八種方法求解一道希望杯經典題

摘 要：一題多解，就是從不同角度、不同思路入手，運用不同的方法解答同一問題的思維活動.本文從一道希望杯試題入手，在解答中滲透一題多解思想的策略，以期培養學生審慎的解題習慣與開闊的思維品質.

關鍵詞：希望杯;一題多解;思維;廣闊性

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0076-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：余鐵青（1990-），男，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

一、問題提出

一題多解沒有唯一和固定的模式，教師可以通過縱橫對比發散、知識串聯、綜合溝通等手段，由一題引發多種解答方法，為學生構建完善的知識體系.教師可以引導學生從不同角度入手，用不同的解答方法完成解題，并以此來幫助同學們更加深刻地理解數學的本質概念，掌握試題解答的思路與方法，幫助學生體會數學的多樣美感，激發數學學習興趣，拓寬學生思維的廣闊度.

二、實例分析

題目（第九屆希望杯全國數學邀請賽高一試題）若二次函數fx=ax2+bx，恒有fx1=fx2x1≠x2，求fx1+x2的值.

策略1 利用已知條件，直接帶入化簡，常規操作.

解法1 一方面：由已知條件fx1=fx2，代入得到ax21+bx1=ax22+bx2，整理，得x1-x2ax1+x2+b=0.又因為x1≠x2，所以ax1+x2+b=0.

另一方面：fx1+x2=ax1+x22+bx1+x2=x1+x2ax1+x2+b，所以fx1+x2=0.

評注 解數學題是有一定模式的，各種不同類型的題目有相應的基本解題策略，這就是常說的“套路”，實際上就是我們講的“通性通法”.當學生在測試中面對一道試題的時候，如果不能很快思考出最優的策略，那么切不可忽略本源，即常見常用的解題思路，在時間不充足的情況下快速找到解決問題的策略是關鍵.畢竟時間有限，先得分，考完之后再進行反思優化是提高的必由之路，只會機械記住套路，甚至背套路是萬萬不提倡的，因為這會完全喪失解題的靈性.

策略2 進行代數運算時，適當進行變形配方.

解法2 當x1+x2=0時，顯然fx1+x2=0; 當x1+x2≠0時，由fx1=fx2，即得 0=fx1-fx2=x1-x2ax1+x2+b=x1-x2x1+x2[ax1+x22+bx1+x2]=x1-x2x1+x2fx1+x2.

又因為x1≠x2，所以fx1+x2=0.

評注 該解法使用配方法改變了代數式的原有結構，從一個要求的結論出發，整理配湊出我們希望出現的結構，再利用整體代換的思想直接得出結果，而這種思維是在日常學習中要著重鞏固的，不僅在該題有著很好的應用，在其它不等式等相關試題中的應用也是十分廣泛的，所以工具越多，解題越從容.

策略3 聯想函數對稱軸，利用二次函數性質.

解法3 由于二次函數滿足fx1=fx2，則該函數圖象關于直線x=x1+x22對稱，而x1+x2與0也是關于直線x=x1+x22對稱的，那么fx1+x2=f0=0.

評注 函數諸多性質中，筆者最為推崇對稱性，這是數學美學的最淺顯的外在表征，當然在此處不過多去討論奇偶性、單調性、周期性等.此解法有諸多巧合重疊，從函數對稱軸出發，結合離函數對稱軸距離相等的自變量所對應函數值相等這一結論使得對稱之美展現得淋漓盡致！其中，在2017年新課標Ⅲ卷理11中的應用亦是美妙至極.

策略4 構造方程的根結合韋達定理.

解法4 由已知條件fx1=fx2，不妨令fx1=

fx2=-c，于是有ax21+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0.這樣就可以把x1，x2視作方程ax2+bx+c=0的兩根了，利用韋達定理知x1+x2=-ba，那么fx1+x2=f-ba=0.

評注 實際上，如果不設fx1=fx2=-c，直接將x1，x2代入fx的解析式得到方程組，亦可求得所要結果.這樣寫僅僅是為了和學生平時所認知的一元二次方程形式進行統一，做這樣的假設形式其實就是最近發展區理論，這能夠很好地和學生所固有的認知契合，大家很容易接受，能夠有效提高教學效率.

策略5 利用抽象函數的廣義對稱性質.

解法5 由于二次函數滿足fx1=fx2，那么該函數圖象關于直線x=x1+x22對稱，所以f2·x1+x22-x=

fx，將x=0代入，立得fx1+x2=0.

評注 這種解法在于對抽象函數形式的理解和掌握，是前面解法的升華.因為該類函數性質實際上可以推廣到任意具備對稱性函數求值問題，這就比直接考慮二次函數對稱性的思維更加深刻.

策略6 構造直線共線向量.

解法6 由已知條件，得fxx=ax+b，不妨令fx1=fx2=t，fx1+x2=c，于

是得Ax1，tx1，Bx2，tx2，

Cx1+x2，cx1+x2.

所以AC=x2，cx1+x2-tx1，BC=x1，cx1+x2-tx2.

再由三點共線，知AC∥BC，所以x2cx1+x2-tx2=

x1cx1+x2-tx1.

整理，得cx2x1+x2=cx1x1+x2.

又x1≠x2，所以c=0.進而fx1+x2=0.

評注 該解法筆者是基于微分思想的角度聯想到的，“點線面”，“一維二維三維”是典型的思維遷移的模范！筆者試圖將二次函數降次理解構造共線向量進行理解，試過之后，發現著實可以這么理解，在講解中注重靈感思路的來源分析，能很好地啟迪學生.

策略7 由外形結構fx=ax2+bx類比等差數列性質.

解法7 在等差數列an中，Sn是其前n項和，若Sm=Snm≠n，那么Sm+n=0.

結合fx1=fx2x1≠x2，立馬可得fx1+x2=0.

評注 類似思想可以在此處得到最大的恩寵，一時間復雜的問題在此刻得到了瞬間的釋放，這才是真正的秒解！是運氣？是福氣？都不是，是能力的完美體現！

是日積月累的思考與探究！發現新的事物往往是由所熟悉的事物進行遷移類比產生猜想，然后依賴于嚴謹的推理論證進行驗證.猜想是做學問和鍛煉創新思維的出發點，證明則是推理驗證的落腳點與最終歸宿.

策略8 利用行列式三角形面積公式.

解法8 由解法6，Ax1，tx1，Bx2，tx2，

Cx1+x2，cx1+x2，再由三點共線，知x1tx11x2tx21x1+x2cx1+x21=0，行列式展開，得cx2x1+x2=cx1x1+x2.下同解法6.

評注 基于教學實際，筆者認為學生有必要掌握該方法.首先，從高考命題角度與考試大綱要求來看，初等數學之中融入高等數學思想是命題的重點方向，類似的還有洛必達法則、端點效應、泰勒展開等，這就是其中很好的一例！其次，從考試直接應用來看，行列式求解三角形面積還廣泛存在于平面解析幾何之中，通過計算達到思路明晰，解題高效之效果.

縱觀以上八種不同解法，可以說一種更比一種妙！實際上一題多解更能很好地幫助學生構建更加完善的知識體系，通過比較分析，會進一步認清哪些只是較為一般的解法，哪些是比較有創新的思路，哪種解法更簡單等，這樣能夠使得學生的思維更開闊、更清晰，從而靈活地把握知識間的橫向關系與縱向聯系，提高解決問題的能力，培養學生審慎的解題習慣，發揮學生的創造性.

參考文獻：

[1]全剛.“一題多解”讓知識更系統[J].理科考試研究，2014，21（21）：91.

[2]廣東省教育考試院.廣東高考年報（2019）[M].廣州：廣東高等教育出版社，2020.

[3]余鐵青.解題要有道 方法更重要——例談利用函數對稱性解高考題[J].中學數學，2020（13）：51-52.

[責任編輯：李 璟]