基于動量飛輪的單軸倒立擺系統實驗裝置

李 臻，劉龍龍，宋戰勝，宋正河，朱忠祥

（中國農業大學工學院，北京 100083）

0 引言

動量飛輪可用于多類系統的能量儲存與姿態控制，在汽車、航空航天、能源、軍事等多領域均有廣泛應用［1-3］，其技術理論涉及力學、機械、電子、控制等多學科知識，是較為理想的本科生實踐教學素材。在車輛工程專業的本科培養方案中，大學物理、理論力學、機械原理、電工與電子技術、控制工程基礎、嵌入式系統開發等基礎和專業課程的邏輯性和系統性較強。

基于動量飛輪的單軸倒立擺實驗系統具有設計簡單、成本較低等優點，且組成結構和控制參數易于改變，具有非線性、開環不穩定等特點［4-7］。本實驗裝置的設計、搭建和測試試驗要求學生在充分理解利用動量飛輪回穩原理的基礎上，學習使用包括加速度傳感器和陀螺儀等慣性測量單元，通過建立系統動力學模型及穩定性評價指標，對失穩傾向和角度進行實時識別和判斷。同時，要求學生熟練運用PID 控制理論實現對小型直流驅動電動機的控制，并通過搭建實物系統進行驗證。通過該裝置的設計及試驗，可達到充實學生專業知識、培養其研究意識和動手實踐能力等目的，從而提升學生綜合運用多學科知識對復雜工程問題的實際解析能力，有效踐行高校“新工科”建設實質。

1 飛輪倒立擺動力學系統建模

采用拉格朗日能量法對倒立擺系統進行動力學建模［8-9］。忽略空氣阻力，將飛輪倒立擺系統簡化為飛輪和勻質細桿。飛輪在豎直平面內可產生與加速方向相反的力矩，從而使擺桿最終穩定在平衡位置附近。

在運動平面上建立慣性坐標系O-XY。設擺桿重心位置為O1，質量為m1，轉動慣量為I1。質心在慣性坐標系下的位置坐標為（x1，y1），擺桿可繞原點O發生平面轉動。飛輪質量為m2，重心為O2，位置坐標為（x2，y2），角速度為ω，轉動慣量為I2。擺桿與豎直方向的偏轉角為θ，原點O和O1的距離為L1，擺桿質心與飛輪質心距離為L2，飛輪轉角為φ。倒立擺模型如圖1 所示。

圖1 基于動量飛輪的單軸倒立擺模型

根據拉格朗日能量法建立系統動力學模型。

系統總動能為

系統總勢能為

引入拉格朗日初始化方程：

令L1=L2，得拉格朗日算子：

將廣義坐標qi和L代入拉格朗日方程：

式中，i=1，2，…，n。本系統選取傾角θ和轉角φ作為系統的2 個廣義坐標。求得系統的廣義力矩為

式中，u為飛輪的驅動力矩。

系統的耗散力函數包括：

擺桿產生的耗散力

飛輪產生的耗散力

式中：c1為擺桿繞旋轉軸轉動時的摩擦阻力矩系數；c2為飛輪繞電動機軸轉動時的摩擦阻力矩系數。由此可得：

式（9）和（10）即為系統在忽略空氣阻力條件下的運動學表達式。

2 動量飛輪倒立擺實驗裝置設計

本文設計的動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置如圖2所示。裝置選用775 型直流有刷電動機驅動動量飛輪旋轉，額定電壓為12 V，轉速范圍為5 000～12 000 r/min，選配功率放大芯片TB6612FNG 驅動電動機。擺體的傾角和角速度由MPU6050 測量模塊獲得，電動機轉速信號由編碼器直接測量，并將產生的正弦方波信號發送至STM32F103C8 芯片，轉化為數字信號后傳遞至控制系統，經邏輯電路運算實現輸出信號的電位變化，以實現電動機的動態控制［10-12］。

圖2 動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置設計方案

為使飛輪在較小的質量條件下具有較大的轉動慣量，將其設計為圓環中空形狀，材料為鑄鐵，具體尺寸如圖3 所示。

圖3 動量飛輪設計方案（mm）

可得飛輪的轉動慣量為

裝配完成后的動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置如圖4 所示。

圖4 動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置

3 系統平衡控制方法

實驗裝置控制系統使用PID調節器控制飛輪驅動電動機，采用閉環控制與PID算法相結合，以提高控制算法的準確性，同時增強控制系統的穩定性和抗干擾能力［13-14］。

3.1 位置閉環控制

通過陀螺儀傳感器測量飛輪倒立擺系統的位置信息，將其傳遞給控制系統，通過反饋回路將位置目標值與實際值進行比較，使系統能夠穩定地向平衡位置靠近，盡可能使系統傾角和角速度為零。實驗裝置進行位置測量時采用離散化處理，累加離散化的數據以代替積分過程，得到傾角數值［15］。離散化PID 計算公式為

式中，e（k）為本次傾角測量位置；e（k -1）為上一次傾角測量位置；∑e（k）為自系統啟動開始，位置傾角的總偏差值，其中k為1，2，…，n。

由于在位置測量中存在近似替代處理，不可直接使用單次編碼器測量出的結果值，需使用系數與之相乘。考慮累加偏差值與零點漂移效應的影響，利用每兩次位置差值計算單軸姿控飛輪倒立擺系統與平衡位置的接近程度，預測系統靠接平衡位置點的運動趨勢。

為確定飛輪的偏離角度，需計算飛輪從啟動到當前時刻的時間段內，累加每次采樣的偏差值，得到總偏差積累量，并將其輸入PID調節器參與計算，輸出校正環節的PWM信號參數。本實驗裝置位置控制架構和PID調節器控制流程分別如圖5 和圖6 所示。

圖5 位置控制系統架構

圖6 位置閉環PID控制流程圖

3.2 速度閉環控制

在實驗裝置中，編碼器由鋰電池供電，飛輪驅動電動機的速度控制頻率為100 Hz。

在速度控制系統中，通過改變PWM 信號占空比實現速度的變化，控制時增量式離散PID 控制策略實現，使用PI兩個參數進行控制［16］：

當系統處于非平衡位置時，輸入值與設定值存在偏差。編碼器將最近兩次采樣偏差值傳遞到PI 調節器的校正環節中，經內部邏輯運算得到輸出值后，產生輸出信號傳遞到控制系統，本實驗裝置采用的速度閉環控制流程如圖7 所示。

圖7 速度閉環PID控制流程圖

在速度PID調節器參數中，KP值取500，KI參數初始設定值由KP/200 計算得到。通過在實驗過程中結合觀察上位機波形的控制效果，將Ki值設定為2。

4 實驗裝置測試及結果分析

控制系統按照設定的控制算法計算出電動機輸出的偏差量與期望值，向執行機構輸出控制信號，驅動步進電動機加減速，使飛輪倒立擺能夠穩定在鉛垂線附近。

基于動量飛輪的單軸倒立擺實驗裝置搭建完成后總質量為2.2 kg，空間尺寸為350 mm（長）×350 mm（寬）×277 mm（高）。在測試試驗過程中，通過上位機輸出波形檢測試驗裝置的工作性能。如圖8 所示，綠色為目標值曲線；灰色為實際測量值曲線；藍色曲線則表示受到外界干擾時飛輪倒立擺產生的位置偏差。將飛輪置于平衡位置附近啟動系統，可降低系統啟動位置變化的偏離幅度，因此啟動位置和實際平衡位置存在一定偏差，表現為圖8（a）中系統在啟動階段位置偏差增大。

圖8 飛輪倒立擺實驗裝置輸出波形圖

系統工作一段時間后，啟動過程中產生的誤差積累量會逐漸被系統消除，倒立擺逐漸靠近并穩定在平衡位置附近。在本實驗裝置的測試中，單軸倒立擺系統的位置實際值與目標值之間始終存在固定不變的差值，即綠、灰兩條曲線基本保持平行變化趨勢。產生此現象的原因為初始值在設定時僅能表示為整數，當實際平衡位置角度因裝配等誤差不為整數時便會存在差值，無法完全消除。

本實驗中為了更加清晰地觀察曲線的變化，在DataScope文件生成上位機采樣點的數據，繪制出一張更為詳細具體的曲線變化圖，如圖9 所示。

圖9 DataScope文件生成的平衡位置波形圖

由圖9 可知，因系統會受到空氣阻力或摩擦力的干擾，整個系統在某些位置會發生較大的波動，但在上位機中沒有體現出這種現象，該波形圖驗證了本實驗裝置的可靠性和實驗結果的合理性。經測試，本實驗裝置將倒立擺控制在平衡位置附近的實際效果如圖10 所示。

圖10 基于動量飛輪的單軸倒立擺實驗裝置控制效果

5 結語

本文基于動量飛輪姿態控制原理，設計、搭建并測試了單軸倒立擺系統實驗裝置。通過數學建模、機械制圖、電路設計和機械加工，結合軟、硬件設計、測試與應用，實現了以動量飛輪加、減速反力矩進行系統平衡控制的功能。該實驗裝置有助于學生充分、綜合、深度地運用機械工程學科中有關數學、力學、機械、電子、控制及嵌入式系統等方面已學習的基本理論知識，以解決實際的復雜工程問題為目標，通過實踐經驗加深對知識的靈活運用和對專業的認識及熱愛程度。