裂縫性致密油藏多級壓裂水平井試井模型

何吉祥 ，徐有杰 ，高陽 ，劉啟國

（1.中國石油新疆油田分公司勘探開發研究院，新疆 克拉瑪依 834000；2.西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都 610500）

0 引言

致密油藏作為一種重要的非常規油氣藏，其滲流機理與常規砂巖油氣藏存在很大的差別［1-2］。致密油藏滲透率和孔隙度極低，只能選用水力壓裂來實現經濟開采價值［3］。 根據賈承造等［4］的研究，覆壓滲透率低于0.1×10-3μm2是致密油藏的主要特征。由于儲層致密，致密油在納米孔隙介質中的流動表現出很強的低速非線性滲流特征。國內外學者經過大量的實驗研究證明，致密油藏表現出很明顯的啟動壓力梯度和滲透率應力敏感效應［5-6］。

致密油藏在水平井多段壓裂過程中，壓裂裂縫往往沿著最大主應力方向延伸，產生的水力壓裂裂縫也沿著不同方向延伸，導致壓裂裂縫分布極其復雜［7-9］。試井分析方法作為一種地層參數反演的重要手段，選擇合適的模型對于地層參數獲取與油藏評價具有重要的實際意義。

國內外學者建立了許多種多段壓裂水平井試井解釋數學模型［9-17］。盡管這些模型豐富了試井解釋模型庫，提高了地層參數反演準確度，但是沒有考慮應力敏感和啟動壓力梯度的影響，在對低滲致密油藏試井分析時顯得略有不足。在考慮儲層應力敏感影響方面：歐陽偉平等［18］建立了滲透率隨有效應力呈冪率形式變化的多級壓裂水平井三維數值試井解釋模型，利用混合有限元方法對試井解釋模型進行了求解；王歡等［19］考慮縫網特征，建立考慮應力敏感的影響多段壓裂水平井試井解釋模型。在考慮啟動壓力梯度影響方面，姜瑞忠等［20］基于線性流模型，建立了考慮啟動壓力梯度影響的多級壓裂水平井試井解釋模型。

然而，目前關于綜合考慮應力敏感、啟動壓力梯度、不規則裂縫分布的多段壓裂水平井試井解釋模型方面還沒有相關研究。本文在前人研究的基礎上同時考慮了應力敏感、啟動壓力梯度，以及水力壓裂產生的不規則裂縫分布，建立并求解了流體在儲層和壓裂裂縫中流動的試井數學模型，離散壓裂裂縫，并耦合儲層與裂縫模型解，最終求得Laplace空間井底壓力并通過Stehfest數值反演，得到實空間井底壓力與時間關系雙對數曲線，分析了裂縫分布模式、應力敏感系數和啟動壓力梯度等因素對壓力動態特征曲線的影響。

1 物理模型描述

由于儲層條件的復雜性，導致水平井壓裂過程中裂縫沿任意方向延伸，形成不規則裂縫分布。多段壓裂水平井不規則裂縫分布物理模型共有2M條裂縫翼，每條裂縫翼的長度和夾角都不相等（見圖1）。為了求解方便，井筒上方裂縫用奇數編號，井筒下方裂縫用偶數編號。假設儲層由天然裂縫和基質組成，基質裂縫竄流模型用Warren-Root模型描述；水平井位于側向無限大板狀油藏中心；每條壓裂裂縫寬度相等，第i條裂縫與井筒的夾角為θi，且長度為LFi；數學模型建立過程不考慮儲層溫度變化。

圖1 多級壓裂水平井裂縫分布物理模型示意

2 多段壓裂水平井滲流數學模型

2.1 單一裂縫滲流數學模型

考慮儲層應力敏感效應時，滲透率K隨地層壓力p呈冪率形式變化：

根據Pascal給出的啟動壓力梯度滲流表達式，結合式（1）得到同時考慮應力敏感系數γ和啟動壓力梯度λ的裂縫系統滲流速度v：

根據上述無因次變量的定義，可得到無因次滲流微分方程和邊界條件。

裂縫滲流微分方程：

基質滲流微分方程：

初始條件：

頂底封閉邊界：

側向無限大外邊界：

內邊界：

對式（3）—（8）先進行攝動變換，然后再關于 tD進行Laplace變換。攝動變換方程為

變換之后的Laplace空間滲流微分方程：

其中

對式（10）關于zD從0到hD進行傅里葉余弦變換：

其中

式（11）有2個情況下的解：

系數A和B可結合內外邊界條件求得，對方程解進行傅里葉余弦變換，可以得到考慮應力敏感和啟動壓力梯度的頂底封閉、側向外邊界無限大點源解［21］：

其中

為了求得井底壓力解，需要對式（12）給出的點源解沿x和z方向積分，得到第i條壓裂裂縫井底壓力：

式（13）即為經過攝動變換之后考慮啟動壓力梯度的第i條壓裂裂縫均勻流量面源解。

2.2 多段壓裂水平井耦合數學模型

多段壓裂水平井由2M條裂縫組成，總壓降可以表示為

根據Cinco-Ley等［22］的研究，流體在壓裂裂縫中的滲流微分方程解為

將式（13）、（14）代入式（15）可得：

從整體大環境來看，珠三角科技創新的生態系統非常發達，雙創氛圍濃厚，許多高端人才和領軍企業都聚集在粵港澳大灣區。各地企業、中介、高等院校、政府應加強創新資源和要素的運用與共享，發揮各自比較優勢并進行不同形式的協同，大力發展科技中介服務，推動形成穗深港的科學技術優勢與腹地制造業互補互通、交錯發展的產業格局；同時建立更加有效的區域協同發展的新政策、新平臺，提升高科技產業實力，抓住“一帶一路”戰略機遇，依托大灣區的高端制造、金融服務業、消費升級、自貿區政策紅線等優勢激發企業將科技創新成果向現實生產力轉化的潛力。

根據杜哈美原理得到考慮井筒儲集和表皮效應的井底壓力解：

利用Stehfest數值反演對式（18）進行計算得到實空間攝動變化之后的井底壓力解，將式（18）代入式（9）得到同時考慮應力敏感和啟動壓力梯度的多級壓裂水平井不規則裂縫井底壓力解：

3 模型驗證與計算結果分析

3.1 模型驗證

如果γ取值無限小，λ取值為0，本文模型就可以簡化為不考慮應力敏感和啟動壓力梯度的多段壓裂水平井不規則裂縫分布模型。

為了驗證模型的準確性，本文模型和Saphir模型數值解基本參數取值為：λmf=1×10-10，Lh=4 000 m，h=10 m，ω=0.1，rw=0.1 m，Lref=100 m，φ=0.1，μ=1 mPa·s，CFD=20，Ctf+Ctm=1×10-4MPa-1。 需要特別說明的是：本文模型裂縫條數（M=12）是Saphir模型數值解的2倍，本文模型裂縫長度等于Saphir模型數值解裂縫半長（LF=20 m），并且本文模型奇數編號裂縫與井筒夾角為90°，偶數編號裂縫與井筒夾角為270°。本文模型計算結果與Saphir模型計算結果吻合，驗證了本文模型的正確性（見圖2）。

圖2 2種模型驗證對比

3.2 流動階段曲線特征

6種壓裂裂縫分布方式見圖3（紅線表示水平井井筒，灰線表示水力壓裂裂縫），分布2模式下的裂縫性致密油藏多級壓裂水平井壓力動態特征曲線見圖4。模型主要參數：CD=0.000 1，S=0.01，CfD=10，LhD=2 000，λmf=1×10-4，LrefD=40，ω=0.1，M=10。 根據壓力導數曲線特征，井底壓力響應曲線可以分為9個流動階段，每個流動階段流動特征及曲線特征見表1。

圖3 裂縫分布形式示意

圖4 裂縫性致密油藏多級壓裂水平井壓力動態特征曲線

表1 流動階段及壓力導數曲線特征

需要特別說明的是：不考慮儲層應力敏感和啟動壓力梯度影響時，晚期徑向流階段壓力導數曲線呈值為0.5的水平線；考慮儲層應力敏感和啟動壓力梯度影響時，壓力和壓力導數曲線呈不同幅度的上翹。

3.3 裂縫參數的影響

分析圖5b可知：1）和分布1、分布3相比，分布2的早期壓力曲線最低。這是因為，分布2的單井控制面積大，流體流動所需要的壓力消耗小。2）和分布1、分布2相比，分布5的每個裂縫翼相當于一條單一的壓裂裂縫，由于每條壓裂裂縫沿井筒方向位置不同，因此，分布5的早期徑向流階段壓力曲線最低。3）分布4、分布6都降低了壓裂水平井單井控制面積，但是和分布4相比，分布6的裂縫之間的干擾性強，早期階段壓力和壓力導數曲線最高。綜合上述分析，當裂縫交錯分布（即分布2）時，早期線性流及雙線性流階段的壓力曲線最低，改善效果最好。

圖5 裂縫參數對壓力動態特征曲線的影響

3.4 儲層參數的影響

圖6為儲層參數對壓力動態特征曲線的影響。由圖可知：竄流系數越大，基質與天然裂縫之間的壓差就越大，天然裂縫導流性越好，壓力導數曲線“凹子”開始的時間越早；彈性儲容比越小，壓力導數曲線“凹子”越寬、越深，竄流階段之前的壓力和壓力導數曲線越高；應力敏感系數和啟動壓力梯度都會使中后期壓力和壓力導數曲線上翹，γ越大，曲線上翹越明顯，λ越大，壓力和壓力導數曲線上翹時間越早且上翹越明顯。結果表明，在γ和λ雙重作用影響下，壓力和壓力導數曲線上翹程度比單一因素作用更加明顯。

圖6 儲層參數對壓力動態特征曲線的影響

4 結論

1）考慮應力敏感和啟動壓力梯度影響時，裂縫性致密油藏多段壓裂水平井壓力動態曲線表現出9個流動階段；在應力敏感和啟動壓力梯度雙重作用影響下，壓力和壓力導數曲線上翹程度比單一因素作用更加明顯。

2）裂縫參數和儲層參數對壓力動態曲線早期、中期和晚期有很大影響。裂縫呈交錯分布時，壓裂改造效果最好，早期壓力曲線最低。

3）彈性儲容比越大，壓力導數曲線“凹子”越深；竄流系數越大，壓力導數曲線“凹子”越靠右。

5 符號注釋

Ke為原始地層壓力下的滲透率，μm2；pe為原始地層壓力，MPa；μ 為儲層流體黏度，mPa·s；▽p 為壓力梯度，MPa/m；h為儲層厚度，m；qsc為地下生產總流量，m3/d；l為單位長度線流量，m2/d；t為生產時間，d；φ 為孔隙度；Ct為綜合壓縮系數，MPa－1；Lh為水平井長度，m；L為參考長度，m；r為任意位置徑向距離，m；CF為裂縫導流能力，μm2·m；pw為考慮井筒儲集和表皮效應的井底壓力，MPa；pwH為攝動變換后不考慮井筒儲集和表皮效應的井底壓力，MPa；C為井筒儲集系數，m3/MPa；LF為壓裂裂縫長度，m；WF為壓裂裂縫寬度，m；p為任意時刻壓力，MPa；ω為彈性儲容比；λmf為竄流系數；αm為基質塊形狀因子；ε為垂向無窮小長度，m；δ為徑向無窮小長度，m；s為 Laplace 變量；fD0為攝動變換取零階的中間變量；k為階數；n為累加系列數；τ為積分變量；K0（x），I0（x）分別為零階第二類、零階第一類修正貝塞爾函數；xw，yw，zw分別為 x，y，z在點源三軸坐標系上的對應坐標；下標ζ代表m，f，F，分別表示基質、天然裂縫、壓裂裂縫；下標D表示無因次。