多思會算 不畏困難

摘 要：解析幾何中學生怕算，不愿意算導致幾何題得分率低，多算會思帶目標進行綜合運算有利于學生更好學習.

關鍵詞：多思會算;減少運算;盡量少算;防止漏算

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0025-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：戴德文（1972.11-），安徽省含山人，在職研究生，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

解析幾何是用代數的方法研究幾何，但是用代數方法處理解析幾何題有時運算量比較大.高中學生在學習過程中數學運算能力普遍不太好，學生不想算，特別是含有字母和式子比較多，只要在運算過程中出現符號或者字母的次數以及式子等價變形等一點差錯就導致整個題目出錯.教師在教學過程中要引導學生盡可能多思會算，在處理過程中有時要引導學生善于畫圖，觀察圖像從中發現規律，以圖助思，有時也要根據題意在求解過程中及時調整運算方向、追根溯源、優化運算，不斷提高自己的綜合思維和運算求解能力.

一、整體把握，突破難點

例1 在平面直角坐標系中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1（-3，0），F2（3，0），點Px0，y0是橢圓C在x軸上方的動點，且△PF1F2的周長為16.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設Q為ΔPF1F2的內心，①當x0=-3時，求點Q的坐標;②求證：點Q在定橢圓上.

學生容易算出（1）橢圓C：x225+y216=1;圖1（2）①Q-95，65.對于②

直線PF1：y0x-（x0+3）y+3y0=0，直線PF2：y0x-（x0-3）y-3y0=0，則點Q到ΔPF1F2三邊距離相等，即

y0x-（x0+3）y+3y0x0+32+y20=y，y0x-（x0-3）y-3y0x0-32+y20=y，

由于點Q在直線PF1：y0x-（x0+3）y+3y0=0的右上方，又在直線PF2：y0x-（x0-3）y-3y0=0的左下方，根據我們所學的線性規劃知識，能夠判斷出一個為正，一個為負，結合圖形（圖1）我們可以知道上面的為正，下面的為負.所以

y0x-（x0+3）y+3y0=yx0+32+y20，

-y0x-（x0+3）y+3y0=yx0-32+y20，

根據橢圓焦半徑公式x0+32+y20=35x0+5，x0-32+y20=5-35x0，所以

y0x-（x0+3）+3y0=y35x0+5，

-y0x-（x0+3）+3y0=y5-35x，

兩式相加得y0=83y，兩式相減得x0=83x，代入橢圓C：x225+y216=1得到點Q在定橢圓x29+4y29=1上.對于直線PF1或PF2的斜率不存在時解出的點-95，65，95，65也滿足.

二、利用性質，減少運算

對于例題1根據圖2我們利用切線長相等得到

PF1-PF2=PR+RF1-（|PS|+|SF2|）=F1T-F2T=（x+3）-（3-x）.

∵PF1=35x0+5，PF2=5-35x0，∴x0=53x.

圖2根據圖3我們利用內角平分線性質定理得到PF1F1M=PQQM，PF2F2M=PQQM，根據橢圓定義和合比性質得到：QMPQ=F1M+F2MPF1+PF2=2c2a=ca=35.

從而可得y0=83y代入橢圓C：x225+y216=1得到點Q在定橢圓x29+4y29=1上.對于直線PF1或PF2的斜率不存在時解出的點-95，65，95，65也滿足.

圖3

本題減少運算還可以這樣處理（參見圖2）設PR=PS=m，F1R=F1T=x+3，F2T=F2S=3-x，因為PF1+PF2=2m+x+3+3-x=10，所以m=2.

因為PF1=x+5，PF2=5-x，p=8，pp-PF1p-PF2p-F1F2=12×16y，化簡整理得：x225+y216=1.

三、目標明確，不怕運算

例2 如圖（圖4）所示，在平面直角坐標系xOy中，A，B與C，D 分別是橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a

圖4

c）的左、右頂點與上下頂點.設P，Q是Γ上且位于第一象限的兩點，滿足OQ∥AP，M是線段AP的中點，射線OM與橢圓交于點R.

證明：線段OQ，OR，BC能構成一個直角三角形.證明1 設P（x0，y0）.由OQ∥AP，AP=OP-OA;OR∥OM，OM=12（OP+OA），所以存在λ，μ∈R，使得

OQ=λ（OP-OA），OR=μ（OP+OA）

進而可得Q（λ（x0+a），λy0），R（μ（x0-a），μy0）.再由點Q，R都在橢圓Γ上，可得λ2[（x0+a）2a2+y20b2

]=

μ2[（x0-a）2a2+y20b2]=1，

再由x20a2+y20b2=1，可得

λ2（2+2x0a）=μ2（2-2x0a）=1

λ2=a2（a+x0），μ2=a2（a-x0）

因此|OQ|2+|OR|2=λ2[（x0+a）2+y20]+μ2[（x0-a）2+y20]

因此|OQ|2+|OR|2=λ2[（x0+a）2+y20]+μ2[（x0-a）2+y20]

=a2（a+x0）[（x0+a）2+y20]+a2（a-x0）[（x0-a）2+y20]

=a（a+x0）2+ay202（a+x0）+a（a-x0）2+ay202（a-x0）

=a2+ay202（1a+x0+1a-x0）=a2+ay202·2aa2-x20

=a2+a2·b2（1-x20a2）2·2aa2-x20

=a2+b2=|BC|2.

從而線段OQ，OR，BC能構成一個直角三角形.

證明過程目標明確，思路清楚，不畏困難，這種通性通法就是要求學生直面困難，逢山開路遇水搭橋，一步一步往下算直到成功，不回避繁瑣的運算，有利于學生邏輯推理和運算能力的提高.四、深度思考，盡量少算

對于例題2我們也可以換一個角度去思考，這對學生的要求較高，學生必須掌握好書中的閱讀材料，同時對放射變換的相關知識也應該有所理解.

圖5

證明2：構造一個以原點為圓心，半徑為a的圓，如圖5滿足OQ∥AP，M是線段AP的中點，射線OM與圓O交于點R .設OQ與x軸所成的角為θ，則∠AOR=90°-θ.

作放射變換x′=xy′=bay

在圓中Q（acosθ，asinθ），R（-acos（90°-θ），asin（90°-θ））=

（-asinθ，acosθ），

經過放射變換后得出：

Q′acosθ，asinθ·ba=acosθ，bsinθ，

R′=（-asinθ，acosθ·ba）=（-asinθ，bcosθ），

∴OQ′2+OR′2=a2cos2θ+b2sin2θ+（-asinθ）2+b2cos2θ=a2+b2=B′C′2.

所以線段OQ，OR，BC能構成一個直角三角形.

證明2：主要是利用放射變換的性質，通過放射變換橢圓順利變成了一個圓，放射變換過程中直線的平行關系保持不變，通過設θ角進行運算求解，利用圓中的幾何性質垂直平分弦，從而得出結論.

五、思維嚴謹，防止漏算

例3 已知A（-1，0），B（5，0），圓M：（x-4）2+（y-m）2=4上存在唯一的點P使得直線PA，PB在y軸上的截距的乘積為5.求m的值.

解 設P（x0，y0），直線PA：y=y0x0+1（x+1），直線PB：y=y0x0-5（x-5）.

令x=0得：直線PA在y軸上的截距為y0x0+1，令x=0得：直線PB在y軸上的截距為5y05-x0，由已知得：y0x0+1·5y05-x0=5，則：x20+y20-4x0-5=0，學生容易想到點P的軌跡是圓，根據題意只要和圓M：（x-4）2+（y-m）2=4相切就可以了，若內切，則4+m2=2-3，無解;若內切4+m2=2+3，解得：m=±21.學生此時誤認為該題已經做完，導致答案不完整.其實當兩圓相交時，其中一個點B（5，0）為兩個圓的交點也是滿足題意的，參見圖6.圖6

此時解得m=±3.綜上本題答案應該是m=±21或m=±3.

六、先算數值，再推一般例4

已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l：y=2x+a與拋物線C交于A，B兩點.

（1）若a=-1，求△FAB的面積;

（2）已知圓M：x-32+y2=4，過點P（4，4）作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點D，E，求證：直線DE也圓M相切.解

（1）易知△FAB=32.

圖7

設過P點圓的切線方程為x=my-4+4，即 x=my+4-4m，因為直線PD，PE與圓M相切（圖7），所以

-3+4-4m1+m2=2，即 12m2-8m-3=0.

由韋達定理知：m1+m2=23m1m2=-14.

設D（x1，y1），再由x=my+4-4my2=4x

解得：x1=4m-12.

不妨設D4m1-12，4（m1-1），E（4（m2-1）2，4（m2-1）），

∴KDE=1m1+m2-2=-34.

所以DE的中點299，-83，直線DE的方程為y=-34x-14.

因為圓M到直線DE的距離為d，則：d=-94-141+-342=2，

所以直線DE也圓M相切.

總之解析幾何要想學生在考試過程中得到較好的成績，在平時教學過程中應該引導學生多思會算，不畏困難，以圖助思，善于總結，在教學的實踐中不斷提高學生的思維品質，最終提升學生的數學學科素養.

參考文獻：[1]黃富妹.高中數學解析幾何問題運算量解決技巧探究[J].中學生理科應試，2019（12）：18-19.

[責任編輯：李 璟]