兩自由度含彈性約束碰撞振動系統共存吸引子轉遷控制研究

李得洋　丁旺才　丁杰　衛曉娟

摘要： 針對碰撞振動系統具有的吸引子共存現象，在不改變原碰撞系統平衡解結構的前提下，采用線性反饋控制方法研究了一類兩自由度含彈性約束碰撞振動系統共存吸引子轉遷控制問題。建立了兩自由度含彈性約束碰撞振動系統的動力學模型，理論推導得到了系統周期運動的存在條件;利用Floquet理論分析了系統的穩定性、分岔及引起吸引子共存的原因;通過設計合理的線性反饋控制器實現了系統共存吸引子的相互轉遷;討論了不同的控制開始狀態和控制參數對控制性能的影響。仿真結果表明，所應用的線性反饋控制方法能有效控制此類非光滑碰撞振動系統共存吸引子之間的相互轉遷。

關鍵詞： 非線性振動; 非光滑系統; 吸引子共存; 線性反饋控制; 分岔

中圖分類號： O322; TB535??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2021）01-0176-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.020

引? 言

含間隙^[1?2]的非光滑機械系統常見于各種工程領域中，如運動副、齒輪系統等，該類系統中部件的相互碰撞通常會導致系統動力響應出現復雜而豐富的分岔、混沌和周期共存等非線性現象。在非光滑系統分岔和混沌研究方面，Shaw和Holmes^[3]采用接縫法精確地求解了分段線性振子的動力學響應，并通過復合的全局映射研究了系統周期響應的穩定性問題。Kundu等^[4]構建了4種單自由度彈性約束系統Grazing分岔的范式映射，并研究了擦碰軌道鄰域內Poincaré映射的特性。張惠等^[5]研究了含間隙和預緊彈簧碰撞振動系統由于擦邊引起不動點處Jacobian矩陣的行列式和跡的變化特性。樂源等^[6]研究了一類三自由度碰撞振動系統的激變和陣發性。也有學者利用Floquet理論和近似求解方法對此類系統的分岔和穩定性進行研究。Leine等^[7]對非光滑系統周期解的不連續分岔作了進一步的研究，分析了伴隨基解矩陣的跳躍而發生的各種不連續分岔現象，進而給出了一般意義下的Floquet理論。徐慧東等^[8]應用Floquet理論研究了一類兩自由度分段線性非光滑系統周期運動的分岔現象和混沌行為。任傳波等^[9]利用數值方法研究了兩自由度具有非連續阻尼力分段線性系統的穩定性和分岔。賈啟芬等^[10]用KB方法研究了汽車懸架的簡化分段線性非線性動力系統的不同參數對共振曲線的影響。在周期共存研究方面，李健等^[11]根據非光滑動力學系統特點，得到了非光滑系統吸引子和吸引域的胞映射計算方法，并在一類單自由度碰振系統上驗證了方法的有效性。Antonio S E Chong等^[12]利用數值方法對簡諧激勵下含間隙碰撞振動系統在分岔點附近周期共存現象進行了研究。

隨著非線性理論的深入研究以及工程實際的需求，將不同的周期運動以及共存的不同吸引子之間實現轉遷控制引起了學者的興趣。Jackson等^[13]最早提出了開環控制方法實現不同周期運動之間的轉遷，但是該方法無法確定非線性系統的吸引域且對大多數非線性系統無效。為了彌補開環控制方法的不足，開環加閉環（OPCL）控制方法和OPNCL控制方法被相繼提出。Shen等^[14]用OPCL方法研究了將Mathieu?Duffing振子從混沌吸引子遷移至任意周期吸引子的控制問題。柴凱等^[15]利用OPCL和OPNCL控制方法實現了非線性隔振系統多個不同拓撲特性的吸引子之間的遷移控制。趙建學等^[16]分別采用開環、閉環和開環加閉環控制方法對準零剛度隔振系統的共存吸引子實現了遷移控制，并對開環加閉環控制方法的穩定性和可行性進行了分析。已有的共存吸引子轉遷控制主要側重于光滑系統，而有關含彈性約束碰撞振動系統共存吸引子轉遷控制的相應研究仍然很少，依然有待進一步開展和深入研究。本文以一類兩自由度含彈性約束分段線性非光滑系統為研究對象，理論推導了系統n-1周期運動的存在條件;利用數值方法分析了系統周期共存現象，并利用線性反饋控制方法對系統共存吸引子進行轉遷控制。通過吸引子轉遷控制可實現系統的減振、混沌控制和分岔控制，仿真結果驗證了本文方法的可行性和有效性。

1 力學模型及n-1周期運動的存在條件

6 結? 論

本文針對兩自由度含彈性約束碰撞振動系統的吸引子共存現象，利用線性反饋控制方法對共存吸引子實現了相互轉遷控制，同時對線性反饋控制方法的穩定性和可行性進行了分析，可以得到如下結論：

（1）在不改變原系統周期運動特性的情況下，基于原碰撞微分系統的線性反饋控制方法可實現吸引子之間的相互轉遷。吸引子之間的相互轉遷一方面可使系統工作在振幅較小的周期運動上;另一方面可控制擦邊、鞍結等分岔和混沌運動的發生，為系統運動狀態控制提供新的思路。

（2）在共存吸引子相互轉遷過程中，應選擇被控軌道和目標軌道之間距離最小時開始施加控制;合理的控制參數可有效節省反饋控制力和控制時間。利用優化算法對控制參數進行優化是本文繼續研究的方向。

參考文獻：

[1]??????? 金棟平，胡海巖. 碰撞振動及其典型現象[J].力學進展，1999， 29（2）： 155-164.

Jin Dongping， Hu Haiyan. Vibro-impacts and their typical behaviors of mechanical systems[J]. Advances in Mechanics， 1999， 29（2）： 155-164.

[2]??????? 丁旺才，謝建華. 碰撞振動系統分岔與混沌的研究進展[J].力學進展， 2005， 35（4）： 513-524.

DING Wangcai， Xie Jianhua. Advances of research on bifurcations and chaos in vibro-impact system[J]. Advances in Mechanics， 2005， 35（4）： 513-524.

[3]??????? Shaw S W， Holmes P. A periodically forced piece-wise linear oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration， 1983， 90（1）： 129-155.

[4]??????? Kundu Soumya， Banerjee Soumitro， Ing James， et al. Singularities in soft-impacting systems[J]. Physica D， 2012， 241 （22）： 553-565.

[5]??????? 張? 惠，丁旺才， 李? 飛. 兩自由度含間隙和預緊彈簧碰撞振動系統動力學分析[J].工程力學，2011，28（3）： 209-217.

ZHANG Hui， DING Wang-cai， LI Fei. Dynamics of a two-degree-of-freedom impact sysrtem with clearance and pre-compressed spring[J]. Engineering Mechanics，2011，28（3）： 209-217.

[6]??????? 樂? 源，繆鵬程.一類碰撞振動系統的激變和擬周期-擬周期陣發性[J].振動與沖擊， 2017，36（7）： 1-7.

YUE Yuan， MIAO Pengcheng. Crisis and quasiperiod-quasiperiod intermittency in a vibro-impact system[J]. Journal of Vibration and Shock， 2017， 36（7）： 1-7.

[7]??????? Leine R I， Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcation of Non-Smooth Mechanical Systems [M]. Berlin： Springer， 2004： 101-118.

[8]??????? 徐慧東， 謝建華. 一類兩自由度分段線性非光滑系統的分岔與混沌[J].振動工程學報， 2008，21（3）： 279-285.

XU Hui-dong， XIE Jian-hua. Bifurcation and chaos of a two-degree-of-freedom non-smooth system with piecewise-linearity[J].Journal of Vibration Engineering， 2008，21（3）： 279-285.

[9]??????? 任傳波， 周繼磊. 一類非連續阻尼力分段線性系統的分岔研究[J].力學學報， 2011，43（6）： 1191-1195.

Ren Chuanbo， Zhou Jilei. Bifurcation research for piecewise linear system involved in discontinuous damping force[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2011， 43（6）： 1191-1195.

[10]????? 賈啟芬， 于? 雯， 劉習軍. 汽車懸架系統的分段線性非線性振動機理的研究[J].工程力學， 2005，22（1）： 88-92.

JIA Qi-fen， YU Wen， LIU Xi-jun. Dynamic characteristics of bilinear suspension system of vehicles[J]. Engineering Mechanics， 2005， 22（1）： 88-92.

[11]????? 李? 健，張思進. 非光滑動力系統胞映射計算方法[J].固體力學學報， 2007，28（1）：93-96.

Li Jian， Zhang Sijin. Cell-mapping computation method for non-smooth dynamical systems[J]. ACTA Mechanica Solida Sinica，2007， 28（1）：93-96.

[12]????? Antonio S E Chong， Yuan Yue， Pavlovskaia Ekaterina， et al. Global dynamics of a harmonically excited oscillator with a play： Numerical studies[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics，2017， 94 （7）：98-108.

[13]????? Jackson Atlee E， Grosu I. An open-plus-closed-loop （OPCL） control of complex dynamic systems [J]. Physica D， 1995， 85（1-2）： 1-9.

[14]????? Shen Jian-he， Chen Shu-hui. An open-plus-closed- loop control for chaotic Mathieu-Duffing oscillator[J]. Applied Mathematics and Mechanics （English Edition）， 2009， 30（1）： 19-21.

[15]????? 柴凱，樓京俊，朱石堅，等. 兩自由度非線性隔振系統的吸引子遷移控制[J].振動與沖擊，2018， 37（22）：10-16.

CHAI Kai， LOU Jingjun， ZHU Shijian， et al. Attractor migration control of a two-degree-of-freedom nonlinear vibration isolation system[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（22）： 10-16.

[16]????? 趙建學，俞? 翔，柴? 凱，等. 準零剛度隔振系統吸引子遷移控制研究[J].振動與沖擊，2018，37（22）： 220-224.

ZHAO Jianxue， YU Xiang， CHAI Kai， et al. Attractor migration control of a vibration isolation system with quasi zero stiffness[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（22）： 220-224.

Abstract： In the premise of not changing periodic solutions to the original system and with considering multiple coexistent attractor in the vibro-impact system， attractor migration control of a two-degree-of-freedom vibro-impact system with soft constraints is studied by using the linear feedback control method. Firstly， the two-degree-of-freedom vibro-impact system with soft constraints is established， the existing condition of the? periodic impact motion is deduced. The stability， bifurcation and the cause of the multiple coexistent attractor of the system are analyzed by Floquet theory. Then， the numerical experiments verify that a reasonable linear feedback control method can effectively control the migration of different attractors in such non-smooth vibro-impact systems. Finally， the influence of different control positions and parameters on the control performance is discussed.

Key words： nonlineer vibration; nonsmooth systems; multiple coexistent attractor; linear feedback control; bifurcation

作者簡介： 李得洋（1986?），男，講師。電話：18919195902;E-mail：lideyang666@163.com

通訊作者： 丁旺才（1964?），男，教授。電話：（0931）4956173;E-mail：Dingwc@mail.lzjtu.cn