高中數學解題中變量代換法的應用研究

■福建省龍巖北大附屬實驗學校 鄒小明

變量代換法是一種非常有效的解題方法，尤其是處理一些結構復雜、變元較多的數學問題時效果明顯。合理代換能簡化題目信息，凸顯隱性條件，溝通量與量之間的關系，對發現解題思路和優化解題過程有著至關重要的作用。在高中數學解題教學中，教師可引領學生采用變量代換法，使其引入一些新的變量進行代換，幫助他們簡化題目結構，提高解題技能。

一、運用三角變量代換法，幫助學生形成清晰的解題思路

三角變量代換法即為利用三角函數的性質，把代數或者幾何問題轉化為三角函數問題，以此尋求題目突破口的一種高效解題方法，而三角變量代換的實質就是換元思想的具體表現。高中數學教師在解題環節，可引導學生科學運用三角變量代換法降低題目的難度，使其形成清晰的解題思路，找準解題的關鍵點，讓他們的解題步驟變得更加明朗。

比如，在實施“三角函數”教學時，教師設置以下題目：求函數的值域。解析：學生在處理該道題目時，通常思路為移向、平方、化簡、再平方，過程比較復雜、不易解決，還容易出現錯誤。假如他們把原題轉化成一個三角函數問題，運用三角變量代換法來求解，將會變得容易一些。解答：根據題目信息得知 x-4≥0 和 15-3x≥0 同時成立，將它們兩個聯立起來成為一個不等式組，解得4≤x≤5，觀察x的解集，令x＝4+sin2θ，（0≤θ≤π/2），則y＝因為0≤θ≤π/2，所以θ+π/3∈[π/3，5π/6]，那么當θ＝π/2時，y有最小值1，當θ＝π/6時，y有最大值2，則y的值域是[1，2]。

二、采用函數變量代換法，真正達到化繁為簡的目的

函數在整個數學知識體系中的重要性不言而喻，貫穿于初中與高中。其中初中階段學習基本的函數知識，如正反比例函數、一次函數與二次函數等，步入高中階段后，對函數概念進行重新升級，學生能接觸到指數函數、對數函數、冪函數、函數與方程等知識。在高中數學解題教學環節，教師可引領學生采用函數變量代換法解決函數問題，通過代換把復雜的數學式子變得簡單化，使其快速求出函數值，解決難點，還能用以處理一些復雜的函數證明題。

在這里，以“函數”教學為例，教師設計以下例題：已知f（x）是奇函數，x∈R，且f（x-2）＝-f（x），f（1）＝-1，（1）證明f（x+2）＝f（x-2）；（2）求f（2001）的值。解析：（1）像這樣的證明題可采用函數變量代換法，根據題目信息f（x-2）＝-f（x），得出f（x）＝-f（x-2），此時把x 轉變成x+2，把其帶入式子f（x）＝-f（x-2），就能輕松求出 f（x+2）＝-f（x），又因為 f（x-2）＝-f（x），所以f（x+2）＝f（x-2）；（2）可以使用（1）的結論來解題，采用變量代換法把x 換成x-2 重新帶入式子，能夠得到f（x-2+2）＝f（x-2-2），即為f（x）＝f（x-4），那么 f（2001）＝f（1997）＝……＝f（1）＝-1。這樣解題不僅省時省力，而且正確率也比較高。

三、使用導數變量代換法，輔助學生解決復雜問題

在高中數學導數解題教學環節，列出導數表達式是解題的關鍵和核心所在，不過在實際解題中，由于受到多個方面因素的影響，學生難以順利寫出表達式。這時，教師可使用變量代換法，幫助他們處理復雜的導數問題，順利列出導數表達式，使其解題能力得到鍛煉與改善。

在展開“導數在研究函數中的應用”教學時，教師出示題目：已知函數f（x）＝ax3-3x2，a∈R，如果在x∈（0，2]上，g（x）＝exf（x）是單調減函數，那么a的取值范圍是什么？解析：根據題目中的已知條件對g（x）展開求導，又因為ex＞0，原式能夠轉化成ax3-3x2+3ax2-6x≤0在給定區間內恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立，這時采用h（x）代換成后再研究。接著，對h（x）進行求導，在給定的區間內h（x）是單調減函數，可以輕松求出該函數的最小值是h（2）＝6/5，所以a的取值范圍為（-∞，6/5]。

四、利用不等式的變量代換法，促使學生簡化計算過程

變量代換法，顧名思義是通過變量來進行代換，把復雜的數學問題加以轉化，目的是便于求解，應用范圍相當廣泛，涉及證明計算、化簡求值等各類題目。在處理不等式問題時同樣能應用變量代換法，讓學生簡化計算過程，實現化難為易、化繁為簡的效果。

在“不等式”教學中，教師可以呈現題目：已知m＞1，n＞1，p＞1，證 明解析：這是一道典型的不等式證明題，通過觀察、分析發現，如果直接展開證明難度較大，這就要把題目中復雜的信息通過變量代換法轉變成簡單的式子，再采用均值不等式慢慢解決。

五、結語

綜上所述，在高中數學解題教學中，教師要意識到變量代換法是一種既常用又高效的解題方法，可以利用它指導學生處理一些難度較大、復雜多變的數學問題，幫助他們掌握變量代換法的精髓，使其靈活自如地處理題目，做到游刃有余和得心應手，逐步提高數學解題水平。