），idX（x）∈U.這時，我們稱f和idX是U接近的.用Z（X）表示X中所有Z-集構成的集族.可以表示為可數多個Z-集之并的集稱為Zσ-集.文獻[1]證明了Q中的Z-集有下面的重要性質：

定理2.1.（Q中Z集的無扭性質）設A，B∈Z（Q）且A≈B，則存在同胚h:Q→Q使得 h（A）＝B，即（Q，A）≈（Q，B）.

定理2.2.設 L，M是Q的兩個吸收子，則（Q，L）≈（Q，M）.

Anderson還證明了 B（Q）和Σ都是Q的吸收子.因此（Q，B（Q））≈（Q，Σ）.利用上面的結論，Anderson在文獻[1]給出了下面的結果：

定理 2.3.（Anderson定理）?2≈RN.

幾乎同時，Kadec在文獻[4]證明了，所有與?2不同胚的可分無限維Banach空間都同胚于RN，于是結合二者我們可以得到：

定理2.4.（Anderson-Kadec定理）所有可分無限維Banach空間都同胚于RN.

推論2.1.若X是無限緊度量空間，則Cu（X，R）≈RN.

進一步，定理2.4被推廣為：

推論2.2.所有可分的，無限維的，拓撲完備的局部凸拓撲線性空間都同胚于RN.

上述推論中，局部凸的條件能否去掉曾經是無限維拓撲學研究的最重要的未解決問題之一.1994年，Cauty在文獻[5]中給出了一個例子說明了這個條件不可去掉.

3 Hilbert方體流形的拓撲特征及其應用

我們知道Hilbert方體Q與Hilbert空間?2是兩個最重要的無限維空間.更一般的，我們可以定義Q-流形與?2-流形.設X是可分度量空間，若X存在一個開覆蓋U使得U中成員都是同胚子Q（相應的?2）中一個開集，則稱X是Q-流形（相應的?2-流形）.上世紀70年代在60年代工作的基礎上對Q-流形和?2-流形進行了深入的研究得到了很多深刻的結果.由于這些工作使得無限維拓撲學登堂入室了，也對確定函數空間的拓撲結構問題起到非常大的作用.不相交的胞腔性質（下面簡寫為DCP）是Toruńczyk在文獻[6]中引入的.設（X，d）是度量空間，若對任意的自然數n，對任意的連續映射f:In×{0，1}→X，X 的任意開覆蓋 U，存在連續映射 g:In×{0，1}→X 使得（f，g）?U且g（In×{0}）∩g（In×{1}）＝，則稱X有DCP.1971年，Anderson和Chapman在文獻[7]中把定理2.1推廣到Q-流形上，得到了Q-流形中Z集的無扭定理.

定理3.1.（Q-流形中Z集的無扭性質）設M是緊的Q-流形，A是緊空間.F:A×I→M是一個同倫且F0和F1是Z-嵌入（即他們都是嵌入且其像是M中Z-集），則存在同倫H:M×I→M使得：

（i）.H0＝idM；

（iii）.對任意的t∈I，Ht:M→M是同胚.

對于空間Q＝M中任意兩個同胚的Z-集C，D，我們一定能找到一個滿足定理3.1條件的A＝C和同倫F:A×I→Q使得F（0A）＝C且F（1A）＝D，從而定理3.1確實推廣了定理2.1.定理3.1說明了M中兩個“同倫”的Z-集（即定理3.1的假定中的F的存在性）F（0A）和F（1A）可以通過一個M上同胚實現.但是不同于Q，定理2.1對Q-流形M是不成立的.即若C，D是M中兩個同胚的Z-集，則未必有（M，C）≈（M，D）.例如，M＝Q⊕Q×S1，這里S1是單位圓周.任取點p∈Q和q∈Q×S1，則{p}≈{q}且他們都是M中的Z-集，但顯然（M，{p}）（M，{q}）.1969年，Anderson和 Schori在文獻[8]中證明了Q-流形的穩定定理：

定理3.2.（Q-流形的穩定定理）設M是緊的Q-流形，則M×Q≈M.

定理3.3.令M是緊的Q-流形，X是一個ANR，f:M→X是胞腔像的，則f可以用同胚逼近的充分必要條件是X有DCP.

利用映射梯的工具，Edward證明了每一個緊的ANR與Q的乘積都是Q-流形在胞腔像映射下的像（Miller-West定理），每一個緊的ANR都與一個多面體同倫等價.最后，Toruńczyk在文獻[9]（參考文獻[10]）中證明了劃時代的結果：

定理3.4.（Toruńczyk Q-流形特征定理）設X是緊度量空間，則X是Q-流形當且僅當X是有DCP的ANR.

定理3.5.（推論）設X是度量空間，則X≈Q當且僅當X是有DCP的AR.

對于U?X，令

由{U-，U＋:U 在 X 中開}在 Cld（X）生成的拓撲稱為 Viectoris拓撲，記為 CldV（X）.由{U-，（XC）＋:U在X中開且C在X中緊}在Cld（X）生成的拓撲稱為Fell拓撲，記為CldF（X）.幾乎與Toruńczyk給出他的特征定理的同時，Curtis和Schori在文獻[11]利用West的一個定理證明了超空間定理：

定理3.6.（Curtis-Schori-West超空間定理）.設X是度量空間，CldV（X）≈Q當且僅當X是非平凡的Peano連續統，即，連通的，局部連通的緊度量空間.

在文獻[12]中，我們把這個定理推廣的非緊的度量空間，證明了下面的定理：

進一步，如果X是可數多個有限維的閉子空間的并，那么有

在文獻[13]中，Banakh和Voytsitskyy回答了我們的一個問題，證明了：

定理3.8.設X是度量空間，那么

當且僅當X是局部緊的，非緊的，局部連通的，不含緊連通分支的度量空間且可以表示為可數多個有限維的閉子空間的并.

蘇軾（宋）有詩云：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.不識廬山真面目，只緣身在此山中”.當我們視X中的一個閉集為它的特征函數后，我們可以認為定理3.6，定理3.7和定理3.8給出了從X到{0，1}的上半連續函數的子集在一種自然的拓撲下的拓撲結構.這個觀點對于理解后面兩節的內容是有用的.

4 HIilbert空間?2-流形的拓撲特征及其應用

進一步，Toruńczyk在文獻[14]（參考文獻[10]）中給出了類似于定理3.5的?2-流形的特征定理.首先，我們需要一個定義.設X是可分度量空間，我們說X有強離散性質是指對X的任意開覆蓋U，對于任意的連續映射f:Q×N→X，存在連續映射g:Q×N→X 使得（f，g）?U且{g（Q×{n}）:n∈N}是 X 中的離散子集族.

定理4.1.（Toruńczyk ?2-流形特征定理）可分度量空間X是?2流形當且僅當X是拓撲完備的有強離散逼近性質的ANR.

利用上面特征定理，我們可以確定很多函數空間的拓撲結構.例如，在文獻[15]，酒井證明了：

定理4.2.令X是非平凡的緊度量空間，Y是可分完備的ANR且不含孤立點，那么，賦予緊開拓撲的函數空間Cco（X，Y）是一個?2-流形.

設X是度量空間，對一個上半連續映射f:X→I，我們定義下面的概念：

（2）如果存在x0∈X使得f（x0）＝1，那么稱f是正規的；

（3）假設X＝Rn.如果對于任意的α∈（0，1]，[f]α＝{x∈Rn:f（x）≥α}是凸集，那么稱f是模糊凸的；

（4）假設X＝Rn.對任意的α∈（0，1]，[f]α星型集，那么稱f是模糊星型集.

基于文獻[16]的思想，我們能定義下面的概念.如果上半連續函數f:X→I滿足上面的（1），那么，我們稱f為模糊緊統.用USCC（X，I）表示X的所有模糊緊統.注意當X是緊的，那么，USCC（X，I）＝USC（X，I）.如果上半連續函數 f:Rn→I滿足上面的（1）-（3）（相應的（1），（2），（4）），那么我們稱 f是一個模糊數（模糊星型數）.設 Y?Rn是閉凸集且包含原點O，令K（Y）（SO（Y））表示所有支撐包含在Y中的模糊數（以O為每一個[f]α的星心的模糊星型數）.

對于 f，g∈USCC（X，I），令

end（f）＝{（x，t）∈X×I:t≤f（x）}，send（f）＝end（f）∩（suppf×I）.

使用他們，我們能夠在USCC（X，I）上定義三種度量：

D（f，g）＝dH（endf，endg）＜∞，

D'（f，g）＝dH（sendf，sendg）＜∞.

對于p≥1，令

這里 dH是 Hausdorff度量.這樣，（USCC（X，I），D），（USCC（Rn），D'），（K（Y），Lp）等是度量空間.

在文獻[17-18]中，我們證明了：

定理4.3，令Y是Rn中包含原點的非平凡凸閉子集，那么

（1）（K（Y），D）≈Q?（SO（Y），D）≈Q?Y 是緊的；

（2）（K（Y），D）≈∑?（SO（Y），D）≈∑?Y是非緊的.

在文獻[19-20]中，劉文娟和張麗麗證明了：

定理4.4.令Y是Rn中包含原點的非平凡凸閉子集，那么（K（Y），D'）≈（SO（y），D'）≈?2.

在文獻[21]中，我們證明了：

定理4.5.令Y是Rn中包含原點的非平凡凸閉子集，那么

（1）（K（Y），Lp）≈Q?（SO（Y），Lp）≈Q?Y 是緊的；

（2）（K（Y），Lp）≈∑?（SO（Y），Lp）≈∑?Y是非緊的.

我們在文獻[22]證明了：

定理4.6.如果X是無限的局部緊非緊可分度量空間，那么

（USCC（X，I），D）≈∑.

張麗麗和Dijkstra在文獻[23]證明了：

定理4.7.令X是非平凡的緊的，連通的，局部連通的度量空間或者X＝?2或者X＝Rn.那么

（USCC（X，I），D'）≈?2.

劉文娟等在文獻[24]推廣了這個結果，證明了下面的定理：

定理4.8.令X是非平凡的，連通的，局部連通的，可分度量空間.那么

（USCC（X，I），D'）≈?2.

下面給出幾個與拓撲動力系統有關的函數空間的拓撲結構.設X是緊度量空間，對任意的 f∈C（X，X）和 X 的任意有限開覆蓋 U，V，f－1（U）和 U∨V＝{U∩V:U∈U，V∈V}也是X的有限開覆蓋.用#（U）表示U的子覆蓋的最小個數.那么，我們能夠定義f關于覆蓋U的拓撲熵為

進一步，f的拓撲熵被定義為

對于 α∈[0，∞]，我們使用H＞（aX），H≤（aX）等表示空間C（uX，X）中所有拓撲熵大于α，小于等于α的映射組成的子空間等.

如果對任意的非空開集對U，V，都存在n∈R使得U∩f－（nV）≠，那么我們稱f是傳遞映射.用E（X）表示所有傳遞映射構成的Cu（X，X）的子空間，表示其閉包.

在文獻[25]，作者們證明了：

定理4.9.對任意的α∈[0，＋∞]，我們有

H＞a（I）≈H≥a（I）≈?2.

因此，我們提出下面的問題：

問題4.1.確定空間H＝∞（I），H＜a（I），H＝0（I）的拓撲結構.

在文獻[26]，我們證明了：

定理4.10.

5 非拓撲完備的無限維流形

Toruńiczyk Q-流形特征定理（定理 3.4）和 Toruńiczyk ?2-流形特征定理（定理4.1）本質上依賴于這兩種流形的完備性.但是，更早的Q中的吸收子并不是拓撲完備的而具有拓撲上的唯一性，即，定理2.2成立.受此啟發，人們開始研究一般的Q中的吸收子概念并證明其唯一性.設C是一個拓撲的，閉遺傳的空間類，這里，所謂拓撲的是指如果X∈C且X≈Y，那么，Y∈C；所謂閉遺傳的是指如果X∈C且Y是X的閉子空間，那么，Y∈C.令

（M0，C）＝{（M，C）∈M0×C:M是緊度量空間且C是M的子空間}.

（i）.Y∈C，

（ii）.Y包含在X的一個Zσ-集中，

（iii）.（X，Y）是（M0，C）-強萬有的.

那么，我們稱（X，Y）是（M0，C）-吸收子.

設X是可分可度量化空間.如果對任意包含X作為子空間的可分度量空間Y，X都是Y的Fσ-子集，那么，我們稱X是絕對Fσ-空間.用Fσ記所有絕對Fσ空間構成的空間類.同理，可以定義絕對 Fσδ-空間和 Fσδ-空間類.可以證明，（M0，Fσ）- 吸收子就是第二節定義的Q中的吸收子，而且定理2.2可以推廣為：

定理 5.1.如果（X，A）和（Y，B）都是（M0，C）-吸收子，那么，

（X，A）≈（Y，B）.

1991年，在文獻[27]，Dobrowolski等證明了：

定理 5.2.（Dobrowolski-Marciszewski-Mogilski定理）（Q，c0）是（M0，Fσδ）-吸收子.如果X是可數的非離散的度量空間，那么，賦予點態收斂拓撲的函數空間Cp（X，R）同胚于c0.

自2005年以來，我們開始研究一種由超空間拓撲導出的函數空間.對于Tychonoff空間 X 和上半連續函數 f：X→I，end（f）∈Cld（X×I）.對任意的 A∈USC（X，I），令

endA＝{end（f）：f∈A}?Cld（X×I）.

于是，作為超空間CldF（X×I）的子空間，我們能夠得到函數空間endFA.

下面我們主要考慮 A＝USC（X，I）和 A＝C（X，I）的情況.

在文獻[28]，酒井和上原證明了下面的定理：

定理5.3.如果X是無限的緊的度量空間，那么，endFUSC（X，I）≈Q.

相比空間endFUSC（X，I）的拓撲結構問題，我們更關注空間endFC（X，I）和空間對（endFUSC（X，I），endFC（X，I））的拓撲結構問題，這個無疑也更困難.從2005 年到 2018年，我們經過一系列的文章探討了空間對（endFUSC（X，I），endFC（X，I））的拓撲結構問題.為此，我們在文獻[29]中證明了下面的工具性定理：

定理 5.4.令（X，Y，Z）是 3元空間組，那么（X，Y，Z）≈（Q，Σ，c0）的充分必要條件是：

（1）.X≈Q，

（2）.Y可以寫成滿足下面條件的可數個子集（Yn）n之并：

（a）. 對任意的 n，Yn∈Z（Yn＋1）∩Z（X），

（b）. 對任意的 n，（Yn，Yn∩Z）是強（M0，Fσδ）-萬有的，

利用此，最終證明了下面的定理，見文獻[29-36]：

定理5.5.設X是度量空間，那么，endFC（X，I）可度量化的充分必要條件是X是局部緊可分可度量化的（后來我們發現這個簡單結果是文獻[37]中結論（見定理5.5）的推論）.這時有

注意到，上面最后一個結論成立的必要條件是X是可度量化的，因此，上面定理中的所有條件也是必要的.但是，X是可度量化的并不是endFC（X，I）是可度量化的必要條件！事實上，在文獻[37]中，McCoy和Ntantu證明了：

定理5.6.如果X是Tychonoff空間，那么，endFC（X，I）是可度量化的充分必要條件是X滿足下面的條件：

（i）.X是弱局部緊的，即，對任意的緊集K，存在開集U使得是緊的且K?；

（ii）.X是半緊的，即，存在可數緊集族C使得任意的緊集都包含在C的一個成員中；

利用這個結論，我們在2014-2017年證明了下面的定理，見文獻[38-41].

定理5.7.設X是k-空間且endFC（X，I）是可度量化的，那么

和定理5.5不同，X是k-空間并不是endFC（X，I）是可度量化的必要條件.事實上，可以證明，當X變化時，可度量化的endFC（X，I）有多達2c個互不同胚的空間（相比之下，如果我們要求X是k-空間，由定理5.7，可度量化的endFC（X，I）僅有可數個互不同胚的空間，非平凡的情況僅有兩個）.因此，完全給出endFC（X，I）的拓撲分類是不可能的！

但是，這個課題仍然有很多問題可以研究.例如，令βN是N的Cěch-Stone緊化，q∈βNN，那么，商空間Xq＝（I⊕N∪{q}）/1＝q滿足endF（Xq，I）是可度量化的，當然，

Cp（N∪{q}，I）也是可度量化的，我們能提出如下問題：

問題5.1.給出空間Cp（N∪{q}，I）和空間endF（Xq，I）的關系，是否有Cp（N∪{q}，I）≈endF（Xq，I）？

2015年，在文獻[42]，楊寒彪等推廣了定理5.5，得到了函數空間的值域為dendrite時的對同胚性質，證明了下面的定理：

定理5.8.令X是僅包含有限孤立點的緊可度量化空間，Y是dendrite（不包含閉環的皮亞諾連續統）.則：

（endFUSC（X，Y），endFC（X，Y））≈（Q，c0）.

2020年在文獻[43]，楊寒彪等推廣了定理5.8，得到了函數空間的值域為樹并且其賦予的方向與定理5.8相反時候的同胚性質，證明了下面的結論：

定理 5.9.令 X 是皮亞諾連續統，Y 是包含 n 個分支{S1，S2，···，Sn}的樹.則：

這里CUP（Si）＝{f∈C（X，T）:maxf（X）∈Si}，這里endFCUP（Si）是可縮空間.

越野在文獻[44]中應用文獻[35]的思想證明了下面的結論：