基于極限分析的三維邊坡可靠度研究

張兆峰

(石家莊職業技術學院，河北 石家莊 050081)

邊坡的穩定性一直是巖石力學領域的一個重點。然而，由于邊坡穩定性需考慮的因素極其的復雜性、土體材料的物理力學特性的難以確定，所以如何精確的評估邊坡的穩定性一直是工程界的一個難點[1]。采用可靠度分析方法研究邊坡穩定性是一種重要的發展趨勢。李典慶等[2]基于隨機響應面法對香港的某一邊坡穩定性可靠度進行了分析。Tang X S等[3]通過改進的聚類分區法并將其應用在對邊坡進行了可靠度分析中。Rathod G W等[4]結合極限平衡法和有限元分析討論了巖質邊坡的可靠度問題。然而，由于工程地質中存在的各種不確定性，土壤性質值的空間變異性影響土壤行為和巖土結構的性能[5]。然而，由于缺乏關于場地實際異質性的知識，空間變異性也增加了設計的不確定性[6-7]。這導致越來越多地使用概率方法來量化巖土工程評估中空間變異性和不確定性的影響[8-10]。邊坡穩定性被認為是一種考慮空間變異性的應用。為此，通常使用各向同性相關結構在二維中對空間變異性進行建模[9-13]。然而，目前針對三維邊坡可靠度的研究主要有2個問題：①采用有限元軟件進行可靠度分析的計算量非常大；②理論推導過程安全系數公式大多為隱式。這兩點增加了三維邊坡可靠度研究的難度。經過對比，對數螺旋線破壞比豎直條分破壞機制計算效率更高，更適宜做可靠度分析，故本文基于對數螺旋破壞機制分析破壞模式，計算三維邊坡安全系數，并采用蒙特卡羅法對三維均質邊坡開展可靠度分析。

1 基于對數螺旋破壞機制

1.1 三維邊坡極限分析理論

1975年，Farzaneh O等[14]在其著作“Limit Analysis and Soil Plasticity”中提出一種二維邊坡旋轉破壞機制。該機構將二維邊坡視作剛體，假設其滑裂面為對數螺旋線，利用極限分析上限法推導出穩定系數的解析解，并編制計算程序求得其穩定系數

眾多學者對三維邊坡破壞模式進行了研究，其中Michalowski引入對數螺旋線圓錐破壞模式，對二維對數螺旋線模式進行空間擴展。虛功率方程為：

(1)

1.2 破壞機制的構建

破壞模式的構建如圖1所示。

圖1 三維邊坡旋轉破壞機制Fig.1 Mechanism of rotational failure of 3D slope

假設邊坡發生失穩時，將以角速度ω圍繞旋轉中心O旋轉，曲線AC是式(1)確定的對數螺旋線，為坡體的滑裂面，該曲線通過坡趾C。式(2)表示對數螺旋線A′C′，其確定了三維邊坡滑坡體的上界，曲線AC與曲線A′C′相交于一點。

r=r0e(θ-θ0)tan φ

(2)

(3)

以O為原點向邊坡體做射線OA，交曲線A′C′于A′，以AA′為直徑沿垂直于紙面方向做圓，該圓以O為旋轉中心進行旋轉，直徑漸變，為上述射線與曲線A′C′和曲線AC兩交點確定的線段。圓圍繞O點旋轉與邊坡體相交形成的曲面為三維邊坡的滑裂面，整個旋轉機構為螺旋錐體，按照相關聯流動法則，其頂角夾角為2φ，整個滑坡體的上、下邊界由式(1)和式(2)確定，至此，邊坡的三維旋轉機構構建完成。

對于任意的角度θ，其對應的旋轉斷面的圓半徑為：

R=(r-r′)/2

(4)

所有旋轉斷面的圓心所形成的曲線方程為：

rm=(r+r′)/2

(5)

以每個斷面圓心為原點，做如圖1所示局部坐標系，邊坡體內任意一點的速度為：

v=(rm+y)ω

(6)

該破壞機制可用于有寬度限制的邊坡穩定系數的計算。對于無寬度限制的邊坡，該破壞機制不太適用[15-16]。

2 結構可靠度理論

2.1 結構可靠度基本概念

將要研究的不確定性因素作為隨機變量表示為向量形式X=(X1，X2，…，Xn)T，其可包括任何會影響計算結果的因素。則功能函數可以由極限狀態及結構本有功能確立[17-19]：

Z=g(X)=g(X1，X2，…，Xn)

(7)

式中，Z為結構的功能；g(X)為功能函數。

當結構功能正常時，即Z>0時，結構處于可靠狀態；當結構功能即將出現問題時，即Z=0時，結構處于極限狀態；當整體結構或部分功能失效時，即Z<0時，結構處于失效狀態，如圖2所示。

圖2 功能函數示意Fig.2 Function

2.2 邊坡可靠度計算步驟

求解三維邊坡的可靠度分為3個步驟進行。

(1)建立三維邊坡安全系數求解模型。

(2)根據需要研究的問題確定隨機變量類型，并指定其服從的概率分布函數。本文主要研究土體參數c、φ值的不確定性對邊坡的影響，故將c、φ值作為隨機變量。

(3)選取一種邊坡概率模型，建立功能函數，計算邊坡的可靠度。

3 三維邊坡概率模型

3.1 蒙特卡羅法簡介

蒙特卡羅法[20-21]是計算可靠度眾多方法中的一種。它是一種通過統計學規律計算可靠度的方法。具體做法是：首先隨機抽取N個隨機變量樣本，計算每個樣本下的功能函數Z=g(X)，統計所有g(X)<0的樣本數Nf，統計計算結果，結構的失效概率可表示為：

(8)

為滿足一定計算精度，抽樣數目N必須滿足：

N≥100/Pf

(9)

3.2 三維典型邊坡及概率模型

下面介紹本文邊坡可靠度的計算流程：

(1)將土體參數c、φ值作為隨機變量，利用MATLAB按照正態分布隨機產生N組樣本{(c，φ)1，(c，φ)2，(c，φ)3，…，(c，φ)N}。

(2)對每組生成的隨機數計算安全系數。

(3)統計安全系數小于1的發生次數。

(4)計算失效概率，并計算可靠度指標β=Φ(1-Pf)。

具體計算流程如圖3所示。

圖3 邊坡可靠度計算流程Fig.3 Flow chart of slope reliability calculation

3.3 對比分析

為驗證本文方法的可行性，將可靠度計算結果與已有文獻[22-24]進行對比。算例參數的取值以及計算結果的對比見表1和表2。

表1 模型參數Tab.1 Model parameters

表2 可靠度計算結果對比Tab.2 Comparison of reliability calculation results

通過綜合對比可知本文計算方法的可行性，其中與呂楊[24]的計算結果最為相近。相比另外2篇文獻，本文計算結果失效概率較小，因為三維邊坡模型的安全系數會大于二維邊坡安全系數符合實際，表明本文方法可行。

3.3.1 算例分析

本文算例選取選取圖4所示的單級均質邊坡。其中邊坡H=25 m，坡表傾角α取60°，土體重度為20 kN/m3。參數選取見表3。

圖4 典型邊坡示意Fig.4 Schematic diagram of typical slope

表3 隨機參數取值Tab.3 Random parameter values

本機基于蒙特卡洛法進行1 600次的計算，其頻率分布如圖5所示。

圖5 COV(φ)=0.3、COV(c)=0.3時安全系數的頻率分布Fig.5 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ) = 0.3，COV(c) = 0.3

按照功能函數定義，當Z<0，即安全系數Fs<1時，邊坡處于失效狀態，故邊坡失效概率為1.65%，可靠指標β為2.30。由圖5可知，安全系數呈現類正態分布形態，大部分數值分布在1.50～ 2.38。

3.3.2 敏感性分析

在實際邊坡工程中，試驗測得的力學參數有時嚴重失真，可靠性差。因此，參數敏感性分析可以區分影響穩定性的主次因素。這種敏感性分析在成本分析和設計規劃中是必要的。例如，對分析結果影響較大、敏感性較高的參數有必要投入更多的精力獲取參數取值，反之，針對敏感性低的參數選用成本較低的測試手段以獲取其參數取值。為進行參數分析本文將c、φ的均值分別取為90 kN/m、20°，參數變異系數可由式(10)確定：

(10)

使c、φ的變異系數從0.3變化到0.6，見表4。通過分別改變土體參數的變異系數，計算不同工況下邊坡的失效概率，其頻率分布如圖6—圖9所示。

表4 參數變異系數取值Tab.4 Parameter coefficient of variation

圖6 COV(φ)=0.35，COV(c)=0.35時安全系數的頻率分布Fig.6 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)=0.35，COV(c)=0.35

圖7 COV(φ)= 0.4、COV(c)= 0.4時安全系數的頻率分布Fig.7 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.4、COV(c)= 0.4

圖8 COV(φ)= 0.45、COV(c)= 0.45時安全系數的頻率分布Fig.8 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.45、COV(c)= 0.45

圖9 COV(φ)= 0.6、COV(c)= 0.6時安全系數的頻率分布Fig.9 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.6、COV(c)= 0.6

通過對不同變異系數取值情況下的安全系數進行統計，發現安全系數呈現類正態分布。為了確定安全系數的集中分布范圍，剔除其前后各10%的取值，其分布見表5。

表5 安全系數集中范圍Tab.1 Concentration range of safety factor

當COV(φ)=0.3時，計算結果表明安全系數的集中分布范圍范圍隨著c值φ的變異性增大而增大。但當COV(c)=0.3，改變COV(φ)時，安全系數分布范圍并不存在上述明顯規律，證明了安全系數對φ的變異性相對不敏感。

由圖10可知，當COV(φ)取值不變時，失效概率隨著COV(c)的增加顯著增加，可靠指標顯著減小，說明邊坡穩定性隨著c值變異性增加而降低；同理當COV(c)取值不變時，失效概率隨著COV(φ)的增加也表現為增加，但可靠指標小范圍波動減小，同時表明邊坡穩定性對內摩擦角φ的變異性敏感性較低；COV(φ)、COV(c)同時發生變化，可靠指標的疊加影響大于任意一個參數的單獨影響。

圖10 失效概率及可靠指標隨變異系數變化Fig.10 Variation diagram of failure probability and reliability index with coefficient of variation

4 結論

本章基于三維邊坡對數螺旋線破壞機制，構建了三維邊坡可靠度概率模型，并結合算例對不同變異系數取值情況下三維邊坡的失效概率及可靠指標進行了計算，隨后開展土體參數c和φ對失效概率及可靠指標敏感性的分析，得到如下結論：

(1)失效概率會隨著COV(c)和COV(φ)的增加而增加，而可靠指標則會減小，但COV(c)對其影響程度更大。考慮c和φ二個參數的變異性比僅考慮其中任何一個參數變異性得到更大的失效概率與更小的可靠度指標。

(2)三維邊坡失效概率對土體參數c、φ變異的敏感性排序為c>φ，在實際工程中更應該以精確的方式獲取土體的c值。