析彈簧檁型 悟三個性質

張海軍

彈簧是高考物理試題中的經典模型之一，它常與力的平衡、牛頓運動定律、動能定理、動量定理、動量守恒定律、機械能守恒定律、功能關系等知識結合在一起，考查學生的學科思維能力。在高中階段我們研究的輕彈簧（質量不計）是一種理想化的物理模型。輕彈簧因形變量的變化而導致其彈力、彈性勢能等物理量也隨之發生變化，并表現出可變性、漸變性、對稱性三個重要的性質。下面逐一舉例說明輕彈簧的這三個性質在解決相關物理問題中的具體應用。

一、可變性

可變性是指在彈性限度內，彈簧彈力滿足胡克定律F=kx，其中k為彈簧的勁度系數，z為彈簧的形變量（伸長量或壓縮量）。由胡克定律可知，彈簧彈力與形變量成正比，當彈簧的形變量不同時，彈簧彈力也就不同。此外，彈簧彈性勢能的大小也與形變量有關（Ek=1/2kx2），當彈簧的形變量不同時，彈簧的彈性勢能也不同。

例1 （2018年高考全國工卷）如圖1所示，輕彈簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物塊P，系統處于靜止狀態。現用一豎直向上的力F作用在物塊P上，使其向上做勻加速直線運動。以x表示物塊P離開靜止位置的位移，在彈簧恢復原長前，如圖2所示的表示F和z關系的圖像可能正確的是（? ? ）。

解析：無外力F作用時，物塊P靜止，根據二力平衡得mg=kx0，解得彈簧的壓縮量x0=mg/k;有外力F作用時，物塊P向上做勻加速直線運動，設加速度為a，對物塊P進行受力分析，如圖3所示，根據牛頓第二定律得F+F彈-mg =ma，又有F彈=k（x0一x），解得F=ma十kx。

答案：A

點評：物塊P向上做勻加速直線運動的過程中，彈簧的形變量發生了改變，彈力也隨之改變，明確了彈簧彈力的可變性，才能利用胡克定律和牛頓第二定律得出F-x圖像對應的函數關系式。

二、漸變性

漸變性是指彈簧產生的彈力是連續變化的，只能漸變而不會發生突變（彈簧被剪斷的情況除外）。

側2 （2015年高考海南卷）如圖4所示，物塊a、b、c的質量相同，物塊a和b、b和c之間用完全相同的輕彈簧S1和S2相連，通過系在物塊a上的細線懸掛于固定點O，整個系統處于靜止狀態?，F將細線剪斷，將物塊a的加速度大小記為a1，輕彈簧S1和S2相對于原長的伸長量分別為△l1和△l2，重力加速度大小為g。在剪斷細線瞬間（? ? ）。

A.a1=3g

B.a1=0

C.△l1=2△l2

D.△l1=△l2

解析：設三個物塊的質量均為m，在剪斷細線的瞬間，細線的拉力立即消失，但彈簧還沒來得及發生形變，彈力不會突變，因此物塊a受到重力mg和彈簧S1的拉力T1，如圖5所示。剪斷細線前，以由物塊b、c和彈簧S2組成的系統為研究對象，根據二力平衡得T1=2mg。因此剪斷細線的瞬間物塊a受到的合力F=

mg+T1 =3mg，加速度a1=F/m=3g，選項A

答案：AC

點評：求解本題需要知道剪斷細線的瞬間，彈簧還沒來得及發生形變，彈力不會發生突變，仍然保持原來的大小，而細線的拉力卻突變為零。

三、對稱性

對稱性是指當彈簧的壓縮量與伸長量相等時，根據胡克定律F=kx可知，彈簧彈力的大小是相等的;根據Ep=1/2kx2可知，彈簧儲存的彈性勢能也是相等的。因此輕質彈簧在伸長或縮短相同的長度時，彈力大小和彈性勢能具有對稱性。

例3 （2016年高考全國Ⅱ卷）如圖6所示，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連。現將小球從M點由靜止釋放，它在下降的過程中經過了N點。已知在M、N兩點彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π/2。在小球從M點運動到N點的過程中（? ?）。

A.彈力對小球先做正功后做負功

B.有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度

C.彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零

D.小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差

解析：根據在M、N兩點彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π/2可知，小球在M點時彈簧處于壓縮狀態，小球到達N點時彈簧處于伸長狀態，且彈簧的壓縮量等于伸長量。因此在小球從M點運動到N點的過程中，彈簧先被壓縮至最短（設為A點），再恢復至原長（設為B點），然后又被拉伸，彈簧彈力對小球先做負功再做正功又做負功，選項A錯誤。在A點，彈簧被壓縮至最短，小球的受力情況如圖7所示，則F合=ma =mg，解得a=g。在B點，彈簧恢復至原長，小球的受力情況如圖8所示，則F合=mg，解得a=g。因此在小球從M點運動到N點的過程中，有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度，選項B正確。在A點，彈簧長度最短，F彈垂直于桿，則P彈一F彈vcos 90°=0，選項C正確。在小球從M點運動到N點的過程中，由小球和彈簧組成的系統機械能守恒，則Ek增=Ep減，即EkN -O=E重M - E重N+E彈M- E彈N。因為在M、N兩點彈簧對小球的彈力大小相等，所以彈簧的形變量也相等。根據彈簧的對稱性可知，其彈性勢能也相等，即E彈N=E彈M。整理得EkN=E重M- E重N，選項D正確。

答案：BCD

點評：因為彈簧彈力的對稱，我們可以分析清楚小球的受力情況，尤其是彈力的變化情況;因為彈簧彈性勢能的對稱，我們可以利用機械能守恒定律（動能定理）求出小球到達N點時的動能與重力勢能的關系。

方法與總結

彈簧是高中物理試題中的一種常見模型，以它為載體的物理情景一般比較復雜，且涉及的知識點也比較多。遇到涉及彈簧模型的物理問題，需要從彈簧的形變量人手，關注其可變性、漸變性、對稱性這三個重要的性質，正確地分析物體的受力情況、運動情況和能量變化情況，恰當地選取相關規律列式求解。

跟蹤訓練

1.如圖9所示，一輕質彈簧的一端固定在傾角為θ的固定光滑斜面的底部，另一端和質量為m的小物塊a相連，質量為詈3/5m的小物塊b緊靠小物塊a靜止在斜面上?，F施加 沿斜面向上的力F拉小物塊b，使小物塊b始終做勻加速直線運動。彈簧的形變量始終在彈性限度內，重力加速度大小為g。用z表示小物塊b的位移，如圖10所示的表示F隨x變化關系的圖像正確的是（? ? ）。

2.如圖11甲所示，長為L的木板水平放置，可繞左端的轉軸o轉動，左端固定一原長為L/2的彈簧，一質量為m的小滑塊壓縮彈簧到圖甲中的A點（小滑塊與彈簧不拴接），O、A兩點間的距離為L/4。將小滑塊由靜止釋放后，木板不動，小滑塊恰能到達木板最右端。將木板繞O點逆時針轉動37°后固定，如圖11乙所示，仍將小滑塊從A點由靜止釋放，小滑塊最多運動到離O點3L/4的B點。已知彈簧的彈性勢能Ep=1/2k（△x）2，其中k為彈簧的勁度系數，△z為彈簧的形變量。sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列說法中正確的是（? ? ）。

A.小滑塊與木板間的動摩擦因數為6/7

B.小滑塊在A點時，彈簧的彈性勢能為1/2mgL

C.木板水平放置時，小滑塊在運動過程中的最大動能為13/29mgL

D.木板水平放置時，小滑塊在運動過程中的最大動能為25/56mgL

3.如圖12所示，固定光滑斜面的傾角為θ，A、B兩小球的質量相等，用輕質彈簧相連，通過系在小球A上的細線固定于斜面頂端。系統靜止時，彈簧與細線均平行于斜面。在細線被燒斷的瞬間，下列說法中正確的是（ ）。

A.兩個小球的瞬時加速度均沿斜面向下，大小均為gsinθ

B.小球B的瞬時加速度沿斜面向下，小于gsinθ

C.小球A的瞬時加速度沿斜面向下，大小為2gsinθ

D.彈簧有收縮的趨勢，小球B的瞬時加速度向上，小球A的瞬時加速度向下，兩個小球的瞬時加速度都不為零

4.如圖13所示，半徑為R的光滑圓環固定在豎直平面內，AB、CD是圓環相互垂直的兩條直徑，C、D兩點與圓心O等高。一個質量為m的光滑小球套在圓環上，一根輕質彈簧一端系在小球上，另一端固定在P點，P點在圓心O的正下方某處。小球從圓環的最高點A由靜止開始沿逆時針方向下滑，已知彈簧的原長為R，彈簧始終處于彈性限度內，重力加速度為g。下列說法中正確的有（? ?）。

A.彈簧長度等于R時，小球的動能最大

B.小球運動到B點時的速度大小為√2gR

C.小球在A、B兩點時對圓環的壓力差為4mg

D.小球在從A點下滑到C點的過程中，彈簧對小球做的功等于小球機械能的增加量

參考答案：1.C 2.AD 3.C 4.CD