用“圓心線的方法”解決帶電粒子在勻強磁場中的運動問題

摘 要：帶電粒子在有界勻強磁場中做勻速圓周運動是比較常見的考題.本文通過提出“圓心線”的概念，進行了根據半徑相等、在圓心線上找圓心的嘗試，以便尋找一種便捷的、可操作性強的、通用的解題方法.

關鍵詞：帶電粒子;圓心線;圓心;臨界

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0090-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：李建海，男，河北省懷安人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.

帶電粒子在有界勻強磁場中做勻速圓周運動的問題比較常見，是高考中的高頻考點.該題型既能夠考察學生物理建模的能力、還能夠考察學生應用數學知識解決物理問題的能力.特別是與之結合的臨界問題，難度往往較大.一些教參和文章中討論的方法可操作性不強，本文就該類問題再做一些嘗試.

一、試題的命制

關于帶電粒子在勻強磁場中的運動的考題，可謂是常考常新，不管考題如何變化，大體可分為兩類：一類是速度方向與某一特定邊界夾角已知，即速度方向已知，但大小并不確定;一類是速度大小相等，方向分布在某一范圍內.當然，從題目的命制來說，這只是兩個大類，單純給定這樣的設定，其條件并不完備，常常需要再補充“粒子通過磁場中的某一點或與某一邊界相垂直或相切”等條件，如圖1，這樣的組合就構成了形形色色的試題.

圖1

二、現行方法評價

大多數教學參考書給出的解題方法如下：第一大類中，如果要求過某個點，相當于已知了弦，通過做弦中垂線和速度垂線交點，該交點即為圓心;如果軌跡與某一邊界相切，通過做該邊界與速度的角平分線，角平分線和速度垂線的交點即為圓心.不少文章還提出了“縮放圓”的方法.

對于第二大類，教學參考書中并沒有給出相應的解題方法，不少文章提出了“動態圓”的方法.

這些方法其實叫做資源包更準確，看似能夠解決相應的問題，但是并沒有共性，一題一法，對于復習備考的學生來說，無疑是很大的負擔.“縮放圓”和“動態圓”在具體解題中的操作性并不強，做角平分線耗時較長，與高考考場上快捷、可操作性強的需要相沖突.

三、該類問題的突破點

該類問題的突破點，歸根到底就一個，那就是快速確定軌跡圓的圓心.兩種題型，為了統一，可以提出“圓心線”的概念.圓心線即為一系列不確定圓的圓心的集合.第一大類中

速度垂線即為圓心線，如圖2;第二大類中以入射點為圓心，粒子軌跡半徑為半徑的圓即為圓心線，如圖3.如果速度分布在90°范圍內，圓心線為1/4圓，如果速度分布在180°范圍內，圓心線為半圓.

圖2圖3

有了圓心線的概念，這樣在解決具體問題中只需根據半徑相等的特征在“圓心線”上找出大致的圓心即可.這樣做的效果是快捷、便于操作、通用性強，從而學生負擔小.

第一大類中，過確定點A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖4所示.找圓心時把握兩點，一是在圓心線上，二是半徑相等.若要求過某一確定點，可以通過肉眼找一個大致的圓心，也可以做弦的中垂線，其實即使是做弦的中垂線，實際操作中也并非是用尺規作圖，也是做了一個大致的中垂線，圖4（a） ;若要求與某一邊界相垂直，圓心為圓心線和該邊界的交點，圖4（b）;若要求與某一邊界相切，根據半徑相等這一特征，同時找切點和圓心，圖4（c）.

圖4

第二大類中，過確定點A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖5所示.方法與解決第一大類的方法一致.這樣一來，“在圓心線上找圓心”便成了通用的方法，便于掌握.

圖5

四、例題解析

如圖6所示，在0≤x≤3a區域內存在與xOy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B.在t=0時刻，一位于坐標原點的粒子源在xOy平面內發射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向夾角分布在0～180°范圍內.已知沿y軸正方向發射的粒子在t=t0時刻剛好從磁場邊界上P（3a，a）點離開磁場.求：

（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷q/m;

（2）此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍;

（3）從粒子發射到全部粒子離開磁場所用的時間.

解析 第1問，屬于第一大類且要求過某一確定點P.先畫出圓心線，如圖7，在圓心線上找出大致的圓心O1，實際作圖時不必如此完美，畫出O到P的圓弧即可.構建直角三角形，根據勾股定理列式 R2=a2 + （3a-R）2，解的半徑R=

233a，圓心角為120°.

圖6圖7

第2問，屬于第二大類但附加條件并不明確，先做出圓心線.在給定速度大小的問題中，粒子的運動時間除了可以由圓心角反映，還可以由弦長反映.這樣一來，臨界條件可由與第1問中等長的弦OP確定，也就是以O為圓心，OP長為半徑畫圓，正好與磁場邊界交與M、N兩點，如圖8（a）.進而該問題演化成軌跡過M點或N.在圓心線上找出圓心即可，如圖8（b）、圖8（c）.

圖8

第3問，看似找不出附加條件，這個時候需在圓心線上找幾個圓進行嘗試，嘗試后發現與右側邊界相切的軌跡時間最長.

參考文獻：

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[3]王智榮.同源帶電粒子在勻強磁場中運動的臨界極值問題探析[J].物理通報，2019（S2）：67-70.

[責任編輯：李 璟]