圓錐曲線中的特殊韋達定理問題探究

摘 要：在解析幾何或者二次函數中，遇到的絕大多數韋達定理問題，都可以將條件轉為s（x1+x2）+tx1x2+u的形式，即可以整理出的式子中x1，x2或y1，y2前的系數相同的情況，一般直接使用韋達定理即可化簡.但是，也會出現一些x1，x2或y1，y2前的系數并不相同，也就是出現并非對稱現象，這種情況就要對式子進行一些處理之后才能繼續.本文通過對x1=λx2，sx1+tx2+u=0，sx1+tx2+ux1x2+v=0，sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式的研究，總結出了解決相應問題的應對措施.

關鍵詞：圓錐曲線;二次方程;韋達定理;非對稱

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0042-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：盧會玉（1981.7-），女，甘肅省天水人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

每個高中的教師和學生都知道利用韋達定理解題時遇見的量通常為有關x1，x2或y1，y2的對稱量，比如x1+x2，x1x2，x21+x22，x1x2+x2x1，y1x1-2+y2x2-2等，是可以將條件轉為s（x1+x2）+tx1x2+u的形式，即可以直接使用韋達定理化簡的問題.但是，很顯然并不適用所有情況.在圓錐曲線中，若x1，x2或y1，y2前的系數并不相同，也就是出現非韋達對稱現象，這種情況就要對式子進行一些處理之后才能繼續.通常表現為x1=λx2，sx1+tx2+u=0，sx1+tx2+ux1x2+v=0，sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式.筆者通過研究，總結整理了幾種常見非對稱類型問題的應對策略.

一、出現x1=λx2問題

解決方法 利用λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2轉化為s（x1+x2）+tx1x2+u形式，直接利用韋達定理解題.

1.橢圓中的x1=λx2問題

例1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，過點M（1，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點， MA=λMB，且當直線l垂直于x軸時，AB=2.

（1）求橢圓C的方程;

（2）若λ∈12，2，求弦長AB的取值范圍.

解 （1）x22+y2=1，證明略.

（2）當直線l的斜率為0時，容易求得λ=3+22，但3+2212，2，故不合題意.

則可設直線l的方程為x=my+1，由x22+y2=1x=my+1可得（m2+2）y2+2my-1=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2.

由于點M（1，0）在橢圓內部，則有AM=λMB，即（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），所以y1=-λy2.則-λ+1-λ+2=（y1+y2）2y1y2=-4m2m2+2，即4m2m2+2=λ+1λ-2，

因為λ∈12，2，所以4m2m2+2∈0，12，

即4（m2+2）-8m2+2=4-8m2+2∈0，12，所以1m2+2∈716，12.

又AB=1+m2×（y1+y2）2-4y1y2=22（m2+1）m2+2=22×（m2+2）-1m2+2=22×（1-1m2+2），

所以AB∈2，928.

2.雙曲線中的x1=λx2問題

例2 已知雙曲線C：x2-y23=1，直線y=-2x+m與雙曲線C的右支交于A，B兩點（A在B的上方），且與y軸交于點M，則MBMA的取值范圍為.

解 由x2-y23=1y=-2x+m可得x2-4mx+m2+3=0，Δ=16m2-4（m2+3）>0，即m2>1，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4m，x1x2=m2+3.

令MBMA=λ，則x2x1=λ>1，

則λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2=16m2m2+3=16×（m2+3）-3m2+3=16×（1-3m2+3），因為m2>1，所以16×（1-3m2+3）∈（4，16），則λ+1λ+2∈（4，16），解得λ∈（7-43，7+43），又因為λ>1，所以λ∈（1，7+43）.

3.函數中的x1=λx2問題

例3 函數f（x）=13ax3-ax2+x+1在x1，x2處有極值，且1

解 f ′（x）=ax2-2ax+1，令f ′（x）=ax2-2ax+1=0，則x1+x2=2，x1x2=1a.

令x2x1=t，則t+1t+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2=4a，因為4a=t+1t+2，且1

二、出現sx1+tx2+u=0問題

解決方法 通過對sx1+tx2+u=0的變形，進而轉化為s（x1+x2）+tx1x2+u形式，直接利用韋達定理解題.

步驟一：將sx1+tx2+u=0變形為（t-s）x1=t（x1+x2）+u（s-t）x2=s（x1+x2）+u，

步驟二：將兩式對應相乘得：-（t-s）2x1x2=t（x1+x2）+u×s（x1+x2）+u，從而直接利用韋達定理解題.

例4 已知橢圓C：x28+y24=1，過點M（1，0）作斜率為k（k>0）的直線l交橢圓C于A，B兩點（A在x軸下方），直線l與y軸的交點為P，若AP=25MB，求直線l的方程.

解 由題可設直線l的方程為y=k（x-1），則P（0，-k），由x28+y24=1y=k（x-1）可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-82k2+1.

由AP=25MB，得（-x1，-k-y1）=25（x2-1，y2），所以-x1=25（x2-1），即5x1+2x2=2，則3x2=5（x1+x2）-2-3x1=2（x1+x2）-2，兩式相乘得：-9x1x2=5（x1+x2）-2×2（x1+x2）-2，

代入x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-82k2+1得k=2.

三、出現sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1問題.

例5 已知橢圓C：x24+y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，過（1，0）的直線l交橢圓C于P，Q兩點，且直線A1P與A2Q交于點S，試問：點S是否恒在一條定直線上？若是，求出該直線，并證明你的結論;若不是，請說明理由.

解 由題可設直線l的方程為x=my+1，

由x24+y2=1x=my+1可得（m2+4）y2+2my-3=0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4.

因為A1（-2，0），A2（2，0），則直線A1P的方程為：y=y1x1+2（x+2），①

直線A2Q的方程為：y=y2x2-2（x-2），②

聯立①②可得：x+2x-2=y2（x1+2）y1（x2-2）=y2（my1+3）y1（my2-1）=my1y2+3y2my1y2-y1，③

由y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4得y1y2=32m（y1+y2），④

將④代入③中可得x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=32（y1+y2）+3y232（y1+y2）-y1=3y1+9y2y1+3y2=3，則x=4，即直線A1P與A2Q交于點S的橫坐標為4，橫在直線x=4上.

另解 也可用配湊的方法將變量集中起來，進而解決問題. x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=my1y2+3（y1+y2）-3y1my1y2-y1=m×（-3m2+4）-6mm2+4-3y1m×（-3m2+4）-y1=9mm2+4+3y13mm2+4+y1=3.

解析幾何考查學生數學核心素養中的數學抽象、直觀想象、數學運算等，當遇到非韋達對稱問題時，更是需要很強的數學抽象和數學運算能力.若是注重平時的積累與思考，類似于非韋達對稱性的問題也可順利解決.

參考文獻：

[1]許雪榮，黃賢鋒.一類非對稱圓錐曲線問題的解法探究[J].中學數學教學，2020（02）：52-53.

[2]林國紅.圓錐曲線中兩根不對稱問題的處理方法[J]

.高中數學教與學，2018（19）：12-14.

[責任編輯：李 璟]