一道解幾調研題的探究及思考

江蘇省海門中學 (226100) 顧旭東

本文以一道解析幾何調研題為載體，通過層層推進揭示問題的背景與本質，在提升學生思維的同時達到釋放困惑的目的.

(1)求圓C的方程；(2)設P是直線l:x=4上的任意一點，過點P作圓C的切線，切點為M,N.

(ⅰ)求證：直線MN過定點(記為Q)；

分析：本題是一條原創題，入手容易，前二問中規中矩有梯度，作為壓軸題，最后一問“求λ+μ的值”設置巧妙，在解析幾何范疇內前后呼應，令人拍案叫絕，撥開云霧，讓我們層層推進，多角度的來打磨這道調研試題.

對于原題，首先我們可以從特殊到一般進行分析.

圖1

解：不妨設A(x1,y1),

圖2

圖3

圖4

收獲成果的同時，以下一些結論就自然而然的浮出水面.

結論1 如圖4，已知拋物線y2=2Px(P>0)，過定點Q(t,0)的直線與拋物線分別交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，過A作x軸的垂線(垂足為H)，連BO并延長和Q點處與x軸垂直的直線交于G點，則四邊形AQGH為平行四邊形.

結論2 如圖5，已知拋物線y2=2Px(P>0)，過定點Q(t,0)的直線與拋物線切于A(x1,y1)，過A作x軸的垂線(垂足為H)，連AO并延長和Q點處與x軸垂直的直線交于G點，則kAQ=kGH.

圖5

結論3 已知拋物線y2=2Px(P>0)，A(x0,y0)為拋物線上任意一點，過A作拋物線的切線l,l與x軸交于(x1,0)，則x0+x1=0.

結語：以上這些是對調研題的一點探究及思考，在課堂教學中，我們更應該通過小步子、多角度、慢節奏地引領學生去思考，提高其學習的主動性和積極性，讓其愛上數學，只有這樣，數學的核心素養才能真正意義在學生的心靈深處，生根發芽.