氣流作用下漏斗下方輕質球的運動特性研究

姚莉莎，李永宏，齊 凱，朱洪龍

(運城學院 物理與電子工程系,山西 運城 044000)

2019年IYPT(國際青年物理學家錦標賽)第4題，“通過向漏斗中吹氣，一個輕質小球(如乒乓球)可以被拾起。解釋此現象并探究相關的參數”。本人作為參賽者有幸加了該競賽的省賽，組織參與了該題目的整個過程，對該題目有了進一步的認知。該題目主要研究氣流作用下漏斗下方輕質球的運動特性，關于漏斗中球狀物運動特性曾被中學物理的相關研究者的關注[1,2]，但相關參數影響的分析較少。通過COMSOL模擬確定漏斗的負壓區，并且分析得出影響輕質球被抬起的影響因素。利用MATLAB繪制出臨界風速與變量之間的關系。從理論和實驗對漏斗下方輕質球在氣流作用下的運動特性進行分析研究。

1 理論分析

1.1 基本理論分析

如圖1所示，箭頭方向即為氣流運動的方向,假設漏斗咀口處的橫截面積為s1，輕質小球負壓區的橫截面積為s2，氣流通過漏斗咀口處時的流速為v1。在理想狀態下將氣流的運動近似看作為流體在不同橫截面的管道中的運動。因此根據連續性方程[3]

圖1 漏斗與球截面圖

s1v1=s2v2

(1)

得到橫截面與流速的關系并再通過幾何計算的方法可以得到氣流橫截面積為

(2)

根據流量與流速計算公式[3]

Q=sv

(3)

可得輕質小球與漏斗壁間隙氣體流速[4]

(4)

將輕質球下表面最低點所在水平面定義為h=0，以得到輕質小球上下表面的氣體重力勢能差為[5]：

ΔE=ρ(sinα+1)Rg

(5)

根據伯努利方程(理想流體在重力場中作穩定流動時)，能量守恒定律在流體中的表現形式：

(6)

得輕質小球上下表面壓強差為

(7)

1.2 COMSOL模擬分析

負壓區的定義為輕質球受到的壓強最大點到壓強最小點之間的區域即小球上表面區域的范圍稱作為負壓區。如圖2所示，圖中顏色不同代表流經漏斗咀口氣流流速不同，其中藍色代表流速最慢位置，按圖示顏色變化流速依次加快，紅色則表示為流速最快的區域位置。圖2為漏斗及漏斗下方輕質小球的截面圖，半圓弧表示輕質小球的截面其余位置為漏斗的截面圖。如圖3所示，圖中顏色不同代表輕質小球所受壓力不同，其中藍色區域表示輕質小球所受壓力最小區域，隨著顏色的變化輕質小球所受壓力逐漸增大而紅色區域表示輕質小球所受壓力最大區域。對比發現輕質小球與漏斗咀口間距處流速最快，輕質小球所受的壓強最小。

m

圖3 COMSOL模擬氣壓圖

根據COMSOL模擬發現壓強的豎直分量對輕質小球整體的作用可以近似看作其對負壓區的作用。因此研究負壓區的作用效果即可以看作是研究壓強的豎直分量對輕質小球整體的作用。在實驗分析過程中采用研究負壓區的作用的方法研究整個輕質小球的受力作用。

如圖4所示，球冠表面積S為

圖4 球冠面積示意圖

(8)

輕質小球上方空氣流速為

(9)

則球負壓區上方球冠受到氣流向下的沖擊力可表示為：

(10)

1.3 主要影響因素

如圖5為輕質球受力示意圖，根據COMSOL瞬態模擬確定輕質球所受升力為

圖5 輕質小球受力示意圖

F升=ΔP·S-F沖

(11)

輕質球達到臨界狀態時受力分析結果為：

mg=F升

(12)

定義輕質球恰好能被抬起時的最小風速為臨界風速。因此在其他變量保持一定時，臨界風速與輕質小球的質量呈正相關關系。

對原輕質小球(如圖6中的黑色圓形)輕質小球球心到漏斗壁的垂直距離為：

圖6 輕質球球心在不同情況下到漏斗壁垂直距離示意圖

L=(R+K)sinα-R

(15)

對半徑增大ΔR的輕質小球，該輕質小球的球心到漏斗壁的垂直距離為：

L′=(R+ΔR+K)sinα-(R+ΔR)=L+ΔR(sinα-1)

(16)

因為sinα<1則ΔR(sinα-1)<0因此L′L(如圖6)，當漏斗壁傾斜角α減小時，輕質小球球心到漏斗壁的垂直距離L將減小。因此可以得到當改變漏斗傾角與改變小球直徑時所產生的影響相同。

根據上述的理論分析以及理論公式得推導解讀可得到相應的結論，第一：在其他變量一定時，臨界風速與輕質小球的質量呈正相關關系。第二：在其他變量一定時，臨界風速與輕質小球頂端距漏斗咀口間距離呈正相關關系。第三：在其他變量一定時臨界風速與輕質小球的半徑呈負相關關系。

2 實驗設計及數據分析

2.1 實驗設計

如圖7所示，將漏斗固定在鐵架臺上，首先在漏斗的正下方放置一個盛放有輕質小球的輕質小球支架，以保證輕質小球可以平穩不自由滾動。然后將風槍放置于漏斗上口徑處，使得氣流可以均勻鼓入漏斗內部，選取不同高度放置漏斗，在測量高度時使用激光器將激光投射于與鐵架臺一樣垂直放置的坐標紙上來確定輕質小球頂部與漏斗咀口間的間距，確保測量位置的準確性，最后用硬度較大不易變形的橡膠管連接風槍與800 W空氣壓縮機，打開空氣壓縮機，由風槍將空氣鼓入漏斗中，當輕質小球恰好被抬起時使用數字風速儀測量此時的風速大小并記錄數據，此時的風速即為輕質小球恰好被抬起的臨界風速，在記錄數據時采用多次測量求平均值的方法進行記錄，然后將記錄好的實驗數據使用MATLAB繪制成圖線，如果遇到誤差較大的數據將反復多次進行實驗測量，確保數據的準確性，也進一步排除外界環境對實驗的影響。最后通過分析圖線得出相關臨界風速與影響輕質球被抬起的相關參數的線性關系。

圖7 器材搭建實物圖

2.2 數據分析

(1)臨界風速與小球質量的關系.

表1為不同質量下，輕質球的臨界風速。圖8為輕質球質量與臨界風速關系曲線圖。通過對數據擬合圖線分析可以得到小球質量與臨界風速的關系式為：y=-0.79x2-4.44x+17.77：從圖8可以看出，輕質球恰好被抬起時的臨界風速隨輕質球質量的增加而增大。

表1 輕質球質量對臨界風速的影響

圖8 輕質球質量與臨界風速關系曲線圖

(2)臨界風速與小球頂端距漏斗咀口距離的關系

表2為不同輕質球距漏斗咀口間距下，輕質球的臨界風速。圖9輕質球到漏斗咀口間距與臨界風速關系曲線圖。

圖9 輕質球到漏斗咀口間距與臨界風速關系曲線圖

表2 輕質球距漏斗咀口間距對臨界風速的影響

通過對數據擬合圖線分析可以得到輕質球距漏斗咀口間距與臨界風速的關系式為：y=-0.79x2-4.44x+17.77，可以看出，輕質球恰好被抬起時的臨界風速隨輕質球到漏斗咀口間距的增加而增大。

(3)臨界風速與小球直徑的關系

表3為不同輕質球直徑下，輕質球的臨界風速。圖10輕質球直徑與臨界風速關系曲線圖。通過對數據擬合圖線分析可以得到輕質球距漏斗咀口間距與臨界風速的關系式為：y=-0.13x3+6.29x2-53.09x+140.78，可以看出，輕質球恰好被抬起時的臨界風速隨輕質球直徑的增加而減小。

表3 輕質球直徑對臨界風速的影響

D/cm

4 結 語

針對2019年IYPT(國際青年物理學家錦標賽)第4題，通過理論分析、模擬仿真以及設計實驗對漏斗下方輕質球在氣流作用下的運動特性進行分析研究。研究確定了壓力差的產生、負壓區的位置和輕質球被抬起的影響因素。通過實驗數據分析擬合得出輕質球被抬起的臨界風速(y)與輕質球直徑(x)的關系為：y=-0.13x3+6.29x2-53.09x+140.78，擬合曲線圖顯示輕質球恰好被抬起的臨界風速隨輕質球直徑的增大而減小；臨界風速(y)與輕質球距漏斗咀口間距(x)呈指數關系：y=3.19e0.33x，曲線圖顯示輕質球恰好被抬起時的臨界風速隨輕質球到漏斗咀口間距的增加而增大；臨界風速(y)與輕質球質量(x)的關系為y=-0.79x2-4.44x+17.77，曲線圖顯示輕質球恰好被抬起的臨界風速隨輕質球質量的增加而增大。