“好問題”促生圖示優化兒童數學認知結構的實踐

顧婭娟

【摘要】“好問題”不同場域的構建豐富了小學數學問題的解決方法;以關聯性圖示優化數學認知結構是對兒童良好數學認知結構的探索;“好問題”促生圖示優化兒童數學認知結構，這是發展學生核心素養理論的校本化開發與提煉.本文主要從五個方面進行實踐研究.

【關鍵詞】好問題;圖示;優化;數學認知結構

【基金項目】本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度青年專項普教重點資助課題《“好問題”促生圖示優化兒童數學認知結構的案例研究》部分研究成果（立項批準編號：C-a/2020/02/19）

“好問題”的解決是關聯圖示生成的良好場域，兒童數學認知結構的形成、優化則是關聯圖示的機制與結晶.傳統研究以思維導圖、知識結構圖為主，以知識點或單元名為核心，而“好問題”促生圖示優化兒童數學認知結構是運用圖示讓兒童給未知的數學世界畫圖，每個圖示是以問題解決為平臺，以數學思想方法及個體素養為核心的動態發展結構.具體表現為：這是兒童由問題解決到問題解決，再到問題解決的過程;是兒童關聯、融通，再關聯、融通的過程;是兒童一幅幅圖示生發、生長、發展的過程.

一、學會“好問題”圖示描述，喚醒學生的審視力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“利用圖示描述和分析題目，可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習的過程中都發揮著重要作用.”小學生由于邏輯思維能力發展的局限性，對于一些復雜的數學題目很難理解，直接用算術的形式無法解決，但是，如果能夠合理應用“圖示”來描述題目意思，很簡明、直觀地呈現出來，學生就能清晰地看到題目中隱含的數學本質，理解題目本意，從而更好地解決問題.

例如，在教學中有這樣一道練習題：現在有一件緊急的事情要通知給全校的學生，用打電話的方式，第一個人通知到2人，再由這2人分別通知到2人，以此類推，每人每分鐘可以通知2人，3分鐘可以通知到多少人？這是一道較復雜的題，不用“圖示”進行描述很難理清數學思路.因此，教師引導學生畫出圖示（如下圖）.

從圖示中學生很直觀地看出第一分鐘通知了2人，第2分鐘通知了4人，第3分鐘通知了8人，一共通知了2+4+8=14（人）.接著教師繼續提問：請你猜一猜5分鐘能通知到多少人.學生可以繼續畫圖示答題，通過觀察圖示可以很直觀地發現規律.5分鐘能通知到2+4+8+16+32=62（人）.

我們從上述教學中發現：“好問題”如果不被理解就沒有任何意義，而通過圖示的解釋，給了學生視覺沖擊，使學生能很容易地在圖示中看出每個量之間的關系，從而使數學題目簡單化，幫助學生準確理解題意.

二、學會“好問題”圖示分類，凸顯學生的思維力

對于如何提出“好問題”，教師要引導學生學會“好問題”圖示分類.“哪些問題其實問的是同一件事？” “哪些問題其實可以歸為一類？”“哪些問題不用思考就可以找到答案？而哪些問題需要通過深入地探索才能給出結論？”學會分類，讓學生不再提出重復的問題，使學生透過問題的表層含義，觸摸問題的內在實質.有些問題指向信息的獲取，有些問題指向深入的探究.

例如，在教學“倍”的知識時，教材主要分為兩類題型：一類是“求一個數的幾倍是多少”，另一類是“求一個數是另一個數的幾倍”.其中“求一個數的幾倍是多少”應該列乘法算式計算，“求一個數是另一個數的幾倍”應該列除法算式計算.在教學過程中，我們發現：小學生對這兩種題型總是弄不清楚，練習的錯誤率很高.對此，教師在設計教學時，特別關注這兩種題型的理解，讓學生用自己喜歡的方式畫一畫.出示題目：（1）圓有6個，三角形的個數是圓的3倍，三角形有多少個？（2）圓有6個，三角形有3個，圓的個數是三角形的幾倍？讓學生先在作業紙上獨立完成列式計算，并在下面的方框里畫圖解釋算式的意義，然后和同桌討論后各自再編一道對應的題目.直接看文字題目，學生會覺得這是同一道題，然后就都用乘法或者除法來計算了，教師很智慧地借助圖示來幫助學生區別兩類題型的不同，這樣操作很直觀、很明顯.我們從上述教學中發現：通過圖示，我們還可以有效地對“好問題”進行分類，這樣的方式會比學生直接去讀文字的題目要更直觀，更好理解.很多時候小學生很容易將學過的知識弄混，學會“好問題”圖示分類有利于學生清晰地建構認知結構，凸顯學生的思維能力.

三、學會“好問題”圖示對比，提升學生的判斷力

著名教育家烏申斯基認為，“比較是一切理解和思維的基礎……”對比法是小學數學教學中常用的學習方法之一.“好問題”圖示對比就是利用圖示進行對比，使得對比更直觀，問題解決更有效.教師要充分發揮這一方法的作用和效果，在使用時必須注意學生愛比較的性格特征.但是，愛比較不等于會比較.這就有待教師引導學生學會“好問題”圖示對比，以便提升學生的批判力.

例如，在進行“角的初步認識”中有關“角的大小”的教學活動時，為了讓學生充分感受角的大小和什么有關，教師設計了如下探究活動：1.做一做，讓學生用小棒做出一個角放在數學書的封面上;2.指一指，向同桌介紹角的各部分名稱;3.說一說誰做的角大，誰做的角小，為什么;4.想一想怎么比較角的大小，角的大小和什么有關.再請兩名同學到黑板上用磁性小棒分別擺出一個角，然后說一說他們是怎樣進行比較的.教師在巡視的過程中發現有幾組學生做的兩個角的大小相差很大，故能用肉眼看出誰大誰小;有幾組同學做的角的大小相差無幾，很難判斷，這幾組同學也是用肉眼直接判斷覺得一樣大，這樣是不嚴謹的;有幾組同學在用量角器比畫，但這是我們目前還沒有學到的知識.在學生產生了“好問題”之后，教師準備了兩個用紙板做好的三角形，并且這兩個三角形的顏色不同，其中一個三角形是紅色的，另一個三角形是黃色的.教師先讓學生在兩個三角形中分別找出一個角，做上記號，利用重疊法進行比較，把較大的角放在下方，較小的角放在大的角的上方，很直觀就能比較出兩個角的大小.教師再將學生的目光拉回到剛剛的磁性小棒擺的角上來，讓學生想一想可以怎樣進行比較.學生立刻發現，也可以將兩個角進行重疊，看角兩邊的小棒張開的角的大小，張開大的角一定比張開小的角要大，最后總結得到：角的大小和角兩邊張開的大小有關.

在上述教學中，教師先讓學生自主探究，動手做角，然后判斷角的大小，從中發現“好問題”：當兩個角的大小很接近時無法直接用肉眼比較出大小，怎么辦？引發學生思考.通過圖示對比優化學生的認知結構，從而提升學生的判斷力.

四、學會“好問題”圖示融通，激發學生的想象力

愛因斯坦說過，“想象力比知識更重要……”數學是一門相對比較抽象的學科，對學生的想象力的需求較大.在小學數學教學中，教師要怎樣激發學生的想象力呢？首先要有一個“好問題”做平臺，運用圖示想象法，將新問題與舊知識進行融通，使得相對抽象的數學知識變得有形，在培養學生想象力的同時，解決新舊知識的融通問題，優化學生的已有認知結構.

例如，在教學“乘法的初步認識”中有關“乘法的意義”的內容時，有這樣一道練習題：你能出一道用3×4解決的問題嗎？對于這道題，教師要先引導學生回憶在之前的學習過程中，什么情況下是用3×4這個算式解決的，讓學生畫出圖形，說一說.比如，學生想到了3個4相加可以用3×4解決;4個3相加也可以用3×4解決.教師要繼續追問：3個4和4個3分別可以用什么樣的圖形表達呢？這樣一問，學生的思路就被打開了，他們有的畫出4個圓一堆，畫這樣的3堆表示3個4，畫3個三角形為一堆，畫了這樣的4堆來表示4個3;有的畫了4個蘋果為一堆，畫這樣的3堆表示3個4，畫3個草莓為一堆，畫了這樣的4堆來表示4個3……用圖示融通新舊知識，簡潔明了.

在上述教學中，教師讓學生通過圖示法對新知識進行想象，將新舊知識進行聯想和融通，并將抽象的數學問題轉化成圖示表達，體現了數學簡潔美的同時，加深了學生對乘法意義的理解，從而激發了學生的想象力.

五、學會“好問題”圖示聯想，激活學生奇思妙想

在教學中，教師經常通過聯想讓學生聯系相關的概念、公式，溝通知識之間的內在聯系，為解決數學問題提供良好的基礎.通過聯想可以使原來零散的相關知識點建立有機聯系，變成相對集中的知識塊和知識鏈，從而優化學生的認知結構.在“好問題”的驅動下，教師可以通過圖示聯想，將相關知識點之間的內在聯系用圖示直觀地展示出來，擴大學生的認知空間，助力學生從多方面、多角度展開數學思考，激活學生的奇思妙想.

例如，在教學“圓柱的體積”時，有這樣一道題：把一個高6分米的圓柱切拼成近似的長方體，表面積比原來增加了48平方分米.原來圓柱的體積是多少立方分米？教師先讓學生思考：看到這道題，你能想到什么？你有什么想問的問題嗎？生1：我想到了圓柱的體積公式.生2：我有個疑問：表面積哪里增加了？生3：圓柱怎么能切拼成長方體？生4：我想到了圓柱向長方體轉化的那個圖……于是，教師向學生展示下圖：

從圖示可以看出：增加的表面積就是長方體的左右2個側面，其中側面長方形的寬就是圓柱底面的半徑，長方形的長就是圓柱的高.根據長方形的面積公式求出圓柱底面半徑等于4分米，再根據圓柱的體積公式求出原來圓柱的體積為301.44立方分米.

在上述教學中，如果沒有圖示聯想，學生很難想象出怎樣把圓柱進行切拼，很難理解切拼后表面積增加的是哪部分.通過圖示聯想，學生很清楚地知道：長方體的上下底面就是圓柱的上下底面，長方體的前后面就是圓柱的側面，所以多出來的部分就是長方體的左右兩個側面.

結 語

總之，有好問題，思維才有方向;有好問題，思維才有動力;有好問題， 思維才有創新;有好問題，思維才有發展.“好問題”促生圖示，讓數的意義建構更準確;讓運算的算理探索更有味兒;讓數學規律的發現更有意義;讓數量關系更清晰明了;讓知識體系的架構更完整，有效地優化了兒童數學的認知結構.

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