混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應截面的解析計算*

陳學文， 張家偉， 方禎云

1. 重慶科技學院 數理與大數據學院， 重慶 401331； 2. 重慶大學 物理學院， 重慶 400030

電弱統一標準模型(the electroweak standard model， SM)是20世紀粒子物理學中頗具影響的唯象理論之一， 在描述電磁與弱相互作用中取得了巨大成功， 被標準模型預言的基本粒子都已經得到了實驗數據的支持與驗證， 尤其是2012年人們用大型強子對撞機發現了標準模型預言的Higgs玻色子． 自標準模型提出以來， 國際上出現許多相關理論研究工作， 其中涉及“精確”檢驗標準模型的理論計算工作一直備受學術界關注， 而這些理論計算工作本身也對標準模型理論的發展起到了十分重要的推動作用．

e+e-→W+W-反應可以精確確定W±玻色子的質量， 許多物理學家在理論上從不同側面對e+e-→W+W-反應做過研究． Lemoine M等人[1-5]曾討論過e+e-→W+W-過程電弱修正和軟光子修正； Beenakker W等人[6-8]針對特定的極化態計算了硬光子韌致輻射修正； Hagiwara K等人[9-10]基于最小超對稱模型討論了e+e-→W+W-過程； Aeppli A等人[11]初步討論了e+e-→W+W-→4fermions過程， 實驗上， LEP實驗組也對此過程做過觀測．

現有研究工作大多從有限高階圈圖角度研究e+e-→W+W-過程反應截面， 并未涉及無窮高階修正． 相對于已有的研究工作， 本研究將從另一角度——即考慮混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應截面的解析計算． 在SM理論框架下討論e+e-→W+W-反應， 相應的傳播子為光子γ， 中間玻色子Z和電子中微子νe． 此外， 由于γ和Z參與多種不同物理過程的電弱相互作用， 因而若要考慮由γ和Z以及它們之間的混合圈構成的混合鏈圖傳播子， 其構架問題將十分復雜． 本研究首先分析了SM中γ-Z混合鏈圖傳播子的構架方式， 通過對各圈圖傳播子重新歸類和組合， 得到了相應的鏈圖傳播子的解析表達式， 再通過在殼重整化方案中引入抵消項， 從而獲得重整化鏈混合鏈圖傳播子的嚴格解析結果． 同樣本研究還給出了電子中微子鏈圖傳播子的嚴格解析結果． 進而， 本研究將此結果應用到粒子反應e+e-→W+W-中， 獲得了在重整化鏈圖傳播子傳遞電弱作用時e+e-→W+W-的反應截面． 最后， 結合CEPC實驗， 討論了在W+W-產生能量閾值附近W玻色子質量不確定度對反應截面的影響， 并討論了在CEPC對撞能區可產生的W+W-事例數．

1 γ-Z和中微子重整化混合鏈圖傳播子的解析結果

圖1 SM中的展開方式

從圖1可以看出， γ混合鏈圖傳播子可以展開成樹圖、 一圈圖、 兩圈圖……以至無窮圈圖， 且每個圈圖又參與多種不同物理過程的相互作用． 將圖1中的所有圖形重新排列， 可以將它們重新歸類． 將只含有γ參與相互作用的所有圈圖歸為第1類：

(1)

將含有“2個”γ-Z混合圈圖(其中： γ-Z圈和Z-γ且對等出現)的所有圖形歸為第2類：

(2)

以此類推， 便可以表示出含有“4個”γ-Z混合圈圖， 含有“6個”γ-Z混合圈圖……的圖形表示出來． 最后作者可將γ混合鏈圖傳播子表示成圖2．

圖2 SM中的構架方式

(3)

其中：

(4)

(5)

(6)

(7)

(5)-(7)式中各自能圈圖均為發散量． 通過在殼重整化方案引入相應的抵消項

(8)

(9)

(10)

在SM中， 電子中微子參與3種不同物理過程的相互作用． 相對于其樹圖階傳播子Sν(p)=ip/p2， 類似于對γ， Z鏈圖傳播子的處理， 可將中微子重整化混合鏈圖傳播子表示成

(11)

(12)

(13)

圖3 γ，Z子混合鏈圖傳播子對樹圖傳播子相對修正

圖4 中微子鏈圖傳播子對樹圖傳播子的相對修正隨傳播子能量p的變化

2 混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應截面

將所獲得混合鏈圖傳播子應用到e+e-→W+W-反應中． 樹圖階e+e-→W+W-反應過程的Feynman圖見圖5． 若考慮混合鏈圖傳播子修正， 相應的Feynman圖見圖6．

圖5 樹圖階e+e-→W+W-反應Feynman圖

圖6 混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應Feynman圖

在質心系中， Mandelstam變量定義為

(14)

式中，p±表示入射正負電子的動量，k±表示出射W±的動量． 在忽略電子質量情況下， 最低階微分截面可以表示成[17]

(15)

其中， 不變矩陣元M0為

(16)

Vμνλ(-k+， -k-，k++k-)=(k++2k-)νgλμ+(k+-k-)λgμν-(2k++k-)μgνλ

(17)

相應的混合鏈圖傳播子修正下的微分截面可表示為

(18)

其中， 不變矩陣元MC為

(19)

3 數值結果

圖7 e+e- →W+W-微分截面隨散射角θ的變化

圖8 能量閾值附近mW對e+e- →W+W-總截面的影響

從(15)和(18)式可以看出， 當質心能量達到產生W玻色子對閾值時， 隨著質心能量的增加， 總截面會相應增加； 由于總截面與質心能量平方成反比， 因而當總截面達到峰值后又隨著質心能量的增加而減小． 圖9給出了樹圖階、 傳播子圈圖修正和混合鏈圖傳播子修正下的總截面隨質心能量的變化． 從圖9中可以看出： ① 在2mW到250 GeV質心能量范圍內， 混合鏈圖傳播子修正下的總截面σ(HCP)對樹圖階總截面σ0約有1%到2%的壓低效應， 而σ(HCP)與圈圖修正下的總截面σ(loop)結果很接近； ② 在質心能量為195 GeV時， 總截面最大， 之后總截面隨質心能量的增加緩慢減小； ③ 在對撞能量為240 GeV處， 總截面與峰值相比減小12.75%， 因而CEPC無需將對撞能量調到195 GeV， 可直接在240 GeV對撞能區對W玻色子進行精確測量．

圖9 e+e- →W+W-總截面隨質心能量的變化

CEPC將作為Z-工廠(質心能量～91.2 GeV)運行2年； 在W+W-閾值附近(158～172 GeV)運行1年， 設計對撞亮度為10×1034cm-2s-2； 作為Higgs工廠(240 GeV)運行7年， 設計對撞亮度為3×1034cm-2s-2[18]． 表1給出了在不同質心能量下的總截面． 在W+W-能量閾值附近， 若取161 GeV作為參考， 總截面約為2.6 pb， 則在CEPC上W+W-產生閾值附近運行一年可產生～8×107個事例數； 而在240 GeV對撞能區可產生～108個事例數． 這可為精確測量W玻色子的質量提供數據保障．

表1 不同質心能量下e+e-→W+W-反應總截面

4 結 論

本研究首先在標準模型理論框架下討論了γ，Z，νe混合鏈圖傳播子的構架方式， 并獲得了相應的重整化混合鏈圖傳播子的嚴格解析結果． 進而， 采用“混合鏈圖傳播子修正下的反應截面”這種計算模式， 討論了混合鏈圖傳播子修正下的e+e-→W+W-反應截面， 獲得了相應的解析結果和數值結果． 最后， 結合CEPC對撞亮度和運行時間， 討論了CEPC在W+W-閾值附近和240 GeV兩個對撞能區可產生W+W-的事例數．