一道橢圓方程題的求解思考

摘 要：橢圓經(jīng)常出現(xiàn)在歷年高考數(shù)學(xué)試卷的選擇題或填空題中，借助橢圓的相關(guān)知識(shí)與其他知識(shí)加以交匯融合，破解時(shí)可以從平面解析幾何自身角度出發(fā)，也可以借助平面向量、解三角形等相關(guān)工具，合理引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：橢圓;平面向量;解三角形;焦半徑;方程

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0002-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：曹曉琰（1981.8-），女，江蘇省南通人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題 在橢圓C：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，

圖1

且焦距為23，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，|OP|=24a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

二、問(wèn)題分析

要求解橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是確定參數(shù)a，b，c的值，而根據(jù)題目條件，可以建立起已知的關(guān)系式c=3，a2=b2+c2，那么只需要再找到一個(gè)關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式即可達(dá)到破解的目的.而根據(jù)題目中的條件，還可以得到相關(guān)的信息：|OP|=24a，|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，|PF1|+|PF2|=2a，如何整合這三個(gè)相關(guān)信息而轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，從而得以巧妙轉(zhuǎn)化與破解.這就需要我們從已知條件入手，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，從不同的破解方向入手，通過(guò)知識(shí)間的靈活遷移，加以巧妙變形，靈活運(yùn)用，整體代入.

三、破解方向

解法1 （平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算法）

由題可知PO為線(xiàn)段F1F2的中線(xiàn)，則有

PF1+PF2=2PO，

上式兩邊平方，可得|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=4PO2=12a2，

則有|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=12a2，

而結(jié)合余弦定理可得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|，

代入上式有|PF1|2+|PF2|2+（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）=12a2，

整理可得2（|PF1|2+|PF2|2）-|F1F2|2=

12a2，由題知c=3，則有|F1F2|2=4c2=12.

又結(jié)合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

則有2（4a2-24）-12=12a2，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

解法2 （平面向量的極化恒等式法）

由題知c=3，又由題可知PO為線(xiàn)段F1F2的中線(xiàn)，結(jié)合平面向量的極化恒等式可得4PF1·PF2=（PF1+PF2）2-（PF1-PF2）2，

整理，得PF1·PF2=

PO2-OF21=18a2-c2=18a2-3.

結(jié)合余弦定理，得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|，那么

PF1·PF2=

|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=12（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）=18a2-3.

又由于|F1F2|2=4c2=12，又結(jié)合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|=4a2-24，

則有12（4a2-24-12）=18a2-3，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件可知PO為線(xiàn)段F1F2的中線(xiàn)，而與中線(xiàn)密切聯(lián)系的就是平面向量知識(shí)，借助平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積等，就可以非常有效地構(gòu)建起與中線(xiàn)有關(guān)的關(guān)系式，從而得以巧妙破解.

解法3 （同角的余弦值相等法）

由題知c=3，|F1F2|2=4c2=12.在△PF1F2中，結(jié)合余弦定理，得cos∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1F2|，

在△PF1O中，結(jié)合余弦定理可得cos∠PF1O=

|PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|，

根據(jù)同角的余弦值相等，可得

|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1O|=

|PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|，整理，得|PF1|2+|PF2|2=

14a2+6.

又結(jié)合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-

2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

則有4a2-24=14a2+6，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

解法4 （互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)法）

由題知c=3，|F1F2|2=4c2=12.

在△POF1中，結(jié)合余弦定理，得cos∠POF1=

|PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|，

在△POF2中，結(jié)合余弦定理可得cos∠POF2=

|PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|，

根據(jù)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)，可得

|PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|+|PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|=0，

整理，得|PF1|2+|PF2|2=14a2+6.又結(jié)合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

則4a2-24=14a2+6，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件可知PO為線(xiàn)段F1F2的中線(xiàn)，把問(wèn)題放在△PF1F2中來(lái)處理，其實(shí)質(zhì)就是解三角形問(wèn)題，借助三角形的性質(zhì)，通過(guò)三邊以及中線(xiàn)PO的條件，可以利用在兩個(gè)不同三角形中同角的余弦值相等，或是兩個(gè)不同三角形中互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)來(lái)建立有關(guān)的關(guān)系式，從而得以巧妙破解.

解法5 （焦半徑公式法）

圖2

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，設(shè)P（x0，y0），在△PHO中，|PH|2+|OH|2=|OP|2，即x20+y20=18a2.①

由題知c=3，|F1F2|2=4c2=12.

又結(jié)合|PF1|，|F1F2|，|PF2|.成等比數(shù)列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，根據(jù)焦半徑公式可得（a+ex0）·（a-ex0）=12，即a2-e2x20=12，亦即a2-3a2x20=12.②

而點(diǎn)P在橢圓C上，可得

x20a2+y20a2-3=1.③

由①②③，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x28+y25=1.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件可知PO為線(xiàn)段F1F2的中線(xiàn)，又由

|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，涉及|PF1|與|PF2|的長(zhǎng)度問(wèn)題，可以考慮利用橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合焦半徑公式（|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0）加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合題目相關(guān)條件建立有關(guān)的關(guān)系式，從而得以巧妙破解.

其實(shí)，在實(shí)際求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，一定要充分抓住橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)具體情況選取比較合適的求解方法加以處理，有時(shí)也結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)、平面幾何性質(zhì)、平面向量、三角函數(shù)、解三角形、直線(xiàn)與圓等相關(guān)知識(shí)加以融合與交匯，利用相交知識(shí)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來(lái)綜合處理相應(yīng)的方程問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：[1]李雪航.淺析橢圓方程的多種解法[J].數(shù)理化解題研究，2017（13）：50.

[責(zé)任編輯：李 璟]