分數階預估-校正方法在求解二維多項時間分數階方程中的應用

趙豪杰，張秀英

(鄭州鐵路職業技術學院，河南 鄭州 451460)

近年來，由于在描述具有記憶特性的物理現象和過程中的優勢，分數階偏微分方程作為有效的建模方法而引起了人們的極大關注.分數階微積分已廣泛應用于物理學、生物學、黏彈性流體和控制理論等領域[1-2].通過使用分數階偏微分方程來描述實際問題中復雜的物理過程，如在非牛頓流體流動問題中，許多學者分析和研究了分數階Maxwell黏彈性流體[3]、分數階Oldroyd-B流體[4]、分數階Burgers流體[5]等流動問題，多項時間或時空分數階偏微分方程在研究中起著重要的作用.隨著分數階方程的廣泛應用，眾多學者開始對快速有效的方法求解不同類型的多項時間或時空分數階偏微分方程的問題進行研究.文章研究了二維多項時間分數階方程的求解問題，多項時間分數階導數為Caputo類型，其階數隨機屬于區間(0, 2).提出了分數階預估-校正方法來計算多項時間分數階方程，數值結果證明了理論分析的有效性.這些計算方法和理論分析也可以推廣到求解其它實際問題中的多項時空分數階模型.

1 分數階預估-校正方法的建立

分析下列二維多項時間分數階方程的求解問題[3]：

(1)

(2)

邊界條件為：u(0,y,t)=u(L1,y,t)=0,u(x,0,t)=u(x,L2,t)=0,0

(3)

把方程(1)改寫為分數階偏微分方程組：

(4)

由方程(1)的初始條件(2)，得方程組(4)相應的初始條件為：

(5)

定理1多項時間分數階方程(1)及其初始條件(2)等價于分數階偏微分方程組(4)及相應的初始條件(5).

證明參考文獻[6]的證明方法，即得結果，過程從略.

對于一般的分數階微分方程組：

(6)

及其初值問題，使用分數階預估-校正方法進行求解，過程如下：

對于如下方程

其中，0<γl<1，上述初值問題與下列Volterra積分方程是等價的，即

(7)

把方程的時間和空間區域分別劃分網格，即：tk=kτ,k=0,1,…,N,τ=T/N;xi=ih1,i=0,1,…,M1,h1=L1/M1;yj=jh2,j=0,1,…,M2,h2=L2/M2(N,M1,M2為正整數).分別使用分數階Adams-Bashford公式和分數階Adams-Moulton公式[7]作為預測值和校正值進行計算.

(8)

(9)

用上述數值方法求解方程組(4)，由分數階Adams-Bashforth公式確定預估值為(l=1,2)：

(10)

(11)

由分數階Adams-Moulton公式確定校正值為(l=1,2)：

(12)

(13)

關于分數階預估-校正方法的誤差估計，給出下面定理：

定理2使用上述式(10)-式(13)分數階預估-校正方法求解方程組(4)，計算結果誤差為：

證明參考文獻[8]的證明方法，即得結論，過程從略.

2 算法實例驗證分析

為了證明式(10)-式(13)分數階預估-校正方法的實際計算效果，構造下列有解析解的分數階方程分別進行計算：

u(0,y,t)=u(2,y,t)=0,u(x,0,t)=u(x,1,t)=0,t>0

分析得到該算例的解析解為u(x,y,t)=t3xy(2-x)(1-y).使用分數階預估-校正方法求解算例，得到數值解與解析解之間的誤差，如表1所示.

表1 分數階預估-校正方法與解析解之間的誤差(T=1.0)

從表1的計算結果可以得到，隨著空間和時間劃分步長的減小，誤差滿足分析的理論誤差.使用該方法計算時，計算速度較快并且數據存儲空間要求較小.

3 結論

文章提出了有效的計算二維多項時間分數階方程的分數階預估-校正方法，并對數值方法進行了相關理論分析，數值計算結果驗證了理論分析的有效性.使用分數階預估-校正方法計算時速度較快，并且不需要對大量數據進行存儲，需要注意的是該方法是條件穩定的，在計算時要保證所給的時間步長足夠小.