讓學生經歷“開放探索”的過程

黃英俊

【摘要】學生是學校教育活動的主體，學生的主體能動性強弱決定了教育教學的成敗，但教學中應如何調動、發揮學生主體性，卻是教師一直努力追求的方向.多年來，筆者在教學中開展了“開放探索”的訓練，以更好地發揮學生的自主性，提高學生學習數學的能力.下面筆者以“反比例函數k的幾何意義”為例整理成文，期盼得到大家寶貴的指導建議.

【關鍵詞】主體性;開放探索;數學改進

一、教學中存在的困惑

“反比例函數k的幾何意義”是湘教版九年級下數學的教學提高內容，它很好地體現了“數形結合”思想方法的運用.對該內容的教學，筆者大體上設計了三個環節：

環節1：設計2道填空題：由反比例函數（2道題的k值分別是6和-4）圖像上的一點分別向坐標軸作垂線，則它與坐標軸所圍成的矩形的面積為.在此基礎上，教師概括出一個結論，從而引出課題.

環節2：設置2道例題精講，4道練習鞏固.

環節3：師生課堂小結，布置課后作業.

課堂結束后，從“練習鞏固”“課后作業”的反饋來看，學生完成中檔題的正確率較高，對此知識已經能夠較好地掌握.

但是，在做“反比例函數”的綜合題時，學生出現一些問題，比如，所求圖形面積究竟是k，還是|k|？是|k|，還是|k|[]2？特別是不知道何時運用“反比例函數k的幾何意義”，更不知道為什么會這樣想.究其原因，是學生對“反比例函數k的幾何意義”的圖形結構特征的本質認識不到位造成的.

二、教學改進后的課堂設計

再次講授本節課時，筆者仍采用原有教學設計環節1的兩個問題.

問題1：如圖1，已知點A在反比例函數y=6x的圖像上，AB ⊥ y軸于點B，AC⊥x軸于點C，則陰影部分S矩形ABOC的面積為.

問題2：如圖2，已知點A在反比例函數y=-4x的圖像上，AB ⊥ y軸于點B，AC ⊥x軸于點C，則陰影部分S矩形ABOC的面積為.

在解決這2道填空題時，教師強調求解的中間關鍵過程，設A（a，b），S矩形ABOC=OC·AC=|a|·|b|=|ab|，其關鍵就是利用線段與點的坐標的關系.隨后，教師并沒有直接給出一般結論，而是讓學生思考：你們能進一步提出什么問題嗎？學生可以提出：如果我們將解析式y=6x或y=-4[]x變化為一般式y=k[]x（k≠0），其結果有怎樣的規律呢？

有了前面的基礎，學生可以獨立思考，容易計算出結果并發現規律：由反比例函數y=kx（k≠0）圖像上的一點分別向坐標軸作垂線，所圍成的矩形的面積均為|k|.由此引出課題.

教學到此，筆者并沒有帶領學生進入例題環節，而是提出了兩個開放性的問題：

（1）你能畫出一個在反比例函數y=6x的圖像中的圖形，并求出它的面積嗎？想一想，畫一畫，寫一寫.

（2）把各自畫的圖形給小組的其他同學做一做，并說出你是怎樣畫出圖形的，又是如何求出圖形的面積的.然后選出本組認為最有代表性的圖形在班級進行交流分享.

（明確任務后，學生獨立思考，教師巡視）

等各小組組內交流后，教師組織學生進入班級交流分享環節.

代表小組一：

學生1：我們小組推選的圖形如圖3.

教師：說說你們的思路.

學生1：我們知道平行四邊形的面積是底乘高.

教師：你們是以哪一邊為底？隨便以哪一條邊為底都可以嗎？

學生1：我們是以AB或CD為底，以OB為高，而不是隨便以哪條邊為底.

代表小組二：

學生2：我們小組推選的圖形如圖4.

教師：說說你們的思路.

學生2：我們小組認為，平行四邊形ABCD的面積=AB·OB=6.

代表小組三：

學生3：我們小組推選的圖形如圖5.

教師：說說你們的思路.

學生3：我們小組認為，平行四邊形ABCD的面積=AD·OD=6.

代表小組四：

學生4：我們小組推選的圖形如圖6.

教師：說說你們的思路.

學生4：我們小組認為，平行四邊形ABCD的面積=AD·OD=6.

代表小組五：

學生5：我們小組推選的圖形如圖7.

教師：說說你們的思路.

學生5：根據雙曲線關于原點對稱的性質可知，OA=OB，而△OBC與△AOC同底等高，故S△OBC=S△AOC，又根據S△AOC=|k|[]2=3，可知S△ABC=6.

代表小組六：

學生6：我們小組推選的圖形如圖8.

教師：說說你們的思路.

學生6：我們小組認為，根據雙曲線關于原點對稱可知，OA=OB，而△OBC與△AOC同底等高，故S△OBC=S△AOC，又根據S△BOC=|k|[]2=3，可知S△ABC=6.

顯然，六個小組都運用了S矩形ABCD=|k|或S△AOC（或S△BOC）=|k|[]2求具有特殊條件的圖形的面積.此時，教師先組織學生討論、歸納：請大家分析以上4個代表小組所畫的平行四邊形中，到底什么樣的平行四邊形可以運用S矩形ABCD=|k|進行求面積.有了前面的操作討論，學生的歸納總結會順理成章.總結：這些平行四邊形中有一組對邊是平行于x軸且其中一邊在x軸上，或有一組對邊平行于y軸且其中一邊在y軸上;還發現求這些平行四邊形的面積都是利用同底等高轉化為圖1所示矩形的面積.

繼續探索，反比例函數圖像中什么樣的三角形的面積也等于|k|？

以上處理經歷“開放探索”，明顯比教師直接歸納的耗時要長，但學生比以往更加主動，更能積極思考，對這些特殊圖形的特征結構更能深入理解，更能有效地化解難點.

三、前后教學實踐的對比分析與反思

1.此前的教學，教師更習慣直接給出結論

在以往的教學中，為了節省時間，對某些重要結論的教學，有些教師往往是快速給出結論，然后擠出時間讓學生練習更多的題目.像本案例中的教學環節1，師生一起計算2道填空題，然后很快總結得出結論，再對結論進行記憶.這樣的做法，課堂組織很順暢，效果也不錯，但是，學生對知識只停留在簡單的記憶中，對其本質沒有深入理解，無法自主建構知識，從而造成在綜合運用中難以熟練變通.這樣的教學，只會讓學生不斷地被動接受知識，使學生對數學學習的興趣逐漸減弱，不能激發學生的學習熱情.

2.此前的教學，教師更多地“牽手”

在以往的教學中，有些教師總是認為學生的思維水平不如教師.所以，教師總是千方百計在前面牽著學生走，帶領學生一問一答去解決問題，這樣做沒有激發學生、助力學生，反而使學生養成了不愛動腦的壞習慣.久而久之，教師教得累，學生學得苦.為此，教師時常發出“明明是講過了，學生就是不會”的感慨與無奈，以致教師的身心付出換不回高效的教育效果.

3.本次教學，教師更注重結論的生成過程

課堂的主體是學生，教師應當努力將課堂教學變成學生自主學習、合作交流、創造知識的一種學習方式，讓學生思知識的來龍去脈，說問題的邏輯推理，悟數學的思想方法.學生獨立思考，培養研究精神;學生合作探究，優化思維過程;學生自主創造，提高學習能力.所謂注重結論的生成過程，就是教師要在知識的形成過程中，啟發學生的疑處，鼓勵學生大膽探索，激發學生的學習熱情，對知識生成過程不惜時、不惜力，從而使學生達到真正意義的理解性學習.

4.本次教學，教師更多地“放手”

數學教育“應給學生自己發現事物的機會”“學習任何知識的最佳途徑是親自去發現”.所以，教師應當把課堂的主動權還給學生，讓學生當“主角”，教師當好教學活動的組織者、學生發展的促進者.教師完全可以大膽地放手給學生去創造，讓學生經歷“探—悟—再探—再悟”的循環過程，進而直達數學的本質、核心，使得知識、技能、方法得以落實，這樣的過程，教師無須替代，只需為學生的長遠發展保駕護航.

結束語

教學中，教師可以把每次的數學活動組織成有“美麗看點”的旅行，激發學生“火熱”的思考，讓學生享受數學課堂，生成數學智慧.