基于一類非局部宏?微觀損傷模型的混凝土典型試件力學行為模擬1)

任宇東 陳建兵

(同濟大學土木工程學院,土木工程防災國家重點實驗室,上海 200092)

引言

混凝土是土木工程中應用最廣泛的人造材料之一,具有典型的準脆性性質.由于其多相復合特征,混凝土力學行為表現出顯著的非線性與強烈的隨機性[1].近年來,人們對混凝土結構抗災性能提出了更高的要求.例如我國新版地震動參數區劃圖給出了萬年一遇極罕遇地震動設計參數[2],在此情況下混凝土結構將不可避免地進入強非線性階段,為了防止結構嚴重破壞甚至倒塌,定量把握混凝土的受力全過程性能至關重要[1].混凝土受力過程中的裂紋萌生、發展與傳播直至試件、構件乃至結構解體全過程的分析與模擬則是準確把握混凝土受力行為的理性基礎.數十年來,國內外學者對此進行了大量試驗[3-4]、理論與數值模擬研究[5-8].然而,直到20 世紀末,人們仍然難以獲得混凝土試件單軸受拉全過程應力?應變曲線,在混凝土試件精細化數值模擬方面也進展甚微,因而對混凝土本構關系的研究依然停留在宏觀經驗為主的水平.

21 世紀初以來,混凝土本構關系的研究在兩個方面同時取得了新的重要進展.一方面,由于試驗技術的進步,已經能夠獲得混凝土單軸受壓應力?應變全曲線,甚至可獲得混凝土單軸受拉全曲線.[9-10].另一方面,混凝土損傷力學的發展有效地促進了混凝土本構關系從經驗為主向理性建模的轉變進程[1].在這一進程中,建立合理反映具有多相復合特征和準脆性性質的混凝土受力行為的微細觀物理機制、從而把握裂紋萌生與發展過程具有重要意義.

20 世紀20 年代以來,斷裂力學[11-15]和損傷力學[1,16-18]得到了極大的發展.兩者分別從不連續和連續的角度對裂紋進行描述,形成了固體破壞問題研究的兩大分支.在計算方面,為了描述裂紋引起的不連續性,發展了內聚裂縫單元[19]、擴展有限元法[20]與無網格法[21]等一系列數值算法.21 世紀初,Bourdin 等[22-23]開創性地將斷裂力學與損傷力學結合起來,發展了力學中的相場理論,得到了大量關注與應用[24-26].近年來,Wu 等[27-28]將相場理論與內聚裂縫模型結合起來,發展了統一相場理論,成功地解決了一系列脆性與準脆性材料的靜力與動力破壞分析問題[29-32].同樣在21 世紀初,Silling[33-36]提出了近場動力學方法(也稱毗域動力學[37]),在模擬材料損傷破壞、裂紋擴展方面取得了重要進展[38-39].最近,Lu 和Chen[40-41]結合統一相場理論和近場動力學的基本思想,提出了一類非局部宏?微觀損傷模型,為準脆性材料的破壞問題分析提供了新的視角.非局部宏?微觀損傷模型引入近場動力學中物質點和物質點偶的概念來刻畫由于變形引起的微細觀損傷,進而以作用域內的微細觀損傷之加權平均來度量物質不連續程度,即宏觀拓撲損傷,從而對損傷何時發生、損傷如何演化的問題做出了回答.通過能量退化函數,將拓撲損傷嵌入到連續介質?損傷力學的框架中.在此基礎上,Chen 等[42]基于能量等效的基本思想對能量退化函數進行了物理建模,給出了宏?微觀損傷模型中能量退化函數的理性表達.

在上述基礎上,本文采用非局部宏?微觀損傷模型、考慮細觀物理參數的空間變異性進行單軸受拉混凝土板式試件全過程受力行為模擬.盡管混凝土單軸受拉本來應是最簡單的材料受力情形,然而由于混凝土的多相復合與準脆性性質,研究者仍無法準確把握混凝土單軸受拉的力學行為,從而嚴重影響了對混凝土復雜受力狀態下的本構行為的理性認識.文中首先通過與試驗的對比,采用單軸受拉混凝土板式試件的一維簡化建模標定非局部宏?微觀損傷模型中的細觀物理參數,并探討了標定出的模型細觀參數與混凝土材料細觀物理?幾何特性之間的內在關聯性.在此基礎上,采用二維模型進行單軸受拉混凝土板式試件受力全過程的精細化分析.著重考察了參數空間變異性對混凝土單軸受拉試件和帶缺口三點彎曲試件力學行為的重要影響.本文研究工作將為非局部宏?微觀損傷模型參數的試驗標定與混凝土復雜受力非線性隨機力學行為的精細化模擬提供重要參考.

1 連續介質損傷力學基本框架

連續介質?損傷力學[1]引入損傷內變量來表征材料中的孔洞、微裂紋等缺陷,并用內變量的演化來描述材料中缺陷的發展過程.將內變量嵌入到本構方程中,即可反映缺陷的發展對材料力學響應的影響.

1.1 本構方程

缺陷的發展必然伴隨著能量的耗散,因此有損材料的自由能ψ 與無損材料的自由能ψ0之間的關系可表為

其中g∈[0,1]稱為能量退化因子.對于格林彈性材料,無損材料的自由能為應變能[1],即

其中?=?Su為彈性小應變張量,?S為對稱梯度算子,u為位移場;D為四階彈性剛度張量.由于混凝土受拉過程幾乎不發展塑性[1],故暫時不考慮塑性應變的影響.

對于等溫純力學過程,Clausius-Duhem 不等式可表為[1]

式(5)即為本構方程,式(6)即為損傷耗散不等式.

1.2 平衡方程與邊界條件

記連續固體B 上的體力為b,其邊界?B 上的面力為t,則整體平衡方程為[1]

幾何方程?=?Su,本構方程(5),平衡方程(8)以及邊界條件(9)構成了控制方程的強形式.然而尚需要給出損傷變量的演化法則才能進行求解.經典的連續介質?損傷力學中損傷變量的演化通過損傷勢函數與流動法則給出,其驅動力通常取為損傷能釋放率.這一做法雖然有著堅實的熱力學基礎,但其中最關鍵的勢函數卻是經驗選取的,因此本質上是一種經驗的、現象學的處理方法[1].為了理性地給出損傷變量的演化規律,需要從多尺度的角度入手,尋求其中蘊含的物理機制.

2 非局部宏?微觀損傷模型

最近,Lu 和Chen[40-41]將近場動力學中物質點偶的思想與統一相場理論中能量退化函數的概念納入到連續介質?損傷力學[1]的框架中,提出了一類非局部宏?微觀損傷模型.這一模型從幾何的角度出發,對損傷何時出現、損傷如何演化的問題做出了回答.為清晰起見,下面簡要介紹這一模型的基本思想.

2.1 微細觀損傷與拓撲損傷

考察n維Euclid 空間中的連續固體B,其邊界為?B.B 中的物質點記為x∈B.物質點偶記為(x,x′) ∈ B × B.加載過程中物質點的位移分別為u(x,t),u(x′,t),可定義點偶的正伸長量為

其中ξ=x′?x,η=u(x′,t)?u(x,t),為Macauley 算子,即=(x+|x|)/2,∥·∥2表示歐氏空間長度.假設存在臨界伸長量λc,當點偶的正伸長量超過臨界值后,兩物質點出現不可逆的分離.分離過程與加載歷史有關,可定義加載歷史相關量為

不可逆的分離意味著出現了損傷.引入微細觀損傷函數ω(x,x′,t) ∈[0,1] 來刻畫點偶的損傷程度,ω=0 表示尚未出現損傷,ω=1 表示完全破壞.微細觀損傷是加載歷史相關量的函數,本文取為

可認為存在臨界長度為?,距離大于? 的物質點間影響可忽略.? 表征了B 中非局部效應的特征長度,稱為影響半徑.由此可定義一點的作用域為

微細觀損傷的累積導致材料出現宏觀上的損傷,宏觀上損傷的發展意味著材料拓撲的改變,引入拓撲損傷函數?(x,t) 來刻畫宏觀損傷發展的程度.作用域的引入表明微細觀損傷累積形成宏觀損傷的過程本質上是非局部的.因此,可定義拓撲損傷為

其中φ(x,x′)為影響函數,應滿足非負性、定域性、歸一性的要求[32-33].對于均質各向同性材料,本文采用鐘型函數作為影響函數

其中R=∥x?x′∥2/? ∈[0,1],這里n表示空間維數.在基于有限單元法的數值計算中[40],物質點可取為每個單元的幾何中心.因此,為了保證式(15)中數值積分的精度,有限元的網格尺寸應小于?/10.在這一范圍內,有限元網格的變化對數值計算結果影響不大,見下文算例中的網格敏感性測試結果.

上述定義皆從幾何的角度出發,沒有涉及到能量/力的概念.從上述定義也可以看出,非局部宏?微觀損傷模型是一個位移驅動損傷演化的模型:隨著位移的發展,微細觀層次的點偶不斷發生破壞,宏觀的拓撲損傷隨之演化發展.因此,非局部宏?微觀損傷模型是一個基于幾何的、由變形驅動的兩尺度損傷模型.

2.2 能量退化函數及其物理建模

損傷的演化意味著內部缺陷的發展,這一過程伴隨著不可逆的能量耗散.將能量退化因子與拓撲損傷變量之間的函數關系稱為能量退化函數,記為g=G(?).顯然,能量退化函數單調不增,即dG(?)/d?0.結合損傷變量與能量退化因子的取值范圍,不難得到G(0)=1,G(1)=0.在經典的連續介質?損傷力學中,能量退化函數總是取為g=1 ?? 的形式[1],即能量耗散與不連續程度的幾何表現是同步的.從物理上看,這種同步性沒有內在的必然性.受統一相場理論[27-28]的啟發,非局部宏?微觀損傷模型中采用了含有兩個參數的有理分式作為能量退化函數,同時指出能量退化函數應為一凸函數,并給出了定性的解釋[40],但是此時能量退化函數的選取仍具有一定的主觀性.基于前述工作,Chen 等[42]利用宏?微觀損傷模型中的微細觀損傷機制對能量退化函數進行了物理建模,并給出了其解析表達.

事實上,對于一點處給定的變形狀態?,根據Cauchy-Born 準則可以計算出作用域中物質點偶的變形.若將物質點偶看作是一系列脆性微彈簧,隨著點偶的變形微彈簧中會儲存能量.某一點處無損材料的自由能等于其作用域中與其相連的點偶中蘊含的能量之和.根據2.1 節中的微細觀損傷機制,點偶伸長量超過臨界值時發生破壞,其中存儲的能量將被耗散,因而有損材料的自由能等于未發生破壞的點偶中蘊含的能量之和.由此可計算出有損材料與無損材料的自由能,通過式(1)即可得到能量退化因子的值,記為g[?].另一方面,利用計算出的點偶變形信息通過式(15)可計算出拓撲損傷的值,記為?[?].由此,上述物理建模過程建立起了能量退化因子g與拓撲損傷? 之間的參數方程關系,即能量退化函數.在這一關系中,連接能量退化因子與拓撲損傷的是一點的變形狀態.經過計算,可進一步得到能量退化函數的解析表達.二維情形下能量退化函數的解析表達已在文獻[42] 中給出.由于本文中將首先通過一維建模進行參數標定,進一步給出一維情況參數方程形式的解析表達為

其中t=λc/(??) ∈[0,1].特別值得指出,上述解析表達表明能量退化函數與細觀參數λc和? 無關.

在實際的數值計算過程中,若直接利用上述解析表達,需要先求解非線性方程得到參數t,再進一步計算能量退化因子.非線性方程的求解耗時且難以收斂,因而可考慮對能量退化函數進行擬合,給出其近似顯式表達以提高數值計算的效率.為此,本文提出采用星形線方程進行擬合,即

由此可得能量退化函數的近似顯式表達為

采用非線性最小二乘法對一維和二維能量退化函數進行擬合,可得到參數值分別為α1D=5.486 2,α2D=5.0.

上述模型中的基本參數包括宏觀參數E,ν 和細觀參數?,λc,γ.其中宏觀參數可直接測定,細觀參數可通過單軸受拉試驗標定,如下節所述.

3 單軸受拉板式試件力學行為模擬

本節將對文獻[9] 中的單軸受拉混凝土板式試件進行一維建模以標定模型參數,為下一節中進一步采用二維模型進行精細化分析奠定基礎.這一途徑可將模型參數標定通過一維標準化試件受拉試驗進行,具有較高的效率.試驗采用的單軸受拉混凝土板式試件尺寸如圖1 所示,實測彈性模量E=35 200 MPa,實測泊松比ν=0.2.

圖1 單軸受拉板式試件示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniaxial tension panel specimen

3.1 非局部宏?微觀損傷模型的細觀參數標定

將試件沿長度方向均勻離散為1500 個桿單元,為了計算出試件的破壞,在其中部施加微小的初始缺陷,將橫截面積減小1.0×10?6m2(占橫截面積的0.013%).采用局部弧長法[43]控制加載,當模型參數取?=12 mm,λc=1.0×10?3mm 及γ=6.0×102mm?1時,計算得到的應力?應變全曲線與試驗結果包絡范圍如圖2 所示,在試驗結果范圍之內.

圖2 一維模型計算應力?應變全曲線Fig.2 Stress versus strain curve calculated from the 1D model

為了考察網格敏感性,將桿件分別均勻離散為900,1200,1500 個單元進行計算,模型參數與算法參數均不做調整.計算結果如圖3 所示,不同網格計算出的應力?應變全曲線十分接近,沒有觀察到網格敏感性.

圖3 一維模型采用不同的網格計算結果Fig.3 Stress versus strain curves from different meshes in 1D model

加載過程中各個場變量演化情況如圖4 所示,圖2 中標示的各個典型時刻的場變量分布如圖5 所示.從圖中可見,損傷一開始沿桿長分布,隨著加載的進行逐漸集中于初始缺陷處.這表明考慮非局部效應可以很好地避免應變局部化現象.

圖4 場變量隨加載過程演化情況(1500 單元)Fig.4 Evolution of field variables during loading(1500 elements)

圖5 典型荷載步的場變量分布(1500 單元)Fig.5 Distribution of field variables at typical load steps(1500 elements)

注記:本文標定出的模型參數為?=12 mm,λc=1.0 × 10?3mm,γ=6.0 × 102mm?1.試驗中用到的混凝土粗骨料的最大粒徑為15 mm[9],影響半徑? 的取值與之較為接近.可以理性猜測,影響半徑的取值應與粗骨料的平均粒徑大致相當.另一方面,混凝土試件的破壞最早發生在粗骨料與砂漿之間的界面層,而宏?微觀損傷模型中損傷的發展是由于點偶的拉斷引起的.很自然地可以將界面層的破壞與點偶的破壞聯系起來.文獻[9] 中未給出具體的砂漿與界面層的力學特性參數,此處參考文獻[44] 中對高強混凝土中砂漿和骨料界面力學性質的研究.對于試驗中采用的42.5 級普通硅酸鹽水泥和中砂配置的砂漿,其抗壓強度約為30 MPa,文獻[44] 中通過超聲波脈沖技術測得相應強度砂漿的彈性模量約為24.82 MPa,一般認為界面層的力學性能是砂漿基體的70%,則界面層的彈性模量約為17.37 MPa.文獻[44] 中測得該砂漿與碎石粗骨料的界面的抗拉強度約為0.82 MPa.砂漿與粗骨料界面層的厚度在20 ～ 50 μm 之間.據此可估算界面層的彈性極限伸長量取值范圍為L=[9.44×10?4,2.36×10?3](mm).本文標定出的臨界伸長量為λc=1.0×10?3mm ∈L.由此可見,臨界伸長量應與粗骨料?砂漿界面層的彈性極限伸長量大致相當.

上述分析表明了非局部宏?微觀損傷模型分析混凝土材料時其參數的物理意義:模型中的非局部作用影響半徑表征了粗骨料平均粒徑,臨界伸長量表征了粗骨料?砂漿界面層的彈性極限伸長量.這意味著通過上述物理?力學性質的關聯給出模型參數的基本范圍、然后采用簡單試驗(如單軸拉伸)、通過模型計算識別進行具體參數標定,是具有可行性的.

3.2 單軸受拉板式試件精細化模擬

為了進行更精細的分析,對單拉板式試件進行二維建模.將試件用常應變三角形單元進行有限元離散,為了計算出裂紋,同樣在試件中部設置微小初始缺陷.利用3.1 節中通過一維模型標定的參數進行計算,計算得到的應力?應變全曲線如圖6 所示,一維模型計算結果與二維模型計算結果對比如圖7 所示.可以看到,將一維模型標定的參數用于二維模型中進行分析可以得到與試驗趨勢吻合良好的計算結果,這是因為這兩個模型雖然精粗有區別,但描述的是同一個物理現象.因此,通過上述一維建模進行細觀參數標定是可行的.由此顯著降低了標定模型參數的時間,因為進行一次完整的一維計算只需要不到一分鐘,而進行一次完整的二維計算則至少需要15 min.

圖6 二維模型計算應力?應變全曲線Fig.6 Stress versus strain curve calculated from 2D model

圖7 二維模型結果與一維模型結果對比Fig.7 Stress versus strain curves from 1D model,2D model and experiment

為考察二維模型的網格敏感性,劃分3 個不同的網格進行計算.計算得到的應力?應變全曲線如圖8 所示,不同網格計算得到的破壞時的損傷分布如圖9 所示.可以發現,各個網格計算結果十分接近,沒有表現出網格敏感性.圖6 中標示的典型時刻的場變量分布如圖10 所示.從圖中可見,當承載力達到峰值時,裂紋尚未顯著發展.而當出現肉眼可見的裂紋時,應力?應變全曲線已經進入下降段,裂紋擴展進入失穩階段.這與工程實踐中觀察到的現象是一致的.

圖8 二維模型采用不同的網格的計算結果Fig.8 Stress versus stress curves from different meshes in 2D model

從圖6 和圖7 中還可以看到,與一維模型相比,二維模型計算結果與試驗趨勢更接近.主要原因是二維模型只在試件中部加密了網格,并認為只有這些區域會出現損傷;而一維模型則認為整個試件上都會出現損傷,這導致了一維模型計算的承載力略低,這一點可以從圖4(a)與圖10(a1)～圖10(d1)看出.從圖11 的破壞形態來看,試件破壞時損傷集中在主裂紋附近,其余區域都處于彈性階段,從這個角度看,二維模型更接近真實情況.另一方面,二維模型中考慮了泊松比效應等更全面的因素,更準確地反映了進入下降段后混凝土的橫向變形,使得一維模型與二維模型下降段的形態稍有差異.

圖10 二維模型典型荷載步場變量分布(網格C)Fig.10 Distribution of field variables in 2D model at typical load steps(Mesh C)

圖10 二維模型典型荷載步場變量分布(網格C)(續)Fig.10 Distribution of field variables in 2D model at typical load steps(Mesh C)(continued)

3.3 初始缺陷對計算結果的影響

真實試件中的初始缺陷分布是隨機的,試驗得到的主裂縫位置和形狀具有一定的隨機性[9],如圖11 所示.為了考察缺陷分布對計算結果的影響,在計算中人為將初始缺陷設置在試件長度方向1/2,2/3 和3/4 處分別進行分析.為簡化計,這里采用一維模型.計算得到的應力?應變全曲線如圖12 所示,破壞時的損傷場與應變場分布如圖13 所示.可以看到,缺陷位置對應力?應變全曲線的影響很小,但會影響最終破壞時的損傷分布,損傷尖峰出現在缺陷位置附近.這表明采用一維非局部宏?微觀損傷模型可以有效地捕捉到裂紋的位置.

圖11 典型試件裂紋位置與形狀[9]Fig.11 Crack location and appearance of typical specimen[9]

圖12 在不同位置設置初始缺陷計算結果(一維)Fig.12 The stress versus strain curves from 1D model with different defect locations

圖13 在不同位置設置初始缺陷時的場變量分布Fig.13 Final field variables distributions of 1D model with different defect locations

4 考慮參數空間變異性的混凝土力學行為模擬

4.1 考慮參數空間變異性的混凝土單軸受拉力學行為模擬

前述分析計算結果表明混凝土在受力時表現出強烈的非線性.另一方面,正如圖2 中試驗包絡范圍與圖11 中裂紋形狀所示,混凝土內稟的隨機性使其力學響應難以精確預測.本節考察模型參數隨機性對混凝土單軸受拉力學行為的影響.為便于將生成的參數隨機場賦予單元,采用規則劃分的有限元網格.為減少計算工作量,將可能出現裂紋的區域局部加密,如圖14 所示.此時單元尺寸遠小于隨機場的相關長度,可以保證生成隨機場的相關結構.將加密區的參數考慮為隨機場,其余部分為確定性參數.需要指出的是,此時并未人為預設初始缺陷.

圖14 規則劃分的有限元網格(26 910 單元,加密區24 000 單元)Fig.14 Mapped mesh(26 910 elements,24 000 elements in the encryption region)

將3.1 節中標定出的模型參數作為隨機場的均值μ,變異系數取為δ=10%.取隨機場的功率譜密度函數為

其中,κ1,κ2為兩個方向上的波數,σ=μδ 為標準差,a為尺度參數.此時隨機場的相關長度為χ=[45],取其與作用域半徑相等,可以確定出尺度參數a=6.5 mm.隨機場相關長度對計算結果的影響將在4.2 節中詳細討論.根據式(20),利用張量積擴維的第二類隨機諧和函數[46]分別生成5 個定義在物質點上的臨界伸長量隨機場樣本,如圖15 所示.物質點偶的臨界伸長量取其兩端物質點的臨界伸長量的平均值.

圖15 臨界伸長量隨機場樣本Fig.15 Samples of critical elongation quantity random field

將生成的5 個隨機場樣本代入前述非局部宏?微觀損傷模型進行計算,得到的應力?應變全曲線及其均值與標準差曲線如圖16 所示.各個樣本在圖16中標示的典型荷載步時的裂紋形態如圖17 所示.

圖16 考慮臨界伸長量為隨機場以后計算得到的應力?應變全曲線樣本及其均值與標準差Fig.16 Whole strain-stress curve samples and the mean value curve with the standard deviation curve obtained after considering the critical elongation quantity as a random field

從圖16 可以看出,將模型參數考慮為隨機場以后得到的樣本曲線基本被試驗結果范圍覆蓋,樣本的均值可以反映試驗結果的走向,均值加減一倍標準差可以反映試驗結果的變化范圍.這表明考慮參數空間變異性以后,采用宏?微觀損傷模型不僅可以計算出混凝土受力過程中的非線性,而且可以合理地反映混凝土內稟的隨機性.另一方面,從圖17 可以看出,考慮材料參數隨機性以后,裂紋自發地在材料薄弱區域萌生,無需設置初始缺陷.同時,與確定性情形(圖10)不同,裂紋最早出現的位置是隨機的,且最終破壞時裂紋的形態是曲折的,這與圖11 所示的試驗現象是一致的.這表明在考慮細觀參數空間變異性的情況下,采用宏?微觀損傷模型可以更準確地捕捉裂紋的萌生與發展全過程.

圖17 考慮臨界伸長量為隨機場后各個樣本裂紋發展過程Fig.17 Crack propagation process of different samples after considering the critical elongation quantity as random field

圖17 考慮臨界伸長量為隨機場后各個樣本裂紋發展過程(續)Fig.17 Crack propagation process of different samples after considering the critical elongation quantity as random field(continued)

4.2 隨機場相關長度的影響

為考察隨機場相關長度對計算結果的影響,分別取隨機場的相關長度為χ=?/10,?/4,2?,4?,對每個相關長度生成15 個臨界伸長量隨機場樣本,并利用非局部宏?微觀損傷模型進行非線性分析,得到的應力?應變全曲線的樣本、均值及標準差如圖18所示.

從圖18 可以看出,隨著隨機場相關長度的減小,計算得到的應力?應變全曲線的變異性逐漸降低.從物理上看,拓撲損傷的定義式(15)是一個加權求和,可以看作是某種均值;而當隨機場的相關長度逐漸減小時,各個點偶的臨界伸長量趨于一系列獨立同分布的隨機變量.根據大數定律,當獨立同分布的隨機變量數目趨于無窮時,其均值隨機變量的方差趨于零.也就是說,此時計算出的拓撲損傷趨于用確定性的臨界伸長量計算出的拓撲損傷,因此得到的應力?應變全曲線的變異性降低.事實上,在細觀隨機斷裂模型[1]與剪力墻的滯回耗能[46]中也觀察到了類似的現象.

有意思的是,綜合圖16 和圖18 來看,當隨機場相關長度與作用域半徑相當時(圖16),所獲得的應力?應變曲線的變異范圍與試驗包絡范圍較為接近,這也初步映證了關于相關長度與作用域半徑大小應相當這一從物理上較為合理的判斷.當然,在未來的研究中應有更多試驗數據及其與分析的對比,方可給出更為堅實的結論.

4.3 考慮參數空間變異性的混凝土三點受彎缺口梁力學行為模擬

將上述工作擴展到應力非均勻分布的情形,考察圖19 中的三點受彎缺口梁,材料的彈性模量為E=2.0×104MPa,泊松比為ν=0.2.文獻[42]中給出的模型參數為?=15 mm,λc=1.125×10?3mm,γ=3.0×104mm?1.考慮臨界伸長量的空間變異性,其均值μ=1.125×10?3mm?1,變異系數為δ=10%.取其功率譜密度函數為式(20) 中的形式,令相關長度分別取χ=?/10,? 和10?,采用與4.1 節中相同的方式生成15 個臨界伸長量隨機場的樣本,并將其代入非局部宏?微觀損傷模型中進行分析,得到不同相關長度下的荷載力?位移曲線樣本及其均值與標準差如圖20 所示.由于預設了初始缺陷,各個樣本的裂紋發展過程與文獻[42]中類似,故不附圖.

圖19 缺口梁幾何尺寸與有限元網格Fig.19 Geometric schematic and finite element meshes of the notched beam

圖20 三點缺口梁力?位移曲線的樣本、均值與標準差Fig.20 Load–deformation curve samples and the mean value curve with the standard deviation curves of the three point bending notched beam

注意到在三點梁中預設了初始缺口,裂紋擴展路徑變異性小,而單軸受拉板則未設置初始缺陷,裂紋的萌生與擴展的隨機性更強.從圖16 與圖20(b)的對比中可以看出,盡管隨機場的相關長度都與作用域半徑相等,但三點缺口梁荷載?變形曲線的變異性遠小于單軸受拉板式試件、特別在下降段.這表明裂紋擴展的路徑或者說構件受力特征與載荷?變形曲線的變異性之間有某種內在聯系.當裂紋擴展路徑隨機性更大時,計算得到的載荷?變形曲線的變異性也更大.有意思的是,從圖20 中還可以看出,當相關長度很小時,載荷?變形曲線的變異性極小,而隨著相關長度的增大,其峰值附近的變異性增大.同樣,當相關長度與作用域半徑相當時,所得到的變異范圍與試驗包絡范圍較為接近.這與圖18 中揭示的性質是一致的,盡管兩類試件的受力特征有很大的差別.

注記:從上述算例中可以看出,采用非局部宏?微觀損傷模型進行非線性分析的同時可以自然地進行裂紋模擬.與經典的損傷力學[1]相比,裂紋的帶寬被非局部作用域半徑控制,損傷不會成片出現;與細觀損傷力學中應用的內聚裂縫單元[9,47]相比,非局部宏?微觀損傷模型毋須在單元的邊界上預設內聚裂縫單元,因此裂紋的擴展的路徑不依賴于單元的劃分,同時也毋須在材料本構之外再引入內聚力的本構,易于操作實現.

5 結論

本文采用非局部宏?微觀損傷模型進行了混凝土單軸受拉板式試件的力學行為定量模擬,同時初步考察了細觀參數空間變異性的重要影響.主要結論如下:

(1)利用能量等效的思想對一維情況的能量退化函數進行了物理建模并給出其參數方程形式的解析表達.利用星形線對一維、二維能量退化函數進行擬合,給出了顯式近似表達,便于實際應用.

(2)首先利用一維非局部宏?微觀損傷模型基于試驗標定參數,進而采用二維宏?微觀損傷模型進行精細化分析,顯著降低了標定參數的時間成本.同時,分析了宏?微觀損傷模型中模型參數與混凝土材料的細觀物理?幾何特性之間的聯系,可為模型細觀參數的物理意義及定量標定提供指導.

(3)考察了細觀參數空間變異性對混凝土單軸受拉試件和帶缺口三點彎曲試件兩類受力性質不同的試件力學行為的影響.分析結果表明非局部宏?微觀損傷模型不僅可以合理地反映非線性的發展,還可以結合參數隨機場把握混凝土內稟的隨機性.此時毋須預設微小缺陷,且裂紋自發萌生與發展,更符合實際情況.計算結果還表明,當參數隨機場的相關長度逐漸減小時,應力?應變全曲線的變異性隨之降低.單軸受拉與三點受彎缺口梁試件的對比分析則進一步表明,當裂紋擴展路徑的隨機性更大時,載荷?變形曲線的變異性隨之增大.

本文研究工作可為非局部宏?微觀損傷模型參數的試驗標定與具有空間變異性影響的準脆性材料與試件在更復雜受力狀態下的裂紋模擬與破壞分析提供借鑒.同時,尚存在一系列值得進一步深入研究的問題,如對剪切變形的考慮、相關長度與作用域半徑之間的關系及其影響等.