基于改進的Bertotti 損耗分離模型的鐵心損耗計算

李丹丹，朱聰聰，喬振陽，吳宇翔，宋寅卯

（鄭州輕工業大學建筑環境工程學院，鄭州 450001）

0 引言

電動機、變壓器的鐵心由磁性材料構成，最常用的磁性材料是硅鋼片。電動機、變壓器的效率與其損耗密切相關，降低復雜工況下電動機、變壓器中的各項損耗對提高其效率有著至關重要的作用［1-2］。因此，精確模擬出硅鋼片的損耗特性是優化設計電氣設備以及提高產品性能的必要條件。鐵心損耗由磁滯損耗、渦流損耗和雜散損耗三部分構成，由于各項損耗產生的機理不同，相應的求解方法和各個因素對于各項損耗的影響程度不同，給精確計算鐵心損耗帶來了極大的困難［3］。因此，實現鐵心損耗的準確分離是精確計算鐵心損耗的重要前提。

對于磁性材料損耗特性的研究，目前普遍使用的方法主要分為：①基于實驗數據擬合的Steinmetz經驗公式法［4］；②基于磁化物理機制的磁滯損耗模型法［5］；③基于損耗機理的Bertotti損耗分離法［6］。

Steinmetz 公式因計算參數較少，表達形式簡單，計算速度較快從而得到了廣泛的應用。經典Steinmetz公式只適用于正弦激勵下的損耗計算，后續國內外學者對其在非正弦激勵情況下的應用展開研究，提出了修正Steinmetz 公式、廣義Steinmetz 公式、廣義Steinmetz改進公式和Steinmetz 波形系數公式［7-10］。但其缺乏對磁滯現象物理機理的解釋，且損耗系數只能通過大量的實驗測量數據擬合得到，所以其適用的磁通密度和頻率范圍較小［11］。且Steinmetz 公式無法實現損耗分離，不能有效地針對各個損耗部分進行分析計算。

磁滯模型主要有Preisach 模型、Jiles-Atherton（JA）模型和Enokizono and Soda（E&S）模型。磁滯模型計算法雖然可以精確地計算出鐵心損耗，但是辨識和提取損耗參數依賴于大量的實驗數據，辨識過程復雜繁瑣且計算量大，不適合實際應用。而且針對不同的模型，參數辨識方法以及損耗參數各不相同，通常每種模型都有特定的測量方法與測量設備，在研究過程中成本較高，也限制了磁滯損耗模型計算方法的推廣和應用。

Bertotti從損耗機理出發，將鐵心損耗分為磁滯損耗、渦流損耗和雜散損耗三部分，并提出了各個部分的損耗計算公式，實現了損耗分離。針對影響損耗計算精度的各個因素都可以找到相應的損耗部分去修正，大大提高了該模型的適用范圍與計算精度。基于損耗分離理論，學者提出了各自改進的鐵心損耗計算方法。文獻［12］中提出了變磁通密度和變頻損耗分離法，但并未考慮磁感應強度和頻率對磁性材料損耗的影響。文獻［13］中考慮了磁感應強度對磁滯損耗的影響，但并未考慮磁通密度峰值Bm對統計特征參數V0的影響。文獻［14］中根據實驗數據，采用最小二乘法進行線性擬合，確定了磁滯損耗和渦流損耗的損耗參數，但是忽略了雜散損耗的影響。

本文基于Bertotti損耗分離模型，將磁滯損耗參數表示成與Bm相關的多個部分，并擬合相應的參數。通過分析雜散損耗與頻率之間的關系，將斜率k 表示成與頻率有關的多項式函數，進而提出了一種改進的損耗模型。使用改進損耗模型對取向硅鋼片在不同磁通密度峰值下的損耗特性進行模擬研究，分析對比了模擬結果與實驗結果，結果證明改進模型的有效性與準確性。

1 取向硅鋼片的磁特性測量

1.1 磁性材料參數

采用寶鋼生產的27Q120 型號取向硅鋼片作為測量樣件，此硅鋼片鐵損低，磁感應強度高，疊裝系數高，容易剪切，切片尺寸精度高，常用于電動機、變壓器和互感器等電氣設備。取向硅鋼片的主要參數：密度7.65 ×103kg/m3，電導率2.27 MS/m，厚度0.27 mm，有效截面積46.7 mm2。

1.2 磁性能測試平臺

根據GB/T3655—2008《用愛潑斯坦方圈測量電工鋼片（帶）磁性能的方法》，選取24 片27Q120 為測試樣件，尺寸為30 mm×300 mm，使用TD8510 硅鋼片磁性能測試系統對磁性材料進行磁特性測量，得到磁通密度峰值Bm、磁場強度H、鐵心損耗P 等磁特性數據，測試平臺如圖1 所示。

圖1 愛潑斯坦方圈和TD8510磁性能測試系統

TD8510 是專用于檢測硅鋼片交流磁性能的測試系統，具有專用的校準接線端鈕，可通過等級的電壓表、電流表、功率表對系統進行校準，可在40～1 000 Hz（可選）頻率范圍內，準確測量晶粒取向型或無取向型硅鋼片的交流磁特性參數，并繪制相應的磁特性曲線。TD8510 測試系統的規格參數：磁場強度范圍1～10 kA/m，磁感應強度范圍0.01～1.9 T，測量頻率范圍40～200 Hz（可選），測量損耗范圍0～350 W/kg，有效勵磁功率0～500 VA/kg。

1.3 建立實驗數據庫

本文分別測量了0.5、0.75、1.0、1.25、1.5 T 時，頻率從40～400 Hz的磁性能數據，通過對磁性能數據的處理建立實驗數據庫。根據所建立的實驗數據庫分析頻率和磁感應強度對磁滯損耗和雜散損耗的影響，同時為損耗參數的確定和損耗分離提供了數據支持。

2 改進的Bertotti損耗分離模型

根據Bertotti損耗分離理論，鐵耗分離模型，

式中：Ph、Pcl和Pe分別為磁滯損耗、渦流損耗和雜散損耗。

為了減少變量的影響，便于損耗分離。將式（1）等價為每個周期損失的能量：

式中：Wh、Wcl和We分別為磁滯損耗能量、渦流損耗能量和雜散損耗能量。

其中渦流損耗是由于磁通隨時間交變，磁性材料產生感應電動勢而產生的渦流引起的，在本文中渦流損耗由公式計算，故研究時可當常數處理。在計算渦流損耗時，若忽略硅鋼片的趨膚效應，正弦激勵下渦流損耗能量為

式中：f 為頻率；Bm為最大磁感應強度；kcl為渦流損耗系數，

σ為硅鋼片電導率，S/m；d為硅鋼片厚度，m；ρ為硅鋼片密度，kg/m3。

2.1 磁滯損耗

目前普遍使用的損耗計算方法為Bertotti 經典常系數模型，通過式（3）求出正弦激勵下的渦流損耗能量后，該模型可表示為磁滯損耗與雜散損耗能量之和，如下式所示［15］：

式中：W為鐵心損耗能量；Wh0為Wh+We與f0.5的函數關系為線性時所對應的截距；S 為疊片截面積；G 為無量綱系數（G=0.137 5）；V0為表征統計特征參數，其數值大小與Bm有關。為方便下文研究問題，令k=

根據實驗測量的取向硅鋼片磁性能數據，由式（5）計算出Bm=0.75 T，f=40～400 Hz 時的Wh+We損耗能量分布圖，如圖2 所示。經大量的實驗證明［16-17］，當激磁頻率為0～15 Hz時，Wh+We的增長速度小于其他頻率，在計算損耗時，經典常系數模型往往將Wh+We與f0.5之間的函數關系式當作直線處理（截距為Wh0），忽略了當頻率為零時磁滯損耗能量的誤差，導致在特定磁通密度下雜散損耗偏大，進而影響鐵心損耗的計算精度。

圖2 Wh +We 的損耗能量分布

基于Barbisio的研究［16］，考慮頻率為零時磁滯損耗能量的誤差，在Wh+We與f0.5的函數關系式當作直線處理的基礎上（截距為Wh0），將磁滯損耗能量誤差表示為頻率無關項2n0V0Bm，此時，頻率為零時磁滯損耗能量即為兩者加和，如下式所示，

式中：n0為表征統計特征參數，其數值大小與Bm有關。

此時鐵心損耗計算公式為

式中：kh、α為磁滯損耗參數。

因此，為了提高損耗分離的準確性與鐵心損耗的計算精度，采用式（7）所示的損耗分離模型進行研究計算。

由式（7）和圖2 可知，待提取的參數為磁滯損耗能量、磁滯損耗系數kh、α 和統計特征參數n0、V0。磁滯損耗能量Wh為Wh+We與f1/2之間的函數關系式在頻率為零時所對應的截距。大部分學者通常采用直流磁特性測試系統（f=0 Hz）或者由低頻（3～20 Hz）損耗數據擬合獲得磁滯損耗能量，這兩種方法對設備在低頻時的測量精度有很高的要求，大大限制了該計算模型的推廣與使用。基于此，本文提出了一種確定磁滯損耗能量的方法，該方法首先利用常系數法確定了特定磁通密度下的Wh0；其次聯立式（6）與（7），基于特定磁通密度，不同頻率下的損耗數據，利用最小二乘法計算得統計特征參數n0、V0；最后利用式（6）計算得出頻率為零時的磁滯損耗能量Wh。

硅鋼片的磁化具有非線性特性，其損耗與激勵頻率和磁通密度不是簡單的線性關系，若將損耗參數擬合成常數在頻率或者磁通密度較高時會產生較大的誤差。因此，為了提高改進模型損耗模擬的精確度，將損耗參數α表示為磁通密度峰值的多項式函數，其擬合公式為

利用上述方法分別計算在磁通密度為0.5、0.75、1.0、1.25、1.5 T時相應的磁滯損耗能量Wh，然后采用非線性最小二乘法確定磁滯損耗參數kh、α。圖3 為擬合α 為Bm的多項式后的磁滯損耗能量分布圖，從圖中可明顯看出，該方法的計算精度較高，擬合效果較好。

圖3 磁滯損耗能量

2.2 雜散損耗

對于雜散損耗，聯立式（7）與（8），基于求得的參數統計特征參數n0、V0，計算出0.75 T 時Wh+We實驗值與計算值的損耗能量分布圖，如圖4 所示。從圖4可以看出，當n0、V0為常數且頻率高于200 Hz時，計算值與實驗值的相對誤差逐漸增大，模擬效果有所下降。其原因是函數關系式（式（7））的斜率k 并不是一個常數，實驗值的曲線斜率隨著頻率的增大而減小，若將斜率k和統計特征參數都擬合為常數，則會導致在高頻情況下計算值大于實驗值。

圖4 0.75 T時Wh +We 實驗值與計算值

為了使其能在任意頻率下準確地計算雜散損耗，將斜率k擬合為頻率f的多項式，

基于上述分析可知，本文首先利用常系數法和最小二乘法確定了不同磁感應強度下的磁滯損耗能量Wh；其次結合式（8）擬合得到磁滯損耗參數；最后在準確計算磁滯損耗能量的基礎上，利用不同頻率下的雜散損耗能量，結合式（9）擬合得到雜散損耗參數。以磁感應強度為0.75 T 為例，求得的損耗參數如表1所示。

表1 0.75 T時損耗參數

基于上述確定的損耗參數，聯立式（7）～（9），計算0.75 T時的Wh+We損耗能量分布圖，如圖5 所示。

對比圖4 和圖5 可知，當斜率k 擬合為頻率的多項式函數時，無論在高頻或者低頻的情況下，都有效地降低了k為常數時的誤差，提高了計算精度。

圖5 0.75 T時Wh +We 實驗值與擬合值對比

基于上述分析可知，本文分別對磁滯損耗和雜散損耗的損耗參數進行了修正，確定了改進后的磁滯損耗與雜散損耗的計算公式，即建立了改進的鐵心損耗計算模型，以磁感應強度為0.75 T 為例，改進的鐵心損耗計算公式：

3 取向硅鋼片鐵心損耗的計算

為了驗證本文所提改進損耗分離模型的準確性，在磁通密度峰值為0.75 T 和1.5 T 時，分別使用Bertotti經典常系數模型與改進損耗分離模型對取向硅鋼片27Q120 進行損耗計算，并將計算結果與實驗結果進行對比，如圖6 所示。

圖6 鐵心損耗實驗值與計算值的對比

由圖6 可知，在40～100 Hz 條件下，經典損耗模型擬合效果較差，最大相對誤差高達14%。本文所使用的改進模型則擬合效果較好，最大相對誤差僅有0.5%。其原因是經典損耗模型忽略了2n0V0Bm的影響，導致雜散損耗計算值大于實驗值，且會嚴重影響損耗占比。磁通密度峰值一定時，隨著頻率的增大誤差逐漸減小。進一步分析損耗與頻率之間的關系可知，Bertotti常系數損耗模型的損耗曲線隨著頻率的增大，逐漸趨近于相同工況下實驗值，擬合精度也相應提高。且在不同磁通密度峰值時，其損耗曲線趨近速度各不相同，例如Bm=1.5 T，在頻率為100 Hz時損耗誤差為0.6%，而Bm=0.5 T，在頻率為100 Hz時損耗誤差為1.8%。究其原因，是因為隨著頻率的增大，2n0V0Bm的損耗占比逐漸減小，在達到一定頻率時，可近似忽略2n0V0Bm的影響，采用Bertotti 常系數損耗模型進行鐵心損耗計算。

為了進一步驗證改進模型在不同磁感應強度下的適應性與準確性，本文使用改進的Bertotti損耗分離模型分別對磁通密度峰值為0.5、0.75、1.0、1.25、1.5 T時取向硅鋼片的鐵心損耗能量進行模擬計算。并將計算結果與實驗結果進行對比分析，如圖7 所示。

圖7 不同磁通密度峰值下損耗能量計算值與實驗值對比

從圖7 可以看出，在正弦激勵下該改進損耗分離模型在磁通密度峰值為0.5～1.5 T時，采用本文所提出的鐵心損耗計算方法得到的損耗值與實驗值較為接近，擬合效果較好，驗證了本文所提方法的準確性。

4 結語

本文基于Bertotti損耗分離模型，綜合考慮了磁通密度峰值和頻率對磁滯損耗和雜散損耗的影響，對損耗公式進行了更加細化的研究與改進，進而提出了一種改進的損耗模型。該改進模型將磁滯損耗參數擬合為磁感應強度函數，并針對雜散損耗在高頻時的誤差，將雜散損耗計算式中斜率k 擬合為頻率的函數，且考慮了頻率無關項2n0V0Bm的影響，進而提高了鐵心損耗的計算精度。通過對不同磁通密度峰值下鐵心損耗能量的實驗結果與計算結果對比分析，驗證了改進模型的有效性與實用性。