虛實結合的板球系統設計與教學

郭艷婕，趙 丹，田小靜，要義勇，楊立娟，劉金鑫

（1.西安交通大學a.機械工程學院；b.高端裝備研究院，西安 710049；2.西安航空職業技術學院，自動化工程學院，西安 710089）

0 引言

“新工科”強調學科的實用性、交叉性與綜合性，尤其注重信息通信、電子控制、軟件設計等新技術與傳統工業技術的緊密結合［1-4］。板球系統是多變量、非線性、復雜的欠驅動動力學系統，也是控制理論研究的典型對象，其控制目標是讓一個自由滾動的小球能夠平衡在具有兩個自由度的平板上的特定位置，或者沿一定的軌跡滾動。該系統以圖像作為反饋信息，通過電動機轉動讓平板發生傾斜，從而控制平板上的小球運動軌跡［5-7］。

板球系統作為一個具有兩自由度的機械系統，通常用于對動態系統、經典控制理論和現代控制理論以及運動控制技術、數字圖像處理技術等課程實驗和研究。板球系統是一個非常典型結合視覺、運動控制和自動控制技術的系統，也是培養學生綜合能力的平臺［8-11］。

1 板球系統簡介

1.1 板球系統組成

板球系統實物和系統結構如圖1 所示。包括電腦、PCI總線的運動控制卡、帶Gige接口的相機以及板球系統本體。板球系統本體包括2 個電動機及連桿機構、圓盤和小球。直流伺服電動機通過偏心輪控制連桿運動，讓圓盤發生傾斜。圓盤正中心為十字聯軸器，可以隨著板球的傾斜發生旋轉。相機可以捕獲和讀取小球的位置，通過控制電動機的運動，實現小球位置的控制。

圖1 板球系統組成

1.2 控制系統

（1）相機標定。圖像的表示為像素點，為確定小球的具體空間位置，需要建立圖像與相機之間空間坐標系，為小球的定位準備。本系統中，將X 軸電動機所帶連桿與盤的接觸點與圓盤中心連線設為X 軸，其中板球水平時，電動機順時針轉動，小球滾動方向為X軸正方向；將Y軸電動機所帶連桿與盤的接觸點與圓盤中心連線設為Y 軸，小球滾動方向為Y 軸正方向。在圓盤上有6 個位置固定點，這6 個點與坐標軸關系如圖2 所示，這6 個點之間距離見表1。

當板發生旋轉時，這6 個點坐標發生變化，球盤繞X軸旋轉角度α，繞Y軸旋轉角度β，此時球盤上某點坐標（x，y，z）會從原來的（x0，y0，z0）發生變化：

圖2 標定點與坐標軸關系

表1 標定點距離

當α、β的值均為0.1878 rad，根據傳動比計算此時電動機旋轉角度為0.8 rad，此時球盤上6 個標定點坐標發生變化，根據式（1）即可計算出坐標點變化值，見表2。

表2 旋轉后標定點距離

反方向旋轉同樣角度，6 個標定點坐標發生變化，此時坐標見表3。

表3 旋轉后標定點距離

通過電動機的旋轉共得到18 個點的坐標（世界坐標及圖像坐標），并根據這些點的坐標計算出攝像機的內外參數，為后續的控制提供依據。

（2）電動機控制。板球系統實時控制如圖3 所示。該系統需要完成對小球在平板位置數據的采集，根據讀取的電動機位置反求此時小球的位置，根據控制算法計算出響應的控制量并下發給執行機構。

圖3 控制流程圖

為了提高執行效率，開發了基于C++的實時控制程序，其核心代碼如下：

2 板球系統理論分析

板球系統通過X、Y 方向各有電動機帶動連桿運動，從而讓小球運動，小球在X、Y 方向上的運動與該方向的電動機密切相關，如圖4（a）所示。在這里以單個方向的連桿運動為例，如圖4（b）所示，建立板球的傳遞函數，幫助分析小球的運動。

以板上小球為例，對小球建立動力學方程：

圖4 板球系統的傳遞函數建立

式中：φ為板在該方向傾角；m為小球重量；R為小球半徑；J=為小球的轉動慣量；g 為重力加速度，9.8 m/s2；r為小球運動距離；f0為小球受到摩擦力；σ為小球往下滾動的角加速度。

由于小球設為純滾動，小球的速度˙r 與小球滾動角速度ω之間存在：

因此，可以得到小球加速度與小球滾動角加速度之間存在：

聯立式（2）～（5）可得：

由于φ→0，sin φ≈φ，可以得到：

因此可以知道小球的運動距離與板之間傾角傳遞函數為：

平板在該方向傾斜角度與電動機轉動角度之間進行求解。其中連接桿MN之間距離為l；連桿OM間距離為d；O′N間距離為L。圖4（b）中M1、N1為起始點位置，點M2、點N2為運動后的位置，其坐標與電動機角度φ之間存在如下關系：

從而可以求得：

根據式（10），可以求得電動機轉動角度φ與平板在該方向傾斜角度φ 之間關系如圖5 所示?？梢?，當電動機轉動角度在-1.846～1.394 rad 之間，是近似平滑的一條曲線，但是當超出這個范圍后，電動機轉動角度與盤的傾斜角度之間關系也發生了改變，因此這個范圍也是電動機運動允許的極限位置。

圖5 電動機轉動角度與盤的傾斜角度之間關系

3 基于根軌跡的虛實結合實驗項目設計

在板球系統中，不僅可以驗證圖像處理算法，還可控制小球在平板上的位置。在該實驗平臺上，結合機械控制工程基礎課程內容，開設綜合性實驗。

該實驗包括2 部分，虛擬仿真與實物控制，通過虛實結合的方法設計控制參數，并比較虛擬仿真結果與實物控制結果的區別。在考核環節，引入過程考核，建立實驗項目量規表。

3.1 虛擬仿真

Simulink是Matlab中的一種可視化仿真工具，采用框圖設計環境，可實現動態系統建模、仿真和分析。在該環境中即可仿真板球系統的控制參數為實物控制提供依據［12-13］。

當加入控制環節時，通過圖6（a）所示的根軌跡可以確定其增益為0.55，零點為-1 時，系統趨于穩定，此時系統的仿真控制框圖如圖6（b）所示。可見系統此時配置了開環零點-1，配置增益0.55，采用根軌跡方式對系統進行了改善。

圖6 x方向仿真曲線

圖7 為小球在某個方向上的位移階躍響應曲線，其中，橫坐標為仿真時間；縱坐標為小球在該方向上的目標位置。仿真表明，在10 s 時給x 方向干擾，系統會在5 s 內達到新的平衡，說明了選取參數具有良好的穩定性。

圖7 x方向階躍響應曲線

3.2 實物對比

為了提高小球的響應速度，采用C++開發板球控制系統，將根軌跡算法嵌入到控制系統中，從而實現小球的實時響應。該界面包含標定系統，可標定該高度下，圖片像素點位置與空間坐標系關系，同時還可以顯示圖片，獲取小球實時位置，并實時調整控制參數，觀察控制結果。

這里控制參數與仿真參數一致，將仿真控制結果與實際控制結果進行對比，具體數值如圖8 所示，可見，當設定小球位置在中心處時，小球的實際位置在0.28 mm、-0.13 mm處，可以很好滿足控制要求。進一步地對多組數據進行分析，表4 為統計多個位置的理論與實際位置，并計算最終的穩態誤差，可見本方法的穩態誤差較小，可以很好地滿足控制要求，達到了最終控制效果。

圖8 實物控制結果

表4 穩態誤差計算

3.3 實驗考核

板球系統可以設置為機械控制工程基礎的綜合性實驗，該實驗的考核采用過程考核的方式，實驗劃分的4 部分，將每一部分根據學生完成情況進行分析。實驗的具體考核見表5。

表5 綜合性實驗量規表

4 結語

板球系統結合圖像、控制于一體系統，學生可以通過該系統直觀地理解圖像處理與控制算法。該系統的研究包括2 個方面：圖像處理方法，通過平板上的固定點在圖像中的像素位置，建立像素點與距離、平板運動的轉換矩陣實現位置標定，小球圓心也需要采用圖像處理方法提取出，并建立小球的空間坐標及運動速度；自動控制算法，通過建立小球位置與電動機角度之間的傳遞函數，通過運動控制算法控制平板上小球到達指定位置或按固定軌跡運動。

在該系統上開設的虛實結合的綜合性實驗，將控制技術應用到實際的機械對象上。激發學生的學習興趣，增強學生對機械控制的理解能力，培養學生運用控制理論分析問題、解決問題的能力，開闊了視野。