例談電磁感應中的自洽性問題

摘 要：電磁感應問題是浙江省高考計算題的必考知識，而在導體棒切割運動的過程中，物理量之間的關系錯綜復雜，容易遺漏，因此命制這類試題時經常會出現條件多余或者數據不自洽等問題.本文通過一道試題從問題到推理再到推導，深入分析了導體棒速度、位移與時間之間的內在關系，期望命題者在命制這類問題的過程中注意驗算，避免出現差錯.

關鍵詞：電磁感應;安培力;自洽;最大速度

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0082-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：何曉萍（1981.5-），女，中學高級教師，從事高中物理教學研究.

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電磁感應問題是高中物理教學的重難點，也是高考的必考知識，它在高中物理學習中具有舉足輕重的地位.但是電磁感應中涉及到導體棒的運動往往比較復雜，物理量的關系千絲萬縷，已經無法用初等數學處理.因此命制這類試題時經常會出現條件多余或者數據不自洽等問題.下面詳細分析一道?？碱}.

例題 相距2m的兩平行金屬導軌MN、PQ固定在水平面上，兩導軌左端連接阻值為3Ω的電阻R.導軌所在處的空間分布一系列磁場區域，如圖1甲所示，每個磁場區的寬度和相鄰磁場區的間距均為1.5m，每個圖1磁場區內的磁場均為勻強磁場，磁場方向垂直軌道平面，磁感應強度從左到右依次記為B1、B2、B3、……、Bn，B1隨時間變化的圖象如圖1乙所示，其它磁場保持不變，規定磁場方向豎直向下為正方向.一質量為0.5 kg、阻值為3Ω的導體棒垂直放置于導軌左端，在垂直于導體棒的水平恒定拉力作用下，從靜止開始向右運動，經過時間0.2 s離開B1磁場，離開時速度為10 m/s，此時撤去拉力，導體棒繼續向右運動.已知在無磁場區導體棒與導軌之間的動摩擦因數為0.5，有磁場區導軌光滑，導體棒在磁場區內的運動均為勻速運動（B1磁場區除外），最終穿過Bn磁場區后停下.不計導軌電阻，求：

（1）導體棒在B1磁場區運動過程中受到的拉力大小;

參考答案：解：（1）導體棒在B1磁場區運動過程中，根據動量定理得：

Ft-B0I-1Lt=mv-0

其中I-1t=B0Lv-2Rt=B0Ld2R

聯立得：F=B20L2d2Rt+mvt=105 N

問題提出 該題運用動量定理、電磁感應定律和閉合電路歐姆定律全面考查了學生對知識的綜合運用能力，根據已知條件一步步往下分析似乎非常合理.但速度為10 m/s時的安培力FA=B20L2v2R=3203≈106.7 N，已經大于求出的拉力105 N了，導體棒運動過程中受到的安培力可能大于拉力嗎？導體棒會做減速運動嗎？

推理分析 對導體棒受力分析，由牛頓第二定律可知：F-B20L2v2R=ma.導體棒從靜止開始速度不斷增大，導致加速度不斷減小，當加速度減小到零即安培力等于拉力時，速度達到了最大值，若拉力F=105 N，最大速度vm=2FRB20L2≈9.84 m/s<10 m/s.因此導體棒的速度不可能達到10 m/s！因此題中給出的速度值與拉力F值是不自洽的.

探尋錯因 那么命題者給出的速度是隨意而為之嗎？導體棒運動過程中速度、位移隨時間的變化到底有何規律？讓我們來一探究竟！現令拉力F=105 N，對某時刻導體棒受力分析后可得：

F-B20L2v2R=ma=mdvdt

代入已知數據得：105-32v3=12dvdt

速度對時間求導得：v（t）=31532+Ce-643t

已知t=0 s時，v=0 m/s，代入得：C=-31532

所以：v（t）=31532-31532e-643t

當t=0.2 s時，v≈9.7 m/s

又v（t）=dxdt=31532-31532e-643t

求得：x（t）=31532t-9452048e-643t

所以當t=0.2 s時，x≈1.975 m

由上述推導過程可知，導體棒的速度、位移與時間有一一對應關系，t=0.2 s時求得的速度與位移都與題中給出的數據非常接近，所以命題者也是認真地進行過推導運算的，只是為了計算簡便將速度和位移都作了近似.但就是這一點點的差別就導致了利用速度求得的安培力大于拉力，善于深度思考的學生有可能會因此耽誤考試，所以真的要慎之又慎！

深度挖掘 根據前面推導可以知道導體的速度v（t）=31532-31532e-643t，當t→∝時，e-643t→0，速度達到最大值31532≈9.84 m/s，與前面利用平衡求得的結果一致.也就是說要使導體棒達到最大速度需要經歷的時間是無窮大，而此時對應發生的位移x（t）=31532t-9452048e-643t也趨向于∝.如此說來，在有限的時間和空間內導體棒切割磁感線達到最大速度是不可能的，那么電磁感應大量的試題都存在問題.

因此在命制電磁感應試題時一定要理清各個物理量之間的關系，不隨意編造數據，給出的條件時盡可能用物理量的符號，盡量避免數據不自洽問題的發生.

參考文獻：

[1]吳廣國，黃琭琰，鄒斌.物理考試命題數據自洽分析[J].物理教師，2018（12）：92-93.

[2]饒華東，林廈門，陳水勇.物理命題應避免四種“不自洽”[J].物理教學，2020（2）：56-60.

[責任編輯：李 璟]