注重學習方法夯實幾何基礎

徐藝

摘要：初中數學的七年級教學主要以代數為主，幾何的要求并不高。今年筆者任教八年級數學學科，最近學生第一次考試剛測試過，年級平均分、優(yōu)秀率、及格率三率成績都不是很理想，考試的前兩章是幾何的學習（第一章三角形的初步認識和第二章特殊三角形），因此本人思考了一下學生該如何學習幾何初步。這一學期幾何證明題的分析能力、推理能力都要求提升，而且論證書寫都需要學生掌握，也就是從原來的實驗階段真正進入論證階段，所以對學生幾何學習的要求提高了不少，因此我對學習幾何作了以下整理。

關鍵詞：基本套路；操作；思想方法；基本型；歸納

一、《認識三角形》

1、三角形定義：欣賞生活中的三角形，讓學生回憶小學里對三角形是怎樣定義的，掌握概念；

2、三角形的基本性質：邊的大小關系、角的關系，還有穩(wěn)定性，了解這些邊角性質的證明過程，理解邊角的性質；

3、性質要學會運用：角度的計算及生活實例：《2.1圖形的軸對稱》的例2：如圖，直線l表示草原上的一條河流，一騎馬少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

分析 如圖，設P是直線l上任意一點，連結AP，BP。以直線l為對稱軸，作與線段AP成軸對稱的線段AP，則AP+BP=AP+BP。顯然，當點A，P，B同在一直線上時，AP+BP最短，即路程最短

解：如圖，作點A關于直線l的對稱點A，連結AB，交直線l于點A，連結AB，交直線l于點C，連結AC，騎馬少年沿折線A-C-B的路線行走時路程最短。這題對學生來說證明最短路徑難度較大，我在處理這題的時候是讓學生們自己試著先畫出最短路徑及飲水位置，弱化了證明過程。發(fā)現效果還是比較明顯的，學生們大多數能夠畫圖解決的。證明的主要性質就是三角形邊的性質的應用，但是說理的過程還是比較復雜的。

下面給出證明：設P是直線l上任意一點，連結AP，AP由作圖知，直線l垂直平分AA則AC=AC，AP=AP（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）

∴ AP+BP=AP+BP≥AB

AB=AC+BC=AC+BC

即AP+BP≥AC+BC

所以沿折線A-C-B的路線行走時路程最短。

4、判定方法：掌握全等三角形的四種方法（SSS，SAS，ASA，AAS）；

二、注重學生的動手操作能力（折、剪）；

情景一：折

課前讓805、806的每一位學生準備一張長方形白紙；課堂上，讓他們自己動手操作，請同學們在昨天準備的白紙上折一折，看看自己能否折出一個等腰三角形來？

大家都開始動手折等腰三角形，等他們折好之后，我發(fā)現他們并沒有像我設想的按照等腰三角形的判定方法去折，而是憑他們自己的感覺或者就是隨便平常的經驗，雖然折的形式多樣，但是最后絕大部分的同學都折出了等腰三角形。我讓其中一位同學操作了他的折疊，等他演示完畢，我提了個問題：他這樣的操作得到的三角形是等腰三角形嗎？他們齊聲回答說是。為什么是呢？他們說有兩邊相等。所以這種形式把等腰三角形邊的定義或者說邊的判定復習了。

本打算按照復習課的一般形式整理一下定義性質判定方法，想著怎么用好的練習題著重復習一下性質和判定方法，現在反其道而行，先操作再整理總結定義，我發(fā)現達到了很好的效果：1.剛開始上課學生的注意力往往不是很集中，這樣讓他們自己操作，一下子把他們的思考窗口打開，注意力能夠迅速集中；2.避免了復習課僅僅是“炒冷飯”枯燥乏味的尷尬，提高了學生學習幾何知識的興趣；3、為下面探究活動如何一刀剪下去使得兩個三角形都是等腰三角形作很好的鋪墊。

情景二：剪

如圖，現有頂角度數互不相同的等腰三角形（AB=AC）紙片各一塊，如圖①，圖②，圖④所示，其中有的等腰三角形紙片有可能被剪刀從一個底角的頂點出發(fā)一次剪開成等腰三角形紙片。

本人先從頂角剪開看能不能剪出兩個等腰三角形，發(fā)現學生們能夠自己解決；

然后在解決本題，特別是討論圖①的時候，切底角沿著BD切的時候先保證△ABC是等腰三角形，△BCD為等腰三角形則要分三類討論，設∠A=X，則

1.BD=CD，△ABC，△BCD都為等腰三角形，兩個三角形的頂角度數不一樣，所以無法用統(tǒng)一形式∠DCB表示，因此不存在舍去；

2.BD=BC，，則e，即∠A=36°，沿著底角的角平分線裁剪

3.BC=CD，∠DBC=2X，∠ABC=∠C=3X則7X=180，即∠A=180/7，因此沿著底角的三等分線處裁剪，∠ABD=180/7

然后再到課本中的探究活動：如圖，有甲、乙兩個三角形，甲三角形內角分別為10°，20°，150°；乙三角形內角分別為80°，25°，75°.你能把每一個三角形分成兩個等腰三角形嗎？畫一畫，并標出每個等腰三角形頂角的度數.并讓學生們總結出三角形的特征和裁剪規(guī)律；

這個一般三角形大部分同學都能夠準確作出裁剪位置， 實踐證明學生們能夠通過小組合作，很好的完成裁剪特征的總結。

探究活動和結合定考神針的課后習題，先通過特殊的三角形如何裁剪，然后一般化，先易后難和動手操作剪一剪，這樣較好的激發(fā)學生們的學習情趣和提高了學生們的參與度，把一個較難的探究題轉化為我們同學人人都想解決的問題，再通過小組合作，那么書本上的一般化也能夠迎刃而解，并讓各小組討論出一般三角形要滿足怎樣條件，那么我們往哪一個角一刀剪下去就能變成兩個等腰三角形 。學生們碰到一般三角形大部分同學都能夠剪出來。

三、注重思想方法（分類討論思想和類比思想）；

1.類比思想學習幾何

學習第二章的特殊的三角形——直角三角形。在研究這個直角三角形之前，我們先概括一下一般三角形的研究問題，線索和方法，那么我們就可以類比這樣的學習幾何套路來學習新的幾何圖形。問題一：同學們我們在第一章中是研究一般三角形的套路是怎樣的，學生會回答的——見第一點（學習幾何的基本套路）；

那么我們類比一下，你能勾畫一下研究直角三角形的問題、過程和方法嗎？通過學生們討論、猜想和歸納得到：

（1）直角三角形的概念（定義和組成要素）；

（2）直角三角形的性質（邊和角有關的）；

（3）直角三角形性質的應用（求邊長和角度）

（4）直角三角形的判定方法

通過這樣的類比學習，搭建相同的框架模式，讓同學們感覺上新課并不是那么陌生，知識之間并不是獨立的，而是相互之間有緊密聯系的，幫助學生學會幾何研究的一般方法，那么對后面的學習四邊形也有很大的提示，有利于學生的主動學習，提高學習效率；

四、分類討論思想在等腰三角形的運用

例：等腰三角形的性質：

1、計算邊長：已知等腰三角形的兩邊長分別為2和7，則它的周長是（ ）

——按照邊是底是腰討論

2、（1）：等腰三角形一個內角是55°，求其余角的度數。（2）：等腰三角形一個內角是110°，求其余角的度數。——按照角是頂角還是底角討論

3、作圖：如圖，在△ACB的邊BC所在直線上找一點P，使得△ABP為等腰三角形，則滿足條件的點P共有幾個？——以AB為腰和底討論

分類討論思想在初中階段是一種非常重要的思想方法，在這一章等腰三角形里用的也是相當多的，學生們往往在這些題目上容易丟分，主要就是涉及本人歸納的這幾類，如果學生們能夠掌握這一思想方法，靈活的按照一定的規(guī)律討論，很多題目就能夠避免丟分；

五、抓住基本型，學會歸納總結

抓住幾何基本型，這個圖形是我們經常遇到的基本型，一豎直和一橫著的直角三角形。

情景三：基本型引出的：

1. 已知：如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足為P，AE與CD交于點E，BF與AD交于點F，求證：AE=BF。2·1·c·n·j·y

2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分別為D、E，猜想圖中線段DE、AE、DB之間的關系，并說明理由.21·世紀*教育網

3.（本小題滿分12分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.

①當點D在AC上時，如圖（1）線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由。

（2）將圖（1）中的△ADE的位置改變一下，如圖（2），使∠BAD=∠CAE，其他條件不變，則線段BD，CE又有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由.

這里的三個證明題都有基本型——

我們同學若能夠掌握基本型，首先對新題型在心理上我不害怕它，原來里面有我們熟悉的圖形，解決起來可能心里就有底一點；比如這里的第1個練習題，學生們就能借助基本型很快熟練的解決，用AAS證明兩個三角形全等即可；

其實很多復雜圖形當中都有這些基本型，那么復雜問題就能夠轉化為簡單問題，比如這里的第2題，至少學生能夠借用基本型簡單的第一層關系能夠解決——AAS兩個直角三角形全等都會證的，然后等量代換線段之間的數量關系就簡單不少，慢慢的通過自己的推理或許就能把所有的問題解決；

最后幾何題有幾小步的問題，往往學生可以借鑒第1步的方法，那么2、3兩步往往用的是同樣的方法，同樣的角同樣的邊，相似的證明方法，結果可能存在類似的數量關系；比如這里的第3題：第一步用SAS證兩個直角三角形全等，第二步可以借鑒第一步的方法也用SAS試試，邊角是哪些，第二步看看是不是同樣的邊角，關系之間也可以猜想一下是否類似，這樣的經驗前提下那么一道幾何答題我們的同學就容易拿到全部的分數；

更重要的一點我們的學生要學會歸納總結，適當的歸納能夠幫助同學掌握常規(guī)方法，提高解題速度，加快形成證明思路。

第五、感受幾何帶來的快樂；

自己在讀書的時候也經常碰到這種情況，遇到證明題一開始沒有思路，后來輔助線這樣添，那樣添加，突然把它證出來了，有種撥開云霧的感覺。希望學生們也能夠自己靜下心來多多做做證明題，學會證明題的兩種常規(guī)方法——分析法和演繹法，分析法是從結論出發(fā)去尋找已知條件，要證它就是證什么，多問問這個能不能得到，從而找到條件，得到證明方法；演繹法是從已知條件出發(fā)，已知它能得到什么，知道它又能夠得到什么，看看能不能得到結論，從而得到證明方法。學生們若能夠做到以上四點，多歸納多嘗試，并多給他們展示的機會，讓他們在課堂上多自信的表達思路，大膽的猜想結論，勇敢地去驗證過程，我相信他們在以后學習平面幾何這一塊一定會迎難而上，取得很不錯的成績，獲得成功帶來的喜悅。