雙邊剛性約束非光滑雙擺的碰撞周期解

郭秀英　張剛　田瑞蘭

摘要： 構建雙邊對稱剛性約束的非光滑雙擺模型，研究簡諧激勵作用下該系統的碰撞周期解及其存在條件。應用模態分析法，引入矩陣理論，構造恰當的可逆變換矩陣，在理論上計算出物理參數和碰撞恢復系數的取值范圍，并給出雙碰周期解的解析表達式。在理論結果的基礎上，利用碰撞恢復矩陣作為銜接條件，采用理論分析和數值模擬相結合的方法，分析系統小角度運動的碰撞周期解。

關鍵詞： 非線性振動; 非光滑雙擺; 碰撞周期解; 對稱剛性約束; 恢復系數

中圖分類號： O322; O29??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2021）01-0185-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.021

引? 言

近幾年，隨著機器人技術的發展，機械臂設計和動力學行為研究成為機器人技術的重要研究課題。如何構建合理的數學模型模擬機械臂的運動是理論研究的重點^[1?2]。物理雙擺是傳統的高維非線性系統，具有豐富的非線性動力學行為^[3?4]。大量的研究結果表明，雙擺可以模擬機械臂的運動模式。實際上，隨著機械臂的動作細化和外置驅動的安裝要求，需要考慮機械臂鏈接處的縫隙和阻尼，還需要考慮外置驅動的類型和安裝方式。因此，可以將機械臂簡化為有外置簡諧激勵的碰撞雙擺。研究這類碰撞雙擺的周期運動，可從理論上為機械臂的設計提供合適的物理參數和幾何參數，提高機械臂的應用舒適度、使用安全性，延長其使用壽命。

目前，關于碰撞擺類系統的研究集中在數值模擬和低維系統的解析法研究^[5?9]。文[5?6]開展了碰撞單擺系統的次諧分叉和混沌判據的解析方法推廣研究。文[7]研究了單自由度非線性振子的諧波、亞諧波和混沌運動。文[8?9]研究了一類具有對稱約束或對稱碰撞的非光滑系統的周期運動和動力學行為。而針對高維非光滑、不連續系統，解析法的研究結果迄今為止仍鮮為人知。主要通過數值模擬和實驗觀察物理參數和碰撞對系統的影響，研究高維非光滑系統的分叉和混沌現象^[10?14]。文[14]建立了一類具有對稱剛性約束的三自由度碰撞振動系統的Poincaré映射，研究了一類三自由度含間隙雙面碰撞振動系統Poincaré 映射的叉式分岔的反控制問題。盡管針對非光滑擺研究周期解有了一定的研究，但是周期解的解析表達式十分繁雜，很難應用于工程實際，且周期解存在的條件表達式也很難推廣到高維非光滑雙擺系統。進一步地，在非光滑雙擺周期解的研究中均未涉及兩個自由度都發生碰撞的工況。

本文以基座受簡諧激勵的鉸鏈鏈接雙擺為基礎，構建雙邊對稱約束的非光滑雙擺模型，研究兩個自由度多點碰撞周期解的類型，利用矩陣理論^[15?16]，引進可逆變換，討論碰撞周期解存在的理論條件和碰撞周期解的解析表達式，并利用Matlab進行數值模擬和驗證。

1 碰撞雙擺模型和運動方程

4 結? 論

碰撞雙擺有復雜的動力學行為，因其碰撞產生的非線性，多點碰撞情形的多樣性，一般很難得到其碰撞周期解的解析表達式。 本文針對水平激勵下的雙邊碰撞雙擺進行建模和理論分析，利用模態疊加法和矩陣理論，討論并推導了系統小角度振動時雙邊雙碰周期解的存在條件和周期解析解表達式。 數值模擬表明，該方法可以較好的預測碰撞周期解的存在性。引進矩陣工具，可以方便地計算出碰撞周期解的積分常數和存在條件，為求解高維系統的碰撞周期解提供了計算工具。針對其他類別的碰撞周期解只要找到合適的碰撞恢復矩陣，計算過程是類似的，為機械臂的研究和設計奠定了理論基礎。為工程人員研究高維系統周期解提供理論指導。

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Abstract： A double pendulum model with bi-lateral rigid constraint is constructed under harmonic excitation. The impact periodic solution of a nonlinear dynamic system under harmonic excitation and its existence conditions are studied. Adopting the modal analysis and matrix theory， an invertible transformation is introduced to obtain the parameter conditions for the existence of the impact periodic solution of the system. On the basis of the theoretical calculation results， applying Matlab software， numerical simulation is carried out to obtain the impact periodic solution of the system with small angle motion， which verifies that the theoretical research results have certain theoretical guidance in engineering practice.

Key words： nonlinear vibration; non-smooth double pendulum; impact periodic solution; symmetric bilateral rigid constraint; coefficient of restitution

作者簡介： 郭秀英（1976?），女，講師。電話：（0311）87935502，18132660586;E-mail：guoxiuying4086@sina.com

通訊作者： 田瑞蘭（1977?），女，教授，博士生導師。電話：（0311）87936096，15511336389;E-mail：tianrl@stdu.edu.cn