2.5D有限元建模關(guān)鍵問(wèn)題

王瑞　胡志平　任翔　李芳濤　溫馨

摘要： 為了提高2.5D有限元數(shù)值計(jì)算的求解精度及建模效率，分析了移動(dòng)荷載作用下地基系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)特點(diǎn)，確定了計(jì)算域選取及網(wǎng)格劃分的基本規(guī)則，評(píng)價(jià)了地基分層對(duì)波場(chǎng)的影響及邊界的波動(dòng)吸收效果，提出了可以規(guī)避邊界影響的建模思路。分析結(jié)果表明：當(dāng)計(jì)算域尺寸滿(mǎn)足低頻振動(dòng)要求（約60 m）時(shí)，反射波對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響可以忽略;建模時(shí)可以采用輻射狀網(wǎng)格劃分，最小網(wǎng)格尺寸需滿(mǎn)足高頻振動(dòng)要求（約0.5?1.0 m）。荷載運(yùn)行速度小于地基瑞利波速時(shí)沒(méi)有波動(dòng)傳播現(xiàn)象，建議直接采用固定邊界;荷載運(yùn)行速度大于地基瑞利波速時(shí)可以通過(guò)切取局部計(jì)算域的方式規(guī)避反射波的影響，此時(shí)計(jì)算域半寬和縱向空間范圍的選取需要遵循與馬赫錐錐角和列車(chē)全長(zhǎng)相關(guān)的幾何關(guān)系。荷載影響深度內(nèi)的地基分層會(huì)擾亂地基波場(chǎng)，當(dāng)?shù)鼗细曹浫跬翆踊蜍浫鯅A層時(shí)，波動(dòng)會(huì)在軟土層聚集并在加載點(diǎn)后形成多個(gè)馬赫錐。

關(guān)鍵詞： 分層地基; 建模; 2.5D有限元; 網(wǎng)格劃分; 吸收邊界

中圖分類(lèi)號(hào)： TU472; TU311.3??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）01-0080-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.009

引 言

隨著鐵路交通運(yùn)量及速度的不斷提高，列車(chē)運(yùn)行引發(fā)的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題逐步凸顯。針對(duì)列車(chē)荷載作用下路基內(nèi)部動(dòng)應(yīng)力的分布規(guī)律對(duì)路基長(zhǎng)期沉降及穩(wěn)定性影響規(guī)律的研究也日益增多。現(xiàn)有研究方法主要有現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)、室內(nèi)模型試驗(yàn)及數(shù)值模擬三種，其中數(shù)值模擬方法被廣泛采用，計(jì)算結(jié)果的精度及可靠性也在逐步提高^[1?7]。為了兼顧計(jì)算效率，以往常采用二維平面問(wèn)題研究列車(chē)荷載作用下地基系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律^[8]。在地震工程領(lǐng)域，研究P波和SV波入射引發(fā)的場(chǎng)地動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律時(shí)可以基于場(chǎng)地特點(diǎn)將三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題^[9]。研究列車(chē)荷載引發(fā)的地基動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，雖然地基斷面大多沿荷載移動(dòng)方向保持不變，但在移動(dòng)荷載作用下地基系統(tǒng)的響應(yīng)特點(diǎn)并不符合二維平面問(wèn)題的相關(guān)假定。Yang等^[10]分析了移動(dòng)荷載作用下二維和三維地基的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，指出當(dāng)三維問(wèn)題中荷載移動(dòng)速度無(wú)限大時(shí)地基的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律與二維問(wèn)題一致。也就是說(shuō)，簡(jiǎn)化的二維平面模型不足以揭示列車(chē)移動(dòng)荷載下地基系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。

2.5D有限元方法是計(jì)算移動(dòng)荷載作用下地基系統(tǒng)三維動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律的高效方法之一，其基本原理是假設(shè)路基斷面沿列車(chē)運(yùn)行方向保持不變，通過(guò)在列車(chē)運(yùn)行方向上的波數(shù)變換避免了該方向上的有限元離散，大大縮減了模型的自由度^[7]。影響有限元計(jì)算精度的因素主要體現(xiàn)在網(wǎng)格劃分、邊界條件選取、地基材料參數(shù)及收斂判據(jù)等方面。由于地表作用移動(dòng)荷載情況下地基的響應(yīng)問(wèn)題屬于典型的內(nèi)源問(wèn)題（即波源在計(jì)算域里面），其波動(dòng)激發(fā)特點(diǎn)及傳播規(guī)律具有很強(qiáng)的特異性^[5?7]。地震工程問(wèn)題數(shù)值建模過(guò)程中采用的網(wǎng)格劃分、計(jì)算域選取及吸收邊界條件設(shè)置等規(guī)則無(wú)法直接引入。

關(guān)于2.5D有限元建模過(guò)程中的邊界處理及網(wǎng)格劃分問(wèn)題，周彪等^[11]以瑞利波速為基準(zhǔn)探討了不同邊界條件下的計(jì)算域選取和網(wǎng)格尺寸對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，指出計(jì)算域半寬以大于1.5倍瑞利波速為宜。然而，筆者分析路基系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)上述規(guī)律尚不足以揭示2.5D數(shù)值模型特點(diǎn)和網(wǎng)格尺寸確定、計(jì)算域選取及吸收邊界設(shè)置時(shí)的基本規(guī)則。采用有限元方法研究交通荷載作用下地基動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題時(shí)大多學(xué)者并未對(duì)網(wǎng)格劃分、計(jì)算域選取及人工邊界的設(shè)置情況進(jìn)行深入探討。有鑒于此，本文從內(nèi)源移動(dòng)荷載作用下地基系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)特點(diǎn)及相關(guān)科學(xué)問(wèn)題入手，論述了網(wǎng)格及計(jì)算域尺寸選取基本原則，評(píng)價(jià)了地基分層對(duì)波場(chǎng)的影響及人工邊界的波動(dòng)吸收效果，給出了可以規(guī)避邊界影響的建模建議。

1 算法驗(yàn)證

本文以MATLAB軟件平臺(tái)編制2.5D有限元程序，有限元的網(wǎng)格劃分和單元、節(jié)點(diǎn)位置等信息通過(guò)ANSYS有限元軟件實(shí)現(xiàn)并導(dǎo)出，理論基礎(chǔ)及建模過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7，10?11]。

為了驗(yàn)證計(jì)算程序的可靠性，計(jì)算了均勻半空間表面作用移動(dòng)點(diǎn)荷載時(shí)的地基動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，采用Eason經(jīng)典解為對(duì)照組。計(jì)算域深度及底部邊界情況按要求設(shè)置，模型半寬統(tǒng)一設(shè)置為30 m，網(wǎng)格采用四節(jié)點(diǎn)等參單元?jiǎng)澐郑叽缃橛?.4?1.0 m之間。側(cè)邊界暫統(tǒng)一設(shè)置為固定邊界。移動(dòng)點(diǎn)荷載采用狄拉克函數(shù)模擬，移動(dòng)速度70 m/s，地基參數(shù)參照文獻(xiàn)[7]。選擇加載點(diǎn)下深度1 m處觀察點(diǎn)的位移響應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證，將響應(yīng)數(shù)值乘以2πρc_s²/P進(jìn)行歸一化，其中P為荷載大小，c_s為剪切波波速，ρ為介質(zhì)密度。觀察點(diǎn)豎向及沿荷載運(yùn)行方向的歸一化位移響應(yīng)如圖1所示。對(duì)比可以看出本文提出的2.5D有限元程序可以用來(lái)計(jì)算移動(dòng)荷載作用下的地基響應(yīng)問(wèn)題。

2 內(nèi)源移動(dòng)荷載下地基響應(yīng)的特點(diǎn)

2.1 運(yùn)行速度的影響

以半無(wú)限地基表面作用一點(diǎn)荷載為例，當(dāng)荷載移動(dòng)速度為0時(shí)為靜力問(wèn)題，地基變形可以通過(guò)彈性力學(xué)計(jì)算得到;當(dāng)荷載移動(dòng)速度無(wú)限大時(shí)，三維地基響應(yīng)符合平面問(wèn)題基本規(guī)律，即此時(shí)可以等效為沿運(yùn)動(dòng)方向的線(xiàn)荷載^[10]。當(dāng)荷載移動(dòng)速度介于兩者之間時(shí)，地基響應(yīng)隨荷載移動(dòng)速度的提高呈現(xiàn)兩種不同的特點(diǎn)。當(dāng)運(yùn)行速度低于地基瑞利波速時(shí)（v<c_R），荷載的移動(dòng)會(huì)引發(fā)土體主應(yīng)力軸的旋轉(zhuǎn)，但無(wú)波動(dòng)傳播現(xiàn)象，如圖2（a）所示;當(dāng)運(yùn)行速度不低于地基瑞利波速時(shí)（v≥c_R），馬赫效應(yīng)出現(xiàn)，土體主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的同時(shí)有波動(dòng)向外傳播，此時(shí)環(huán)境振動(dòng)的影響范圍顯著增大，如圖2（b）所示（圖2由本文2.5D有限元程序計(jì)算得到）。上述移動(dòng)荷載引發(fā)地基響應(yīng)的特點(diǎn)是決定數(shù)值建模過(guò)程中網(wǎng)格劃分、計(jì)算域確定及邊界條件選取的重要依據(jù)。

2.2 邊界條件

為了模擬無(wú)限域?qū)ν庑胁ǖ奈招Ч芯咳藛T基于工程波動(dòng)及有限元相關(guān)理論提出了多種行之有效的人工邊界條件。由于研究?jī)?nèi)源移動(dòng)荷載問(wèn)題時(shí)無(wú)需像地震工程問(wèn)題一樣在滿(mǎn)足波動(dòng)吸收效果的同時(shí)實(shí)現(xiàn)邊界處的荷載施加^[12]，吸收邊界的選擇較為自由。研究人員往往根據(jù)自身研究背景選取不同的人工邊界條件，目前常見(jiàn)的有黏彈性邊界、無(wú)限元邊界、多層黏性邊界、薄層單元及固定邊界等^{[5，10，13?15]}。

2.3 研究范圍選取

移動(dòng)荷載作用于地基時(shí)，無(wú)論研究地基內(nèi)部的動(dòng)應(yīng)力分布規(guī)律還是地基表面的環(huán)境振動(dòng)規(guī)律，其影響范圍都是重要指標(biāo)之一。已有研究表明，地基內(nèi)部動(dòng)應(yīng)力的衰減深度一般不超過(guò)20 m，地基表面環(huán)境振動(dòng)的衰減距離一般不超過(guò)40 m。研究環(huán)境振動(dòng)時(shí)，地表振動(dòng)強(qiáng)度衰減規(guī)律十分重要，一味選擇較小的計(jì)算域（以至于地表波動(dòng)在域內(nèi)無(wú)法充分衰減）在一定程度上與研究目標(biāo)相悖。在慎重選擇人工邊界條件的情況下，適當(dāng)擴(kuò)大研究區(qū)范圍很有必要，分析時(shí)切取的有限域應(yīng)該適當(dāng)包絡(luò)移動(dòng)荷載的影響范圍。此外，由于邊界上的動(dòng)應(yīng)力較小而不致產(chǎn)生明顯的波動(dòng)反射，部分研究者建議直接采用固定邊界研究列車(chē)荷載在地基內(nèi)部的傳播規(guī)律^[5]。

3 計(jì)算域選取及網(wǎng)格劃分原則

為滿(mǎn)足波動(dòng)數(shù)值模擬的精度要求，在有意義的最短波長(zhǎng)內(nèi)需要包含足夠數(shù)目的空間步距才能避免由于對(duì)連續(xù)介質(zhì)的有限元離散引起的“低通效應(yīng)”對(duì)結(jié)果的影響^[15]。Yang等根據(jù)2.5D頻域計(jì)算方法特點(diǎn)系統(tǒng)地總結(jié)了計(jì)算頻率對(duì)網(wǎng)格劃分和計(jì)算域尺寸的要求，指出不考慮荷載自振時(shí)特定計(jì)算頻率ω時(shí)，對(duì)網(wǎng)格尺寸r及計(jì)算域半寬R的要求如下式所示^[16]

式中λ_s和k_s分別表示考慮荷載移動(dòng)速度時(shí)S波在計(jì)算頻率ω情況下的波長(zhǎng)和波數(shù)。對(duì)于P波和表面R波（瑞利波），只需將其中剪切波波速c_s改為相應(yīng)波速即可。網(wǎng)格尺寸和計(jì)算域半寬為地基材料參數(shù)、車(chē)速和計(jì)算頻率的函數(shù)，高頻分量限制網(wǎng)格尺寸，低頻分量則決定了計(jì)算域范圍。為了兼顧軟、硬兩種地基材料，本文分別在c_s為50和100 m/s情況下繪制了網(wǎng)格尺寸隨車(chē)速及計(jì)算頻率的變化規(guī)律（如圖3所示），可以看出最大網(wǎng)格尺寸并非隨加載頻率和列車(chē)速度單調(diào)變化。考慮到有限元網(wǎng)格劃分及計(jì)算域的選取需要同時(shí)兼顧計(jì)算效率及精度要求，結(jié)合實(shí)際列車(chē)荷載作用下地基響應(yīng)的頻譜特征^[7]，建議考慮高頻分量時(shí)（15?30 Hz）最大網(wǎng)格尺寸在0.5?1.0 m，模型半寬大于1.5?3.0 m即可滿(mǎn)足要求;低頻時(shí)（0.5 Hz）最大網(wǎng)格尺寸要求可以適當(dāng)放寬至約20 m，半寬大于60 m即滿(mǎn)足要求。為了兼顧高低頻分量，目前常用的方法是在建模時(shí)采用輻射狀網(wǎng)格劃分，以加載點(diǎn)為基準(zhǔn)網(wǎng)格尺寸逐漸增大，最小網(wǎng)格尺寸滿(mǎn)足高頻要求，計(jì)算域尺寸滿(mǎn)足低頻要求。需要注意的是每次向外擴(kuò)展網(wǎng)格時(shí)滿(mǎn)足“當(dāng)前計(jì)算域尺寸>3倍當(dāng)前網(wǎng)格尺寸”即可。

4 移動(dòng)點(diǎn)荷載下的地基波場(chǎng)及邊界吸收效果

4.1 模型情況

4.1.1 網(wǎng)格劃分及基本計(jì)算參數(shù)

切取計(jì)算域的半寬為75 m、深度為36 m，網(wǎng)格尺寸按0.5，1.0，2.0 m三級(jí)輻射劃分，如圖4所示。地基土體為單一土層，參數(shù)取密度ρ=1600 kg/m³，剪切波速c_s=90 m/s，泊松比υ=0.3，阻尼系數(shù)β=0.04。荷載移動(dòng)速度v=100 m/s，荷載大小為100 kN。

4.1.2 積分變換參數(shù)

由于2.5D有限元是在頻率?波數(shù)域內(nèi)完成系統(tǒng)動(dòng)力方程的求解，之后通過(guò)傅里葉反變換獲取時(shí)間?空間域的動(dòng)力響應(yīng)，時(shí)程響應(yīng)滿(mǎn)足Z=vt的變換規(guī)律。本文坐標(biāo)軸方向如圖2（a）所示。由于列車(chē)長(zhǎng)度是恒定的，一般在特定的縱向（Z向）空間范圍L內(nèi)展開(kāi)計(jì)算。根據(jù)采樣定律，當(dāng)車(chē)速為v、采樣點(diǎn)為N時(shí)，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)T為

由于并未在Z向進(jìn)行網(wǎng)格劃分，時(shí)程曲線(xiàn)精度取決于積分變換的精度，當(dāng)采用的頻率分辨率包含較為全面的頻譜信息時(shí)即可獲得準(zhǔn)確結(jié)果。積分變換的關(guān)鍵參數(shù)由L，N和v共同確定，需根據(jù)具體工況謹(jǐn)慎選取。建議可以通過(guò)空間步長(zhǎng)?L來(lái)界定上述參數(shù)，其數(shù)值不宜超過(guò)0.5 m，否則可能會(huì)遺漏時(shí)程響應(yīng)的關(guān)鍵信息。本文取L=150 m，N=600。

4.2 邊界條件的影響

4.2.1 黏彈性人工邊界

考慮到以往黏彈性邊界參數(shù)推導(dǎo)過(guò)程中忽略了介質(zhì)阻尼對(duì)波動(dòng)傳播的影響，理論上不甚完備。本文首先基于三維黏彈性本構(gòu)參數(shù)下的波動(dòng)傳播理論推導(dǎo)柱面波傳播時(shí)的黏彈性邊界參數(shù)取值。關(guān)于2.5D數(shù)值分析中的復(fù)阻尼及波動(dòng)在黏彈性介質(zhì)中的傳播情況介紹詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7，17]。

關(guān)于2.5D有限元人工邊界的波動(dòng)吸收效果，以往多用觀察點(diǎn)的時(shí)程曲線(xiàn)進(jìn)行考量，鮮少通過(guò)波場(chǎng)直接觀察列車(chē)荷載激發(fā)的應(yīng)力波在邊界處的反射情況。與時(shí)程曲線(xiàn)對(duì)比，波場(chǎng)快照可以更加直觀且全面地展現(xiàn)波動(dòng)在邊界處的傳播細(xì)節(jié)。黏彈性邊界情況下地表面位移場(chǎng)如圖5所示。從三維云圖和波場(chǎng)快照可以看出，在采用黏彈性邊界時(shí)邊界依然有輕微波動(dòng)反射出現(xiàn)，根本原因是其在理論上不能完全滿(mǎn)足嚴(yán)格的波動(dòng)吸收條件。

4.2.2 無(wú)限元邊界

為了驗(yàn)證上述論述，結(jié)合本文等參數(shù)四節(jié)點(diǎn)單元構(gòu)造如圖6所示的四節(jié)點(diǎn)無(wú)限元單元^[19?20]。

采用無(wú)限元邊界時(shí)地表面豎向位移的波場(chǎng)快照如圖7所示。可以看出此時(shí)邊界處有輕微波動(dòng)反射現(xiàn)象，其原因依然是衰減函數(shù)的形式及衰減因子等的取值只滿(mǎn)足近似意義上的波動(dòng)傳播條件，并不完全嚴(yán)謹(jǐn)。因此在采用人工邊界時(shí)追求完全意義上的波動(dòng)吸收效果還不夠現(xiàn)實(shí)。

4.3 地基分層對(duì)波場(chǎng)的影響

實(shí)際工程中上述單一地層情況較為少見(jiàn)，更多時(shí)候地基呈現(xiàn)明顯分層特征，波動(dòng)在地層分界面上的透反射會(huì)導(dǎo)致波場(chǎng)變得較為復(fù)雜。因此有必要揭示分層地基情況下地表移動(dòng)荷載激發(fā)的波動(dòng)傳播規(guī)律。在圖4所示網(wǎng)格劃分基礎(chǔ)上，分別設(shè)置上硬下軟、上軟下硬和軟弱夾層三種分層地基討論波動(dòng)傳播規(guī)律，地基分層及土層參數(shù)如圖8所示。設(shè)荷載移動(dòng)速度為100 m/s，采用黏彈性人工邊界，其余加載參數(shù)與上文一致。

三種典型分層地基情況下場(chǎng)地豎向位移波場(chǎng)如圖9所示。與圖5對(duì)比可以看出，地基分層對(duì)場(chǎng)地波場(chǎng)影響顯著，地表出現(xiàn)多個(gè)馬赫錐，且馬赫錐的位置與中斷面上波場(chǎng)分布有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在軟、硬土層分界面上可以看到波動(dòng)反射現(xiàn)象。對(duì)比圖9（a）與（b），（c）可以看出，當(dāng)?shù)鼗细曹浫跬翆踊蛘哕浫鯅A層時(shí)，波動(dòng)會(huì)在軟土層聚集并且在加載點(diǎn)后形成多個(gè)馬赫錐，拉長(zhǎng)波場(chǎng)范圍。

另外，在圖9（c）中馬赫錐前方的三角區(qū)域可以觀察到輕微的波場(chǎng)擾動(dòng)。通過(guò)圖10中并列的兩張波場(chǎng)圖片可以看出，經(jīng)傅里葉反變換得到的場(chǎng)地響應(yīng)表現(xiàn)出明顯的周期性，該擾動(dòng)是由傅里葉變換的周期延拓性質(zhì)帶來(lái)的虛假反射。

為了避免虛假反射的影響，在計(jì)算時(shí)需要保證縱向影響區(qū)域被全部包括在計(jì)算范圍L內(nèi)。基于上述認(rèn)知，在擴(kuò)大L至300 m情況下（N=1200），分別獲取上覆軟土層厚度分別為4.5，10.5和36 m情況下地基波場(chǎng)如圖11所示。

此時(shí)由于選取的空間范圍較大，虛假反射消失。另外，隨著上覆軟土層厚度的增加，分界面上波動(dòng)的透反射對(duì)底邊波場(chǎng)的影響逐漸減小，加載點(diǎn)后部的馬赫錐漸趨于消失，馬赫錐錐角也漸趨一致。當(dāng)?shù)貙臃纸缑嬖诹熊?chē)荷載影響深度以下時(shí)可以忽略地基分層對(duì)波場(chǎng)的擾動(dòng)。由于實(shí)際工程地質(zhì)條件各不相同，本文僅針對(duì)三種典型地基做了趨勢(shì)性分析，以期為后續(xù)針對(duì)具體工程的定量研究提供參考。

4.4 吸收效果評(píng)價(jià)

以圖5，9及11所示工況為例獲取不同地基情況下波動(dòng)幅值在橫向（X向）上的衰減規(guī)律如圖12所示。雖然從波場(chǎng)快照上可以看到波動(dòng)反射現(xiàn)象且反射情況隨著地層條件變化各不相同，但在模型邊界處幅值衰減率均不超過(guò)2%。因此從工程角度分析場(chǎng)地動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律時(shí)可以忽略反射波的影響。上述認(rèn)識(shí)是在計(jì)算域半寬為75 m情況下獲得的，模型半寬不同時(shí)波動(dòng)的反射情況會(huì)有所變化。

5 建 議

研究移動(dòng)列車(chē)荷載作用下地基響應(yīng)規(guī)律時(shí)，雖然常用的人工邊界不能滿(mǎn)足嚴(yán)格的波動(dòng)吸收條件，但是可以通過(guò)計(jì)算域的合理選取獲得良好的計(jì)算效果。本節(jié)在上文分析基礎(chǔ)上，結(jié)合荷載速度變化時(shí)地基響應(yīng)的基本特點(diǎn)和網(wǎng)格尺寸及計(jì)算域選取的基本規(guī)則，探討可以獲取無(wú)反射波擾動(dòng)波場(chǎng)響應(yīng)的建模思路。

5.1 工況一，v<c_R

當(dāng)荷載移動(dòng)速度小于地基材料瑞利波速時(shí)沒(méi)有波動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生，且荷載影響范圍有限，如圖2（a）所示。此時(shí)吸收邊界條件對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，設(shè)置邊界條件時(shí)需要注意的是不要選擇不具備彈性恢復(fù)能力的人工邊界（如黏性邊界），建議可直接采用固定邊界。

5.2 工況二，v≥c_R

5.2.1 模型半寬

當(dāng)荷載移動(dòng)速度不小于地基材料瑞利波速時(shí)需要按照動(dòng)力問(wèn)題處理。若需要獲得完美的計(jì)算效果，可以通過(guò)切取局部場(chǎng)地實(shí)現(xiàn)。圖13為切取圖5中局部場(chǎng)地響應(yīng)得到的地表豎向位移場(chǎng)。波場(chǎng)較為完美的原因是移動(dòng)點(diǎn)荷載激發(fā)的地表波動(dòng)會(huì)以“馬赫錐”的形式向遠(yuǎn)處傳播，錐角θ與地基參數(shù)及列車(chē)速度之間的關(guān)系為：θ=arcsin（c_R/v）。根據(jù)Snell定理，界面上發(fā)生波動(dòng)反射時(shí)同一種波形的入射角和反射角是一致的，在入射波和反射波夾角范圍內(nèi)的場(chǎng)地響應(yīng)不受影響。因此，在計(jì)算精度要求特別高時(shí)可以采用附加計(jì)算范圍的形式規(guī)避反射波對(duì)波場(chǎng)的影響，如圖14所示。邊界延長(zhǎng)范圍d滿(mǎn)足下式即可

同時(shí)，根據(jù)上文介紹的關(guān)于單元尺寸的相關(guān)要求，延長(zhǎng)范圍內(nèi)的單元網(wǎng)格可以劃分得足夠大。范圍內(nèi)網(wǎng)格尺寸只要小于（D+d）/3即滿(mǎn)足理論要求。因此采用此方法并不會(huì)過(guò)多增加網(wǎng)格數(shù)，從而保證了計(jì)算效率。考慮地基分層情況下的波場(chǎng)較為復(fù)雜，馬赫錐錐角θ與土層分布相關(guān)，難以通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算獲得準(zhǔn)確結(jié)果，建議在建模過(guò)程中通過(guò)試算確定。確定d時(shí)需要注意由于地基分層引發(fā)的多重馬赫錐現(xiàn)象。

另外，當(dāng)運(yùn)行速度等于瑞利波速時(shí)延伸范圍接近無(wú)限大，式（23）不再適用。由于動(dòng)應(yīng)力在地基內(nèi)部衰減很快，深度方向一般根據(jù)地層條件適當(dāng)選取即可，盡量延伸至基巖面。

5.2.2 縱向空間范圍

為了避免由傅里葉變換周期延拓性質(zhì)帶來(lái)的虛假反射（如圖10所示）對(duì)波場(chǎng)的擾動(dòng)，需要進(jìn)一步界定縱向空間范圍的選取規(guī)則，即保證縱向影響區(qū)域被全部包括在計(jì)算范圍L內(nèi)。如圖14所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)可以寫(xiě)為

式中δ為由多重馬赫錐現(xiàn)象造成的波場(chǎng)縱向延伸距離。

6 結(jié) 論

本文論述了內(nèi)源移動(dòng)荷載作用下地基響應(yīng)的基本特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上總結(jié)了采用2.5D數(shù)值模擬技術(shù)時(shí)計(jì)算域選取及網(wǎng)格劃分的原則，評(píng)價(jià)了地基分層對(duì)波場(chǎng)的影響及人工邊界的波動(dòng)吸收效果，建議了可以獲得無(wú)反射波擾動(dòng)波場(chǎng)響應(yīng)的建模方法。得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）考慮高頻分量時(shí)（15?30 Hz）最大網(wǎng)格尺寸在0.5?1.0 m，模型半寬大于1.5?3.0 m即可滿(mǎn)足要求;低頻時(shí)（0.5 Hz）最大網(wǎng)格尺寸要求可以適當(dāng)放寬至約20 m，半寬大于60 m即滿(mǎn)足要求。建模時(shí)可以采用輻射狀網(wǎng)格劃分，最大網(wǎng)格尺寸滿(mǎn)足高頻要求，計(jì)算域尺寸滿(mǎn)足低頻要求，同時(shí)注意每次向外擴(kuò)展網(wǎng)格時(shí)需要滿(mǎn)足“當(dāng)前計(jì)算域尺寸>3倍當(dāng)前網(wǎng)格尺寸”。

（2）由于現(xiàn)有的人工邊界大多在理論上不能滿(mǎn)足嚴(yán)格的波動(dòng)吸收條件，在邊界處依然有波動(dòng)反射現(xiàn)象。當(dāng)計(jì)算域的選擇滿(mǎn)足低頻要求時(shí)反射波對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響很小。

（3）荷載運(yùn)行速度小于地基瑞利波速時(shí)（v<c_R）沒(méi)有波動(dòng)傳播現(xiàn)象，吸收邊界條件對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，建議可直接采用固定邊界;荷載運(yùn)行速度大于地基瑞利波速時(shí)（v>c_R）可以通過(guò)切取局部計(jì)算域的方式完全規(guī)避反射波的影響，此時(shí)計(jì)算域半寬和縱向空間范圍的選取需要遵循與馬赫錐錐角和列車(chē)全長(zhǎng)相關(guān)的幾何關(guān)系。

（4）荷載影響深度內(nèi)的地基分層會(huì)擾亂地基波場(chǎng)，當(dāng)?shù)鼗细曹浫跬翆踊蜍浫鯅A層時(shí)，波動(dòng)會(huì)在軟土層聚集并在加載點(diǎn)后形成多個(gè)馬赫錐，拉長(zhǎng)波場(chǎng)范圍。

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Abstract： In order to improve the solution accuracy and modeling efficiency of 2.5D finite element numerical method， the dynamic response characteristics of ground system under moving load are addressed. The basic rules in selecting computing range and meshing are established. Moreover， the effects of ground stratification on the wave field and wave absorption capacity of boundaries are evaluated. Finally， the modeling approach which can avoid the effect of boundary strictly is suggested. The results indicate that the effect of reflection wave on the results can be overlooked once the computing range fits the requirement of low frequency vibration （about 60 m）， and radial mesh can be used in modeling and the minimum mesh size should meet the requirement of high frequency vibration （about 0.5-1.0 m）. There is no wave propagation when the moving speed of load is lower than the Rayleigh wave velocity of ground and the fixed boundary is suggested. In addition， the influence of reflected wave can be completely avoided by cutting the local computation range when the moving speed of load is higher than the Rayleigh wave velocity of ground. In that condition， the half-width and longitudinal space range of model should be confirmed following the geometric relation related to the Mach cone angle and the full length of the train. Furthermore， the layered interface at the load influence depth will disturb the wave filed of ground. Wave will accumulate in the soft soil and multiple Mach cones will occur after the loading point when the ground is covered with soft soil or soft interlayer.

Key words： layered ground; modeling; 2.5D finite element method; meshing; absorbing boundary

作者簡(jiǎn)介： 王 瑞（1992-），男，博士后，講師。電話(huà)：（029）82337331;E-mail：wr2801100103@163.com

通訊作者： 胡志平（1973-），男，博士，教授。電話(huà)：（029）82337356;E-mail：huzhping@chd.edu.cn