具有年齡結構和水平傳播的媒介傳染病模型研究

梁霜霜, 聶麟飛, 胡 琳

（新疆大學 數學與系統科學學院, 烏魯木齊 830046）

0 引 言

利用數學模型來研究傳染病的傳播規律已有一百多年的歷史, 并取得了一系列重要的研究成果.然而, 考慮到疾病的傳播與病毒攜帶者被感染的時間長短密切相關, 研究具有感染年齡的傳染病模型就顯得十分重要. 例如, Magal等[1]提出了一類具有感染年齡的SIR傳染病模型, 通過構造Lyapunov函數證明了該模型的無病平衡態和地方病平衡態的存在性與全局穩定性, 其方法被國內外學者廣泛采用[2-4]. 此外, 考慮到媒介傳染病(即是由細菌、病毒、病原微生物等引起, 通過某生物媒介在宿主間傳播的疾病)在各類傳染病中占有很大的比重, 以及宿主的潛伏者到染病者的轉化率和感染宿主的恢復率都與被感染的時間長短密切相關, Dang等[5]提出了具有潛伏年齡和感染年齡的媒介-宿主傳染病模型, 得到了疾病流行或消除的閾值條件.

眾所周知, 病原微生物永遠不會像動物或者植物那樣出現某個物種的滅絕, 它會為了生存而不斷變異, 不僅會隨著環境的改變而出現新的宿主, 還可以在復制過程中產生基因重配, 致使結構發生改變而跨越宿主之間的界限, 獲得在宿主之間或多種宿主之間傳播的能力. 基于此, Lashari等[6]提出了一類病毒在宿主之間具有水平傳播的媒介-宿主傳染病模型, 討論了該模型無病平衡態和地方病平衡態的存在性與全局漸近穩定性, 以及后向分岔的存在性問題. 進一步, Wang等[7]提出了一類宿主之間具有水平傳播和感染年齡的媒介-宿主傳染病模型, 得到了無感染平衡態的全局漸近穩定性和感染平衡態的存在性與全局吸引性, 討論了宿主之間的水平傳播對媒介傳染病流行或消除的影響.

基于上述討論, 考慮到病毒在宿主體內的潛伏期長短與被感染時間的關系以及病毒變異的影響,本文將建立一類具有潛伏年齡和水平傳播的媒介-宿主傳染病模型, 并討論該模型無病平衡態和地方病平衡態的存在性與全局穩定性.

1 模型的建立和介紹

將某個地區的人群(宿主種群)分為4類: 易感者類、潛伏者類、感染者類和恢復者類, 其在t時刻的規模分別用Sh(t) 、Eh(t,a) 、Ih(t) 和Rh(t) 表示, 這里a表示感染年齡. 而媒介種群分為3類, 即易感、潛伏和感染的個體, 其規模分別表示為Sv(t) 、Ev(t) 和Iv(t) . 由于媒介的生命周期較短, 故而假設被感染的媒介不會從感染中恢復, 并且會攜帶病原體直至死亡. 基于病毒在宿主和媒介之間以及在宿主之間的傳播規律, 提出一類具有潛伏年齡和水平傳播的媒介傳染病模型, 該模型由如下微分方程組

和

構 成. 這里, Λh和 Λv分 別 是 宿主 和 媒介 的 補充 率;βhh表 示疾 病 在宿 主 之間 水 平傳 播 的 速 率;βvh是疾病從感染媒介到易感宿主的傳播系數;μh和μv分別表示宿主和媒介的自然死亡率; 潛伏者到染病者的轉化率依賴于感染年齡, 標記為m(a) ;αh是宿主與疾病相關的死亡率, 而rh是宿主的恢復率. 此外,βhv是疾病從受感染宿主到易感媒介的傳播系數, 潛伏媒介到感染媒介的轉化率用αv表示. 所有的參數 Λh、 Λv、βhh、βvh、βhv以及αh、αv、rh、μh、μv均為 正常 數.

2 平衡態的存在性及其局部穩定性

注意到R0＜1 時,H(0)=a2＜0 且

因此, 當R0＜1 時,H(x)=0 沒有正根, 即模型不存在感染平衡態. 而當R0＞1 時, 則有H(0)=a2＞0 .此時H(x)=0 存在唯一的正根, 即R0＞1 時模型存在唯一的感染平衡態.

綜合上述討論, 關于模型(1)平衡態的存在性, 我們得出下面的結論.

整理方程組(6)可得

3 無病平衡態的全局穩定性

定理 3.1 當R0＜1 時, 模型(1)的無病平衡態E0是全局漸近穩定的.

4 模型的一致持久性

考慮如下輔助系統

5 地方病平衡態的全局穩定性