基于翻轉(zhuǎn)課堂的比例模型教學(xué)設(shè)計(jì)探究

白 潔

遼寧大學(xué) 遼寧 沈陽(yáng) 110036

基于翻轉(zhuǎn)課堂的比例模型教學(xué)設(shè)計(jì)主要從教學(xué)方案、教學(xué)過(guò)程和教學(xué)效果與未來(lái)展望三個(gè)部分展開(kāi)。

一、利用比例性建模的教學(xué)方案

采用“以問(wèn)題為導(dǎo)向,以趣味為動(dòng)力”的教學(xué)理念來(lái)組織利用比例性建模的教學(xué)。具體來(lái)講：

1.教學(xué)目的。利用比例性進(jìn)行建模的教學(xué)目的是：(1)掌握比例性概念和幾何解釋,理解比例性的關(guān)鍵是直線必須通過(guò)原點(diǎn)；(2)建立比例模型,并化簡(jiǎn)求解；(3)將理論結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)；(4)探索模型的應(yīng)用和推廣。

2.教學(xué)方法和模式。基于翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方法,采用線上線下混合教學(xué)模式,通過(guò)課前準(zhǔn)備、課中講授、課后反饋的教學(xué)過(guò)程,達(dá)到“興趣驅(qū)動(dòng)探索”的教學(xué)效果。

3.教學(xué)內(nèi)容。利用雨課堂課件講解比例性概念和比例性的幾何解釋[1]。然后課堂舉例講解比例性模型的建模過(guò)程。最后反饋教學(xué)效果并展望未來(lái)。

二、利用比例性建模的教學(xué)過(guò)程

本節(jié)課教學(xué)過(guò)程包括三個(gè)部分：課前預(yù)習(xí),課中講解,課后反饋。具體來(lái)講：

1.課前預(yù)習(xí)：在授課時(shí)間前一天將比例性性概念、幾何解釋和四個(gè)模型以課件的形式提交到雨課堂平臺(tái),其中四個(gè)模型包括雨滴的終極速度,“駭鳥(niǎo)”尺寸的建模,劃艇比賽的成績(jī),評(píng)選舉重總冠軍。

2.課中講授：

(1)首先解答學(xué)生的疑問(wèn)。

(2)然后指出歷史上著名的比例性：虎克定律,牛頓定律,歐姆定律,波義耳定律,愛(ài)因斯坦相對(duì)論,開(kāi)普勒第三定律[1]。

(3)最后以問(wèn)題為導(dǎo)向,用趣味性帶動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索,通過(guò)七個(gè)模型的講解來(lái)拓展學(xué)生建模視野。

利用體積、面積和特征尺寸的比例關(guān)系建模原理：對(duì)事物的任何特征量l都有S∝l2,V∝l3,能夠得到S∝V2/3,其中S,V分別表示事物表面積和體積。因?yàn)橘|(zhì)量m與體積成正比,由比例性的傳遞規(guī)則有S∝m2/3.

模型延伸1啟發(fā)學(xué)生利用雨滴終極速度模型來(lái)解釋為什么可以通過(guò)雨滴落在身上的感覺(jué)來(lái)判斷大雨還是小雨。經(jīng)過(guò)短暫思考,有學(xué)生回答由動(dòng)量守恒定律：mv=Ft,如果是小雨,則雨滴質(zhì)量m比較小,雨滴終極速度v較小,而雨滴打到人身上的時(shí)間t固定,所以雨滴對(duì)人的作用力F會(huì)比較小,感覺(jué)雨滴比較輕。大雨相反。

模型延伸2[1]已知3英尺高20磅重的火烈鳥(niǎo)腿長(zhǎng)2英尺,根據(jù)“駭鳥(niǎo)”尺寸模型,對(duì)100磅的火烈鳥(niǎo)的高度和腿長(zhǎng)進(jìn)行建模。

解答：如果把腿長(zhǎng)作為特征量,由 W=kl3,當(dāng)腿長(zhǎng)為2英尺,k=20/8=2.5,則100磅火烈鳥(niǎo)腿長(zhǎng)英尺；如果把高度作為特征量,由W=kl3,當(dāng)高度為3英尺,k=20/27=0.7407,則100磅火烈鳥(niǎo)腿長(zhǎng)英尺。

模型延伸3[2]建模說(shuō)明八人艇重量級(jí)組(86kg)比輕量級(jí)組(73kg)成績(jī)大約好5%。

解答：因?yàn)閯潣β蕄與漿手體重w成正比,而n=8不變,則原模型中的v∝(n/S)1/3變?yōu)関∝(w/S)1/3.所以重量級(jí)組速度vz∝(wz/Sz)1/3,輕量級(jí)組速度vq∝(wq/Sq)1/3,且比賽需用時(shí)間tz/tq=vq/vz=(wq/wz)1/3(Sz/Sq)1/3,資料顯示Sz/Sq不超過(guò)1.05,代入wz=86,wq=73,可以得到tz/tq≈0.96。

例1[2].超市購(gòu)物時(shí)選大包裝的合理性。

模型建立 生產(chǎn)成本主要與質(zhì)量w成正比,包裝成本主要與包裝表面積S成正比,則商品價(jià)格P=aw+bw2/3+c,其中c表示價(jià)格中與質(zhì)量和表面積無(wú)關(guān)的成分,且a＞0,b＞0,c＞0.單位質(zhì)量?jī)r(jià)格p=P/w=a+bw-1/3+cw-1.

模型解釋 因?yàn)閜'=(-1/3)bw-4/3-cw-2小于0,則p是w的減函數(shù),說(shuō)明大包裝比小包裝商品便宜；p''=(4/9)bw-7/3+2cw-3大于0,則曲線是向上凹的,說(shuō)明隨著包裝的變大單價(jià)的減少量是逐漸下降的。所以購(gòu)買大包裝商品適可而止,不能過(guò)度追求。

例2[2].利用魚(yú)的長(zhǎng)度估計(jì)魚(yú)的質(zhì)量。

模型假設(shè) 同一種魚(yú)的整體形狀是相似的,密度大體相同。

模型構(gòu)成 質(zhì)量與身長(zhǎng)的立方成正比,即m=k1l3.

模型改進(jìn) 假定魚(yú)的橫截面是相似的,則m=k2d2l,其中d表示魚(yú)身最大周長(zhǎng)。

模型檢驗(yàn) 利用實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)k1和k2,將模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,兩個(gè)模型結(jié)果都比較滿意[3]。

例3[4].汽車剎車距離：判斷“2秒準(zhǔn)則”的合理性。

模型假設(shè) (1)剎車距離d=反應(yīng)距離d1+制動(dòng)距離d2；(2)d1=vt1,其中v表示車速,t1表示反應(yīng)時(shí)間；(3)Fd2=mv2/2,F∝m,其中F表示剎車最大制動(dòng)力,m表示汽車質(zhì)量。

模型建立 由牛頓第二定律和假設(shè)(3)可知,d2=kv2,其中k為比例系數(shù),且k=1/2a.由假設(shè)(1)和(2),d=vt1+kv2.對(duì)于t1,利用經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值0.75秒；對(duì)于k,利用數(shù)據(jù)擬合得到k=0.0256,則d=0.75v+0.0256v2.根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果,與實(shí)際吻合較好[4]。

模型應(yīng)用 通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),車速為0～10英里/小時(shí),t為1秒；車速為10～40英里/小時(shí),t為2秒；車速為40～60英里/小時(shí),t為3秒；車速為60～80英里/小時(shí),t為4秒,其中t表示后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù)t秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志。所以“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)該修正為“t秒準(zhǔn)則”。

例4[1].描述汽車速率和燃油里程之間的關(guān)系。

模型假設(shè) 汽車以常速v行駛；燃油轉(zhuǎn)換成能量的比例K不變；功率轉(zhuǎn)換率不變；限制垂直于汽車運(yùn)動(dòng)方向的汽車橫截面積S相同。

模型構(gòu)成 首先單位時(shí)間燃燒掉的燃油的量記為Cr,由該車可利用功率與燃油轉(zhuǎn)換功率成比例,有F∝CrK/v∝Cr/v,其中F表示汽車推進(jìn)力。在高速公路上,常用的設(shè)計(jì)是阻力f∝Sv2,則f∝v2.由牛頓第二定律,F=f,得到Cr∝v3.定義燃油里程=距離vt/油耗Crt,所以有燃油里程∝v-2.

模型解釋 汽油里程和速度的平方成反比。本模型對(duì)很多變化因素做了不變制約,而且是在限制速率的范圍里的定性解釋,具有很大的局限性。

3.課后反饋：留一個(gè)比例模型作為練習(xí),通過(guò)雨課堂平臺(tái)與學(xué)生進(jìn)行交流。

三、利用比例性建模的教學(xué)效果與未來(lái)展望

基于翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方法和線上線下混合教學(xué)模式進(jìn)行的比例模型教學(xué)設(shè)計(jì),能夠?qū)崿F(xiàn)“以學(xué)生為主體”,利用問(wèn)題的趣味性帶動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索和建模,達(dá)到了很好的教學(xué)效果。

未來(lái)展望是融入更多的利用比例性建模的競(jìng)賽題,進(jìn)一步拓展建模視野。