空間雙臂機器人抓捕翻滾目標后的魯棒穩定控制1)

夏鵬程 羅建軍 王明明

(西北工業大學深圳研究院,廣東深圳 518057)

(西北工業大學航天學院,西安 710072)

引言

在軌維修失效衛星是當前空間機器人在軌服務的重要應用場景[1].空間機器人抓捕翻滾目標技術是在軌服務所需的關鍵技術之一[2-3].一般將空間機器人抓捕目標的過程分為抓捕前,抓捕中和抓捕后3個階段.在抓捕后階段,如何保證機械臂末端與目標接觸力/力矩在安全范圍內穩定和操控目標是空間機器人在軌服務的難點之一.

考慮到抓捕后階段任務的安全性和復雜度,空間機器人的抓捕控制通常分為期望運動軌跡規劃和軌跡跟蹤控制兩個過程.對于慣性參數已知的目標,抓捕后的軌跡規劃問題通常被轉換為優化問題求解[4].Dimitrov 等[5-8]從能量守恒約束的角度規劃了抓捕后階段的期望運動軌跡.王明明等[9-11]則利用樣條曲線對機器人關節運動進行參數化處理,規劃了時間最優的空間機器人運動軌跡.余敏等[12-14]針對空間雙臂機器人提出了一種協調基座與機械臂運動的軌跡規劃方法.在實際應用中,因為無法提前準確地獲得翻滾目標的慣性參數,通常利用其估值實現軌跡規劃與跟蹤控制.由于被抓捕目標的慣性參數存在不確定性,抓捕了翻滾目標的空間機器人并不能有效地跟蹤規劃的期望運動軌跡.為了解決這一問題,研究者們針對目標與空間機器人構成的組合體提出了自適應控制策略[15-17].然而上述針對組合體提出的控制方法并未考慮控制過程中因目標與機械臂末端交互而產生的接觸安全問題.

當空間多臂機器人跟蹤期望運動軌跡時,由于目標慣性參數具有不確定性以及抓捕矩陣零空間內多臂之間拉扯與擠壓內力的影響,空間機器人末端的接觸力/力矩可能無法滿足規劃的安全接觸約束[18-19].為了保證機械臂末端的接觸安全,減小交互過程中的接觸力/力矩,空間機器人的研究學者引入了地面機器人的阻抗控制方法[20-22].Abiko 等[23-27]基于阻抗控制方法設計了跟蹤控制器,通過設計關節的控制力矩,將機械臂末端運動與接觸力之間的關系等效于一個質量?彈簧?阻尼系統,有效地調整了目標與機械臂末端的接觸情況.為了提高阻抗控制效率,Stolfi 等[28-29]提出了僅對產生接觸的運動方向采用阻抗控制的混合控制策略.Xia 等[30]提出了一種根據末端接觸情況調整期望運動的方法,通過調整期望運動軌跡的方式保證末端接觸的安全.上述研究僅利用機器人力控制方法被動地調整了交互過程中的接觸力與力矩,而并未在最初設計期望運動軌跡的過程中預先考慮目標慣性參數不確定性的影響,從而無法有效地約束接觸力與力矩,進而保證接觸安全.在近年的研究中,為了主動地處理因模型不確定性而產生的接觸安全問題,Gangapersaud 等[31-32]針對模型不確定性有界的情況,設計了考慮模型不確定性的期望運動軌跡以及跟蹤控制器.

為了有效地約束空間雙臂機器人穩定和操控翻滾目標運動過程中的接觸力與力矩,保證抓捕點處的接觸安全,本文提出了一種考慮目標慣性不確定性與抓捕點處內力的接觸安全魯棒控制方法.首先,利用目標慣性參數的估值,設計穩定控制的標稱運動.在此基礎上,考慮目標不確定性以及內力的影響,構造目標運動包絡的魯棒不變集.在不變集內設計控制目標運動穩定的虛擬魯棒控制律.隨后,根據該控制律與運動約束生成組合體的期望運動.最后,基于障礙李雅普諾夫函數設計了跟蹤控制器,使得空間機器人能夠在設計的控制性能約束范圍內有效地跟蹤期望運動軌跡、翻滾目標的運動受到等效于虛擬控制律的接觸力/力矩,從而保證控制過程中的接觸安全.

1 抓捕翻滾目標后的組合體建模

鑒于七自由度機械臂具有冗余度、方便完成多目標的空間操控任務,本文中空間機器人由兩個對稱安裝的七自由度剛性機械臂與一個六自由度運動的可控基座組成.翻滾目標與空間雙臂機器人在抓捕點處連接形成組合體,如圖1 所示.

圖1 空間機器人抓捕后示意圖Fig.1 Snapshot of space robot after capturing target

式中,Jte目標質心到抓捕點的雅可比矩陣.為了方便描述,對于向量x∈R3,x×表示為與其對應的反對稱矩陣.根據向量x1,x2∈R3,定義如下運算

目標的六自由度運動規律可以表述為如下的形式

式中,It為翻滾目標的慣性矩陣.由于目標與空間機器人固連,目標的運動受到接觸力/力矩的影響.將式(1)和式(4)聯立,可以得到組合體的閉鏈動力學方程

2 接觸安全因素分析與處理

為了有效地約束空間雙臂機器人抓捕和穩定翻滾目標運動過程中的接觸力/力矩,保證抓捕點處的接觸安全,需要對影響接觸安全的因素進行相應的分析.

2.1 目標慣性參數不確定性影響分析

由于翻滾目標的慣性參數無法提前準確地測量,因此存在不確定性.一般利用其慣性參數的估值設計期望的運動軌跡.首先,利用多項式將目標的運動空間進行參數化處理.隨后,根據式(4)中的目標動力學方程,將標稱運動的規劃問題轉化為如下優化問題,可得

式中,ε為目標運動狀態與最終期望之間的誤差,T0為運動時間,λ1和λ2為權重因子,fmax為接觸力/力矩的安全約束,xtmin和xtmax為運動狀態的上下界.通過求解上述優化問題,可以得到目標運動的期望軌跡.最終,利用目標與機械臂的運動學約束,求解得到組合體中機械臂關節與基座的期望運動軌跡.由目標的動力學方程可知,對于慣性參數已知的目標,當跟蹤控制器有效地跟蹤上規劃的期望軌跡時,目標將受到規劃的接觸力/力矩作用.

對于慣性參數無法準確獲知的目標,由于不確定性的影響,動力學模型中與目標慣性參數相關的項存在如下的關系

因此,在抓捕后階段,根據雙臂機器人末端的速度無法準確地估計目標質心的運動速度.此外,由于雅可比矩陣Jte的真值無法獲得,接觸力/力矩對目標運動的實際作用效果存在偏差.

綜上分析,當空間機器人有效地跟蹤上利用目標估計參數規劃參考的期望軌跡時,根據目標的動力學方程式(4),有以下的關系

式中,wt為目標慣性參數不確定對估計動力學模型產生的影響.?fe為接觸力/力矩的實際值fe和規劃值fep之間的誤差.當空間機器人有效地跟蹤利用估計參數規劃的期望運動時,由于不確定的目標慣性參數影響,空間機器人末端與目標交互的過程無法滿足規劃的接觸力/力矩約束,控制過程存在接觸安全問題.因此,有必要在規劃的過程中考慮目標不確定性的影響,使得空間機器人在跟蹤期望軌跡時能夠保證接觸的安全.

2.2 機械臂末端內力影響分析

當空間機器人的雙臂同時作用于非合作目標時,描述末端接觸力/力矩的fe和作用于目標質心運動的向量FE滿足如下的關系

式中,FE為控制目標運動的有效力與力矩.與空間單臂機器人不同,當兩個機械臂同時作用于目標時,在雅可比矩陣Jte的零空間內會產生不影響目標運動的無效力與力矩FI即內力,其表達式如下

式中,?表示矩陣的廣義逆,I為單位矩陣.內力FI反應了多個機械臂與目標之間的拉扯與擠壓.FI僅對機械臂末端的接觸力/力矩產生影響.因此,為了抓捕點處機械臂末端與目標接觸的安全,還需要在規劃期望軌跡的過程中考慮內力的影響.

3 魯棒運動軌跡規劃

經上分析可知,為了保證穩定過程中抓捕點處的接觸安全,需要在規劃期望運動的過程中考慮目標不確定性以及內力的影響,以便空間機器人能在約束的接觸力/力矩內安全有效地跟蹤期望運動,保證控制過程中抓捕點處的接觸安全.為此,本文提出了一種考慮目標有界不確定性以及內力影響的魯棒軌跡規劃方法.

根據動力學方程(4)可知,目標的期望運動可以通過規劃期望的接觸力與力矩得到.因此可以將接觸力/力矩視為虛擬的控制量,針對目標運動設計虛擬的魯棒控制律,即可根據式(4)得到考慮目標不確定性的目標期望運動軌跡.在此基礎上,根據式(2)中的運動約束,可求解得到組合體中空間雙臂機器人關節與基座的期望運動軌跡.

本文采用魯棒預測控制方法設計虛擬控制律.如圖2 所示,首先,利用目標慣性參數的估值,根據

圖2 基于虛擬控制律的控制過程示意圖Fig.2 Schematic diagram of the virtual control law

為了描述控制受到有界不確定性影響的系統逼近標稱運動軌跡的過程,首先對目標的動力學進行離散化處理

3.1 目標慣性不確定性與機械臂末端內力處理

為了考慮目標與雙臂之間的拉扯、擠壓對于末端接觸力/力矩的影響,利用雅可比矩陣Jte以及其零空間可以構造如下的正定矩陣

為了使得目標的運動狀態在受到其慣性參數有界不確定性影響時仍能夠處于狀態約束范圍內,本文構造了目標運動包絡的魯棒正不變集.當目標的運動狀態處于該魯棒正不變集內時,即便受到慣性參數不確定性影響仍能處于該集合內.因此在滿足狀態約束的不變集內控制翻滾目標運動,目標的運動狀態夠滿足規劃的狀態約束.為了方便構造不變集,根據標稱軌跡定義如下集合的序列,即

根據目標狀態以及接觸力/力矩的約束,考慮目標不確定性的有界性,可以構造不變集序列構造過程詳見附錄與參考文獻[33].

3.2 魯棒軌跡生成

為了在求解式(19)中優化問題的過程中考慮目標不確定性以及機械臂末端內力影響,快速地生成魯棒的期望運動軌跡,本文采用將此N步預測控制問題拆分為N次的單步預測控制問題求解.進行單步預測控制時,根據當前的狀態設計如下的反饋控制律

通過對式(26) 中的控制問題迭代求解,即可得到魯棒的虛擬控制律.根據目標的標稱模型式(4)和虛擬控制律,得到考慮目標慣性不確定性與機械臂末端內力影響的魯棒目標期望運動軌跡.鑒于空間機器人與目標滿足式(2)中的運動學約束.通過求解滿足約束的逆運動學,即可得到與魯棒的目標期望運動軌跡對應的空間機器人關節與基座期望運動軌跡.由于目標的運動受到機械臂末端接觸力與力矩的影響,當空間機器人有效地跟蹤上期望運動軌跡時,目標運動受到等效于魯棒控制律的接觸力與力矩作用,從而約束了抓捕點處產生的接觸力與力矩,保證了接觸安全.

4 基于障礙李雅普諾夫函數的跟蹤控制器設計

為了約束控制過程中抓捕點處的接觸力/力矩,空間雙臂機器人需要有效地跟蹤期望運動軌跡.本文基于障礙李雅普諾夫函數[34]設計了跟蹤期望運動軌跡的控制器.

利用退步法構造控制空間雙臂機器人跟蹤期望運動軌跡的李雅普諾夫函數如下

利用此跟蹤控制器,可以在設定的約束性能范圍內有效地跟蹤期望運動軌跡.

綜上,本文通過設計虛擬魯棒控制律規劃魯棒的期望運動軌跡,隨后,在約束性能范圍內有效地跟蹤期望軌跡,使得目標運動能夠受到等效于虛擬魯棒控制律的接觸力/力矩控制,從而約束抓捕點處的接觸力/力矩,保證接觸安全的同時實現抓捕后階段的魯棒穩定控制,該魯棒控制方法的結構如圖3所示.

圖3 魯棒穩定控制方法結構圖Fig.3 Schematic diagram of the proposed control scheme

5 仿真驗證

為了驗證所提魯棒穩定控制方法的有效性,本節利用該方法設計了穩定翻滾目標的仿真算例和兩組對照組.抓捕后階段組合體的動力學與運動學參數如表1 所示.估計的慣性參數為真實值的85%.雙臂末端的接觸力/力矩安全約束分別為[?20,20] N 與[?20,20] N·m.翻滾目標的運動速度為[0.05,0.18,?0.22] m/s,角速度為[0.05,?0.28,?0.18]rad/s,兩個抓捕點在目標本體坐標系上的位置分別為[0,0.5,0]Tm 和[0,?0.5,0]Tm.為了規劃目標的期望穩定運動,首先利用n階多項式對目標運動的速度以及角速度進行參數化處理.根據目標慣性參數的估計值建立式(6)和式(7)中的優化問題,通過求解優化問題得到參考的期望運動軌跡.

在兩組對照組中,空間雙臂機器人跟蹤利用估計參數設計參考的期望軌跡.在對照組1 中,利用如下的PD 控制器跟蹤參考期望運動軌跡,可得

在對照組2 中,利用該控制器跟蹤參考期望運動軌跡.約束跟蹤控制器的控制參數選擇如下

本文所提約束跟蹤控制器的控制性能以及有效性,可以通過對比對照組1,2 的仿真結果予以驗證.

所提魯棒控制方法采用同樣的約束跟蹤控制器.選擇目標速度為零的狀態序列作為標稱軌跡.同時令N=20,?t=0.01 s,Qr為單位陣.由抓捕點的位置可知,Rr是正定的.本文所提魯棒穩定控制方法的有效性,可以通過對比對照組1 與所提方法的仿真結果予以驗證.

圖4 ～圖6 分別展示了對照組1,2 以及所提方法翻滾目標的運動情況.仿真結果顯示,對照組方法和本文所提的魯棒控制方法均能夠有效地控制空間雙臂機器人穩定翻滾目標的運動.對照組中利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡需要5.5 s 實現目標運動穩定,利用所提的魯棒穩定控制方法可以在3.2 s 內實現翻滾目標的穩定.

表1 組合體運動學和動力學參數Table 1 Kinematica and dynamic parameters of combination

圖4 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時目標的運動速度Fig.4 Velocities of the target when space robot tracks the estimated trajectory with PD controller

圖5 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時目標的運動速度Fig.5 Velocities of the target when space robot tracks the estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖6 利用所提魯棒控制方法穩定目標運動時目標的運動速度Fig.6 Velocities of the target under the control of the proposed robust scheme

圖7 ～圖9 展示了穩定翻滾目標運動過程中空間雙臂機器人的關節速度跟蹤誤差.由仿真結果可知,PD 和所提約束跟蹤控制器均有效地跟蹤了期望運動.在穩定過程中,PD 和約束跟蹤控制器分別用了6 s 和4 s 將關節角速度的跟蹤誤差收斂至10?3數量級以內.由圖8 和圖9 中的結果可知,約束跟蹤控制器能在約束的性能范圍內控制跟蹤誤差收斂,跟蹤不同期望運動軌跡時能夠保證誤差收斂的速度.

圖7 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時的關節角速度跟蹤誤差Fig.7 Tracking errors of the joint angular velocities tracking estimated trajectory with PD controller

圖8 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時的關節角速度跟蹤誤差Fig.8 Tracking errors of the joint angular velocities tracking estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖10 ～圖12 展示了對照組1,2 和所提控制方法穩定翻滾目標運動時末端的接觸力/力矩.由于抓捕初始時刻抓捕點處與機械臂末端存在不可估計的加速度差,在抓捕后階段的開始,目標與機械臂末端會因為連接后的穩定控制產生沖擊.對比圖10 和圖11的仿真結果可知,采用不同的跟蹤控制器,機械臂末端與目標交互過程中產生的接觸力/力矩會因為控制效果而不同.結合圖7 ～圖9 中的結果可知,與利用PD 控制器跟蹤期望運動軌跡的情況相對比,利用約束跟蹤控制器跟蹤期望運動軌跡時的跟蹤誤差范圍較小,約束控制器可以有效地處理初始沖擊對目標運動加速度產生的影響,能有效地控制空間雙臂機器人跟蹤期望運動軌跡,在抓捕點處產生較小的接觸力/力矩.此外,由圖10 和圖11 的仿真結果可知,由于對照組參考期望運動軌跡并未考慮目標不確定性與內力的影響,穩定過程中機械臂末端的接觸力/力矩可能無法滿足規劃的約束.

圖9 利用所提魯棒控制方法穩定翻滾目標時機械臂的關節角速度跟蹤誤差Fig.9 Tracking errors of the joint angular velocities under the control of the proposed robust scheme

圖9 利用所提魯棒控制方法穩定翻滾目標時機械臂的關節角速度跟蹤誤差(續)Fig.9 Tracking errors of the joint angular velocities under the control of the proposed robust scheme(continued)

圖10 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時機械臂末端的接觸情況Fig.10 Contact wrenches of the manipulators tracking the estimated trajectory with PD controller

圖11 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時機械臂末端的接觸情況Fig.11 Contact wrenches of the manipulators tracking the estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖12 利用所提魯棒控制方法穩定翻滾目標時機械臂末端的接觸情況Fig.12 Contact wrenches of the manipulators under the control of the proposed robust scheme

圖12 利用所提魯棒控制方法穩定翻滾目標時機械臂末端的接觸情況(續)Fig.12 Contact wrenches of the manipulators under the control of the proposed robust scheme(continued)

圖12 展示了利用所提魯棒控制方法穩定目標運動時機械臂末端受到的接觸力/力矩.由圖中結果可知,所提控制方法在穩定翻滾目標的過程中,在0.6 s 后空間機器人雙臂末端的接觸力/力矩滿足安全約束[?20,20] N 與[?20,20] N·m,保證了接觸安全.對比對照組的結果可知,經過初始沖擊后所提方法可以有效地約束末端的接觸力/力矩在[?20,20]N 與[?20,20]N·m 的范圍以內.當目標的不確定性在估計的邊界以內時,所提方法可以有效地約束末端的接觸力/力矩,保證抓捕后階段翻滾目標穩定時的接觸安全.

圖13 ～圖15 展示了控制過程中的控制輸入.由圖13 的仿真結果可以看出,PD 控制器為了跟蹤上期望運動軌跡,在初始的1 s 內,控制輸入在輸入飽和的約束范圍[?300,300]N 與[?300,300]N·m 內振蕩.由圖14 和圖15 的仿真結果可知,與利用PD 控制器跟蹤期望運動相比,約束跟蹤控制器控制輸入收斂平緩.此外,跟蹤魯棒軌跡使得機械臂的控制力矩范圍由[?160,150] N·m 下降至[?100,80] N·m.綜上仿真結果,所提控制方法可以在輸入飽和的約束范圍內有效地穩定翻滾目標.

圖13 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時的控制輸入Fig.13 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with PD controller

圖13 利用PD 控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時的控制輸入(續)Fig.13 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with PD controller(continued)

圖14 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時的控制輸入Fig.14 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with the constrained tracking controller

圖14 利用約束跟蹤控制器直接跟蹤參考期望軌跡穩定目標運動時的控制輸入(續)Fig.14 Control inputs of the manipulators tracking the estimated trajectory with the constrained tracking controller(continued)

圖15 利用所提魯棒控制方法穩定翻滾目標時機械臂末端的接觸情況Fig.15 Control inputs of the manipulators under the control of the proposed robust scheme

圖15 利用所提魯棒控制方法穩定翻滾目標時機械臂末端的接觸情況(續)Fig.15 Control inputs of the manipulators under the control of the proposed robust scheme(continued)

6 結論

本文針對抓捕翻滾目標后的空間雙臂機器人提出了一種考慮目標慣性不確定性與抓捕點處內力的魯棒安全穩定控制方法,總結如下:

(1) 通過設計控制目標運動的虛擬魯棒控制律,考慮了目標慣性參數不確定性以及機械臂末端內力對抓捕后控制的影響,規劃了考慮接觸安全的空間雙臂機器人期望運動軌跡.

(2)在設計的控制性能約束內有效地跟蹤規劃的運動軌跡,使得目標運動受到等效虛擬控制律的作用,在提高了控制可靠性的同時約束了末端的接觸力/力矩,保證了控制過程中抓捕點處的接觸安全.

(3)仿真結果表明,當目標慣性參數不確定性產生的影響在預估范圍內時,魯棒控制方法能夠有效地約束接觸力/力矩,保證抓捕后階段控制過程中目標與空間機器人的接觸安全.

附錄 魯棒正不變集構造