設計實驗過程 助推數學建模
——《圓的周長》教學實踐及思考

文|韋波富

《圓的周長》是蘇教版五年級下冊的教學內容，它屬于圖形測量范疇。C=π×d反映的是圓的周長與直徑之間的關系，是一個數學模型。該模型不同于長方形周長，是不易通過觀察、操作等活動能直接發現的，需要引導學生通過大量的實驗并結合人類已經走過的探索歷程和取得的成就逐步建構起來。其教學價值在于發現圓本身的奇妙之處、數學思想方法的獨特性以及探索經驗的可遷移性。

一、提出問題，產生懸念

師：我們已經認識了圓，與其他平面圖形相比，圓有哪些特別之處？

（圓是一條封閉的曲線；同一個圓內半徑有無數條，并且半徑都相等；直徑也是如此；圓有無數條對稱軸）

師：圓是不是很神奇？

（太神奇了。圓無論怎么對折兩邊都能完全重合，長方形能嗎?正方形呢？……）

師：還想研究圓的什么問題呢？

（圓的周長、面積等）

師：是的，我們在研究其他圖形時也是從周長和面積兩個方面進行的，善于聯想是一種很好的學習方法。那么在研究圓的周長的過程中還會有什么神奇的事情發生呢？期待嗎？

【思考：圓的周長與直徑之間的關系本身就是非常獨特的，這種獨特與圓的特征不無關系，新的內容教學前通過渲染讓學生進一步體會圓的特征的這種神奇，有利于學生更好地體會將要學習的圓的周長以及后續學習的圓的面積的計算模型的美妙。】

二、化曲為直，體會轉化

1.你知道圓的周長是指什么嗎？

指出：圓一周曲線的長就是圓的周長。

2.怎么測量出圓的周長呢？

（1）學生討論。

隨機課件演示：線繞圓一圈、圓滾動一周等測量方法，并追問：為什么不直接用直尺量？

師：下面我們就用膠帶紙繞一圈的方法，把圓的周長“拉直”了來量。

（2）學生操作測量。

（3）展示學生作品。

交流：現在可以測量出圓的周長了嗎？為什么？

（板書：化曲為直）

3.情境沖突。

小狗在地上繞一圈畫了一個圓，電風扇旋轉也形成了一個圓，它們的周長也能像剛才那樣化曲為直測量出來嗎？

（小狗畫的圓比較大，電風扇形成的圓沒有痕跡）

小結：看來我們需要像長方形或正方形那樣研究出圓的周長的計算方法。

【思考：用線繞圓一圈再把線拉直、圓滾動一周等測量方法，其本質就是化曲為直，而要領會這種數學思想方法不能通過口頭交流，需要學生在實際操作的過程中去體會，即如何把彎曲的線轉化成直的線。學生通過三個圓的操作，親身體會把“曲”線轉化成“直”線的過程，化曲為直的思想在學生的“慢”操作中深入人心。用膠帶紙拉直的方法來測量更易操作且比較準確，此過程又為下面探究周長與直徑之間的關系提供了實驗操作的素材。】

三、合理猜想，實驗驗證

1.初步猜想：觀察下面這三個圓，結合剛才拉直的一圈紙條的長度，想一想圓的周長可能與什么有關？（圓的大小；圓的直徑；圓的半徑）

師：其實圓的大小歸根結底是由半徑或直徑決定的。下面我們就先來研究圓的周長與直徑之間的關系。

2.進一步猜想：圓的周長與直徑可能存在什么關系？

繼續觀察這三個圓，周長與直徑可能有什么關系？說說你猜想的依據。（2倍多；3倍；4倍等）

【思考：人類認識事物的過程都是從模糊到清晰、從粗略到精確的，小學生的認識過程也不應該違背這樣的規律。C=π×d，其中d是變量，π是常數。要探索周長的計算方法，需要找到相關變量的存在。從學生已有的認知考慮，不難知道圓的周長與圓的大小有關，與圓的半徑或直徑有關。而圓的大小是由圓的半徑決定的，因此圓的周長的大小必定與圓的半徑有關，也必然與直徑有關，聚焦圓的直徑成為探究對象的必然選擇。這一過程旨在讓學生了解知識從哪里來，避免了只是“魚燒中段”的現象，而尋找相關變量在建模過程中往往被忽視。圓的周長與直徑究竟有什么關系，本環節旨在讓學生通過觀察憑借直覺作出估計，體現猜想有理有據的思維過程，實踐表明學生是可以作出合乎邏輯的猜想的。】

3.操作驗證。交流：可以用什么辦法來驗證我們的猜想？（量出數據再比較。更簡單的方法：直接用直徑去量，看有幾個直徑這么多等）

進一步交流：怎樣用直徑去量？（在學生交流的基礎上教師演示量法）

用直徑去量一量，并在紙帶上標出有幾個直徑長。

4.交流。你有發現嗎？（圓的周長都是直徑的3倍多一些）

5.質疑：對于這個發現，你有什么想法或疑問嗎？大膽地去想。（其他的圓是不是也這樣；會不會有一個圓，它的周長不是3倍多一些，而是2倍多一些或者4倍多一些呢？真的這么神奇嗎？3倍多一些會不會是一種巧合？）

6.進一步驗證：其他圓的周長也是直徑的3倍多一些嗎？

（學生拿出課前準備的有圓形的實物進行驗證）

交流：你們的驗證結果如何？（都是直徑的3倍多一些）

7.數學方法驗證說明：對于這個問題，我們沒辦法一個一個去驗證，我們可以通過數學的方法來說明。課件演示：

（1）圖中正方形與圓有什么關系？（圓的直徑等于正方形的邊長），正方形的周長與圓的周長有什么關系？（圓的周長比正方形的周長小）正六邊形的周長與圓的周長有什么關系？（正六邊形的周長比圓的周長小）

（2）正方形的周長是直徑的幾倍？圓的周長有直徑的4倍嗎？（圓的周長比直徑的4倍少）

（3）正六邊形的周長與圓的周長比較，誰大？那么正六邊形的周長是直徑的幾倍呢？

引導：圖中每個三角形有什么特點？六邊形的一條邊就等于圓的半徑，那么六邊形的周長與直徑有什么關系？（六邊形的周長是直徑的3倍）

（4）綜合：圓的周長比六邊形的周長大，比正方形的周長小。也就是說：圓的周長比直徑的3倍多，但比直徑的4倍少。

【思考：驗證過程是對自己猜想結果成立與否的確認過程，而驗證方法是需要經過討論認可的，這也是培養學生實驗能力的重要方面。在這一板塊設計了三個驗證環節，驗證的方法也不盡相同。首先是用課前準備的實物圓片直接去驗證，發現三個圓片的周長都是其直徑的3倍多一些。接著在此基礎上用學生自帶的有圓形的物體進一步驗證，擴大了驗證的范圍，增加了發現的可信度，并形成一定的心理傾向。由于沒辦法窮盡列舉，最后憑借數學的方法加以說明，圓的周長比直徑的3倍多但比直徑的4倍少，明確了周長與直徑存在的關系是固定在一個區間范圍內的，從理性的層面說明直觀操作發現的結論的合理性。】

四、演算推理，表達模型

1.提出問題：圓的周長是直徑的3.□倍？這個倍數會不會是一個固定不變的數？你準備怎么研究？學生在充分交流的基礎上，完成《學習單》。

2.交流實驗情況。

（1）說說你們的發現。

（2）分析：每個小組的圓片是一樣的，為什么周長的測量結果不一樣？

指出：數據的隨機性；測量誤差。

（3）盡管這樣，周長除以直徑的商，有什么規律？呈現出什么趨勢？

3.介紹古人研究的方法和結論。

其實周長除以直徑的商是一個固定不變的數，叫圓周率，用字母π表示。板書：圓周率（π）。

（1）劉徽用“割圓術”的研究結果。魏晉時期的劉徽，從直的多邊形周長與直徑的關系推出了圓的周長與直徑的關系。（課件逐步演示）

①他先從正六邊形開始，（課件演示多邊形的形成）觀察多邊形，你發現了什么？（越來越接近圓）

②正六邊形周長是直徑的3倍。他又通過數學的方法算出了正12邊形的周長與直徑的關系，正12邊形的周長是直徑的幾倍？正24邊形的周長呢？

劉徽求得圓周率π的近似值是3.14。

（2）南北朝科學家祖沖之的研究結果。

南北朝科學家祖沖之使用劉徽的方法算出圓周率π大約在3.1415926至3.1415927之間，成為世界上第一個把圓周率的值精確到小數點后7位的人。

（3）利用現代技術研究出的結果。

隨著計算機技術的發展，現在人們已經把圓周率π計算到了小數點后數萬億位了。

這個小數有規律嗎？

指出：它是一個無限不循環小數。

（4）對于這個發現，你有什么感想？（居然圓的周長與直徑還有這樣一種倍數關系，而且這個倍數是一個無限不循環小數。不研究不知道，一研究真奇妙）

4.到現在為止，你知道周長與直徑之間有什么關系嗎？用一個數學式子怎樣表示？

圓的周長就是直徑的π倍。

周長÷直徑=圓周率（π）。

用字母怎么表示？

（板書C=π×d）

5.你能用一個式子表示圓的周長與半徑之間的關系嗎？

【思考：從一個區間范圍到具體的常數，需要通過計算推演才有可能完成，這也是準確建立模型的需要。同樣的圓，測得的周長數據卻不一樣，揭示了數據收集的隨機性，同時引導學生要客觀看待實驗結果，實驗時要有認真細致、求真務實的態度。學生測量計算發現圓的周長與直徑的比值大都傾向于3.1多或3.2多，由于測量帶來的不可避免的誤差使得計算結果不能達到理想狀態，這時需要引進數學史實加以規范。割圓術實質是化曲為直，通過研究圓內多邊形周長與直徑的關系來推斷圓的周長與直徑的關系，化曲為直、極限思想的價值在這里得到了彰顯。引導學生表達周長與直徑的關系是培養學生數學表達能力的重要環節，從語言文字的直接描述，到語言文字的關系式表達，再到字母符號的表達，逐步實現數量之間關系的數學化表達。而圓的周長與半徑之間的關系則由學生通過演繹推理完成。至此，關于圓的周長的數學模型的建構已然完成。】

五、回顧反思，練中理解

1.回顧一下，我們是怎么發現圓周長與直徑之間的關系的？經歷了哪些過程？

（在學生交流的基礎上，逐步出示形成如下路線圖）

首先，我們用化曲為直的方法把圓的周長變直，然后進行研究。接著，研究圓的周長與什么有關，提出自己的猜想。然后，研究圓的周長與直徑有怎樣的關系，這是我們重點研究的部分，我們是怎么做的？最后得出結論。

我們要不斷學習這樣的研究方法，去探索大千世界更多的奧秘。

2.要知道圓的周長，除了直接測量外，還可以怎么辦？（量出直徑或者半徑）

（1）如果一個圓的直徑是5分米，周長怎么算？

交流：在計算時，π取多少呢？是用劉徽算出的值，還是用祖沖之算出的值，亦或是用計算機算出的值？哪個更精確？一般情況下需要這么精確嗎？

指出：有時不需要這么精確，為了方便,我們一般保留兩位小數,取它的近似值3.14。也就是說:圓的周長大約是直徑的3.14倍。

（2）如果一個圓的半徑是10厘米，周長怎么算？

【思考：引導學生回顧剛剛學習的過程，是對已有探究過程的一次梳理和反思，有利于學生形成探索解決問題的有效策略，幫助學生積累解決問題的成功經驗。在運用模型解決實際問題的過程中，對于圓周率取值多少的教學，不能簡單告訴學生，要幫助學生理解這樣取值的道理。本環節給出三個數值讓學生選擇，旨在引導學生明確取值不同結果的精確度就不一樣，圓周率的取值取決于計算結果的要求，一般保留兩位小數,取它的近似值3.14。如此教學，學生不但知其然也知其所以然，促進了學生對數學的理解。】