高中數學辯證思維賞析

摘 要：解析幾何是基礎性的數學學科之一，解析幾何的創立實現了從常量數學到變量數學的轉折，變量的介入使得辯證法進入了數學，而辯證思維是最高層次的思維形態，是創造性思維的重要組成.解析幾何中蘊含著豐富的辯證思想，在教學中教師要善于挖掘這些辯證思想并滲透在教學當中，激發學生思考的熱情和多樣性，培養學生用辯證思維去解決問題.

關鍵詞：解析幾何;辯證思維;高中數學

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0048-04

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：武婷（1979.3-），女，學士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

基金項目：本文是四川師范大學附屬中學校級科研課題：《指向高階能力培養的行動——高中生數學辯證思維能力的培養策略研究》（課題組成員：黃光鑫、武婷、李莉莉、楊娟）的階段性成果.

數學與哲學是兩門獨立的學科，同時又是兩門聯系緊密的學科.正如數學家Demollins所指出的那樣：“沒有數學，我們無法看透哲學的深度;沒有哲學，人們也無法看透數學的深度;若沒有二者，人們就什么也看不透.”恩格斯也指出：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數.有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，……”.在《普通高中數學課程標準（2017年版）》修訂的基本原則中也要求：“堅持正確的政治方向……充分體現馬克思主義的指導地位和基本立場……”.課程標準全書的表述中也滲透了辯證法的很多觀點，比如：具體與抽象、一般與特殊、現象與本質以及普遍聯系的觀點等等，所以在高中數學的教學中，教師要結合數學學科的特點潛移默化的給學生滲透辯證法的基本思想，堅持用“辯證觀點分析和解決數學問題”，逐步培養高中學生運用辯證思維解決數學問題的能力.

一、對立統一規律

對立統一規律是唯物辯證法的三大規律之一.根據對立統一規律，矛盾雙方既相互依賴，又相互排斥，并在一定條件下可以相互轉化.在笛卡爾之前的數學，“數”與“形”就是一對矛盾.數學家華羅庚說過：“數缺少形時少直觀，形缺少數時難入微”.數形結合的解題方法就是對立統一的辯證思維在解題中的具體體現.

例1 已知橢圓C的方程x24+y23=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有不同兩點關于該直線對稱.

賞析一 如圖1，作與l垂直的直線l1，若要關于l對稱的兩點存在則l1與橢圓相交于P，Q兩點，故設直線l1：y=-14x+n與橢圓方程聯立y=-14x+nx24+y23=113x2-8nx+16n2-48=0此方程有兩根故Δ>0則-132

賞析二 數形結合尋找隱含條件.如圖2，先求弦PQ中點的軌跡方程C1（點差法）易得C1：y=3x（在橢圓內的部分）若要滿足題意，直線l與直線C1的交點M在橢圓內部，故聯立方程y=3xy=4x+mM-m，-3m在橢圓內部即m24+9m23<1得解-21313

賞析三 圖形啟發，層層轉化.如圖3同分析二中的弦PQ中點的軌跡方程C1：y=3x與橢圓x24+y23=1交于E，F即y=3xx24+y23=1E21313，61313，F-21313，-61313，若l過E，則m=-21313，若l過F，則m=21313，故-21313

以形助數，可以充分利用形的直觀性來揭示數學問題的本質屬性;以數輔形，有助于尋找運動規律.數形結合，促成矛盾雙方順利轉化，創造條件使對立雙方達到統一，從而培養學生對立統一觀點.

二、量變質變規律

唯物辯證法認為：量變是質變的必要準備，沒有一定的量變，就不會發生質變.質變是量變的必然結果，單純的量變不會永遠持續下去，量變達到一定的程度必然引起質變.

比如：在研究圓錐曲線的第二定義和統一的極坐標方程ρ=ep1-ecosθ（e為離心率，p為焦點到準線的距離）時，當01時為雙曲線，當e=1時為拋物線.在極坐標方程中我們發現：正是因為離心率e的連續量變，才導致了曲線性質的質變.在這個量變過程中e=1是發生質變的一個轉折點.同時我們也知道當橢圓的離心率e越接近于0橢圓越圓，所以是否可以這樣認為圓就是離心率為0的橢圓？在這個量變過程中e=0也是一個發生質變的轉折點.這正是高中數學中體現量變到質變的一個經典案例.

例2 已知動點P與兩個定點A0，0，B3，0的距離比為k，求動點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

賞析 設動點Px，y，由題意知PAPB=k，即x2+y2=kx-32+y2整理得x+3k21-k22+y2=3k1-k22，廣義講它是以-3k21-k2，0為圓心3k1-k2為半徑的圓.

當k=0，P點軌跡退縮為點A;

當k從1的兩側趨近于1時，參數k與1k對應的點P軌跡為兩個關于直線x=32對稱的圓，半徑隨k的上述變化無限增大直至兩圓趨于直線x=32，此時k=1.

本題的數學背景就是著名的阿波羅尼斯圓：設A，B是平面內兩個定點，平面內的動點C到點A的距離與到點B的距離比為定值λλ>0且λ≠1，則點C的軌跡為圓.在對k的分析中，我們充分體現了辨證法中由量變到質變的過程.

三、否定之否定規律

否定之否定規律表明事物自身發展的整個過程是由肯定、否定和否定之否定諸環節構成的，揭示了事物發展的全過程和總趨勢.事物都有肯定方面和否定方面，當肯定方面居于主導地位時，事物保持現有的性質、特征和傾向，當事物內部的否定方面戰勝肯定方面時，舊事物就需要轉化為新事物.

高中數學的解題思想中有一種叫“補集思想”，也就是“正難則反”，充分反映了否定之否定的辯證思想.有些問題如果從正面入手，情況復雜，毫無頭緒，若從問題的反面去想，有可能“峰回路轉，柳暗花明”，所以掌握正與反的辯證思想它可以幫助學生從不同的側面去思考問題，進而解決問題.

例3 已知直線l過定點P3，0且斜率為k，試求k的取值范圍使得曲線C：y=x2的所有弦都不能被直線l垂直平分.

分析 要使得曲線C的所有弦都不能被直線l垂直平分，正面考慮就得分三種情況：

l與C沒有交點;

l與C雖然有交點但曲線C的所有弦都與l不垂直;

l與C的弦垂直但中點不在l上.

顯然要找出滿足條件的斜率正面入手相當困難，那我們不妨從反面考慮，問題轉化為曲線C中至少有一條弦能被直線l垂直平分的斜率范圍，然后再取補集得解.解答如下：

賞析 設直線l的方程為y=k（x-3），曲線C中存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關于直線l對稱，AB中點為Mx0，y0，則由y1=x21，y2=x22得y1-y2x1-x2=x1+x2，又因為y1-y2x1-x2=-1k，x1+x2=2x0，代入上式得：x0=-12k又因為y0=k（x0-3），所以y0=-12-3k所以M-12k，-12-3k，因為點Mx0，y0必在拋物線內部，所以y0

四、普遍聯系的觀點

事物的聯系具有普遍性，任何事物或現象之間以及事物的內部要素之間都是相互影響，相互依賴，相互作用的.唯物辯證法要求我們用普遍聯系的觀點看問題.

比如在高中數學教材中給出了橢圓的第一定義，同時教材中又給出了一個例題介紹橢圓的第二定義，教學當中教師應該引導學生挖掘這兩個定義之間的聯系.同為橢圓定義兩者之間必然是有某種聯系.通過對教材中兩個推導橢圓方程的過程深入分析我們會發現，定義一所得方程a2-c2x2+a2y2=a2a2-c2化為方程a2x2+a2c2+a2y2=c2x2+a4，兩邊同時減去2a2cx得a2（x-c）2+a2y2=c2（x-a2c）2，即為（x-c）2+y2x-a2c=ca，這就是例題中的第二定義表達式.這就是在普遍聯系觀點指導下獲得的一個非常精彩的認識結果！雖然第一定義是研究動點到兩個定點距離之和為定值，但通過轉化又可整理出動點到定點與到定直線距離之比為一定值的形式.

五、矛盾分析的方法

1.運動與靜止

在辯證唯物主義的自然觀中，運動是絕對的，靜止是相對的.“運動”是一個具有普遍意義的范疇.恩格斯是這樣描述的：“運動”，就一般的意義來說，就它被理解為存在的方式，被理解為物質固有的屬性來說，它包括宇宙中發生的一切變化和過程，從單純的位置移動起直到思維活動.動中有靜、靜中有動.“動”與“靜”在一定條件下可以相互轉化.

在解析幾何的教學中理應積極滲透運動變化的思想，有目的、有計劃地展現數學對象運動的基本過程，揭示數學對象運動變化的本質和規律，以利于培養學生唯物主義世界觀、掌握科學的辯證思維方法，提高分析問題和解決問題的能力.

例4 教材上的一道例題：已知圓O：x2+y2=r2，求經過圓O上一點Px0，y0的切線方程.

賞析 這條切線是確定的、靜止的，如何化靜為動呢？我們會以點Px0，y0為圓心作一個半徑為ε的充分小的圓，使它與圓O相交于A，B兩點，則圓P的方程為（x-x0）2+（y-y0）2=ε2，兩圓方程作差即可求出相交弦AB：2x0x+2y0y=2r2-ε2，現在令ε不斷變小趨近于0時，直線AB就與過點P的切線重合，可得方程：x0x+y0y=r2.

本題運用割線逼近思想求切線，化靜為動，把某些靜態問題轉化為動態研究，達到化靜為動，動中求靜的目的.

2.共性與個性

“共性存在于個性之中并通過個性表現出來，個性中包含著共性，任何事物都是共性和個性的統一.”數學中經常用到“特值法”、“歸納法”這些均利用了這種辯證思想，我們常把特殊化作為實現化歸的途徑之一，在“特殊”的指引下促成一般解題思路的形成.例如解析幾何中圓、橢圓、雙曲線方程的統一形式，橢圓、雙曲線、拋物線的統一定義.橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1a>b>0，雙曲線的標準方程x2a2-y2b2=1a>0，b>0，拋物線的標準方程y2=2pxp>0，這三種曲線無論從形式還是圖像上都完全不同，但方程卻都可以統一成二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.

3.整體與局部

整體與局部既相互區別又相互聯系.整體居于主導地位，統率著局部，二者不可分割又相互影響.解決高中數學問題時我們既要立足整體，統籌全局，又要把握好局部，通過對用局部的研究去推動對的整體的研究.此所謂“滴水反映出太陽的光輝！”

例5 （2014年浙江卷）設直線x-3y+m=0m≠0與雙曲線x2a2-y2b2=1a>b>0的兩條漸近線分別交于點A，B，若點Pm，0滿足PA=PB，則雙曲線的離心率是.

賞析一 從局部出發考慮.由x-3y+m=0y=baxA（am3b-a，bm3b-a），同理x-3y+m=0y=-bax

B（-am3b+a，bm3b+a），則AB的中點Ca2m9b2-a2，3b2m9b2-a2，而kAB=13，kCP=3b2m9b2-a2a2m9b2-a2-m=-3，化簡得ba2=14.所以雙曲線的離心率e=1+ba2=1+14=52.

賞析二 從整體出發考慮.設線段AB的中點Cx0，y0，則PQ所在直線方程為y=-3x-m，與直線AB聯立y=-3x-mx-3y+m=0C4m5，3m5，又設Ax1，y1，Bx2，y2把兩條漸近線的方程合二為一視為x2a2-y2b2=0，由x21a2-y21b2=0x22a2-y22b2=0相減，采用點差法可得kOC·kAB=b2a2，即：34×13=b2a2，從而e=1+b2a2=52.

顯然上述第二個方法通過對漸近線方程的整體把握，大大降低了運算量，教師在教學當中應向學生滲透整體與局部的辯證思想，讓學生樹立整體觀念、全局思想，從整體出發，在整體上選擇最佳方案，實現最優目標但同時也要搞好局部，使整體功能得到最大發揮.

4.現象與本質

本質與現象是揭示事物內部聯系和外部表現相互關系的一對辯證法的基本范疇.本質是事物的內部聯系，是決定事物性質和發展趨向的東西;現象是事物的外部聯系，是本質在各方面的外部表現.本質與現象是對立統一的關系.在高中數學解題中我們一定要善于透過現象看清本質.

例6 已知圓M：x2+y-32=1，直線l：x-2y=0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B.求證：經過A，P，M三點的圓必過定點.

賞析一 過A，P，M三點的圓即以PM為直徑的圓，設點P2y0，y0，則圓心坐標y0，3+y02以PM為直徑的圓方程是x-y02+y-3+y022=14[2y0-02+y0-32]，化圖4簡得y03-2x-y+x2+y2-3y=0（*），令3-2x-y=0x2+y2-3y=0x=0y=3或x=65y=35，無論y0取何值，0，3，65，35都滿足（*）所以得證.

賞析二 以PM為直徑的圓與直線l：x-2y=0的位置關系因已經有公共點P，所以只能是相交或者相切.當MP與直線l不垂直時，產生的另外一個公共點Q一定滿足PQ⊥QM，而PQ即為l，故一個定點即為過M作l垂線的垂足Q（如圖4），易求得點Q（65，35），當MP與直線l垂直時P即為Q，顯然另一個定點為點M（0，3）.

我們發現通過對圓上定點的分析，我們挖掘了圓與直線的位置關系以及圓中直徑所對的圓周角為直角的本質快速的找到了定點，透過現象看動圓過定點問題的本質，理解就更深入了.

唯物辯證法是辯證思想發展的高級形態，在高中數學的教學實踐中，教師如果能夠充分挖掘其中的辯證思維素材，有效的指導學生進行辯證思維，必將大大促進學生對數學知識的理解，提升學生看待問題的觀點和分析問題、處理問題的能力，也必將提高他們的思維品質和科學素養！

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[責任編輯：李 璟]