極化碼四階核矩陣的構造

馬奎明，李秀麗

(青島科技大學 數理學院，山東 青島 266061)

極化碼是近年來備受關注的一種糾錯碼，是通過信道極化(channel polarization)，在編碼側使子信道呈現出不同的可靠性，當碼長N持續增長時，部分信道將趨向于容量近于1的完美信道，另一部分信道趨向于容量接近于0的純噪信道的新型編碼方式。

極化碼在理論上可用于任何具有低復雜度[1]的對稱二進制離散無記憶信道，是目前唯一被嚴格證明能夠達到信道容量的編碼方式，與其他傳統編碼有較為明顯的區別，可用于證明許多理論問題， 在無線通信中有廣泛應用。

1 預備知識

記W:X→Y表示一般的二進制輸入離散無記憶信道，其中X表示輸入字符的集合，Y表示輸出字符的集合。

定義1：如果存在一個置換π:Y→Y，對所有的y∈Y都有π(y)=π-1(y)且W(y|1)=W(π(y)|0)，那么稱這個二進制輸入離散無記憶信道(B-DMC)W:{0,1}→Y是對稱的。如果對任意y∈Y有W(y|0)W(y|1)=0或W(y|0)=W(y|1)，那么稱其為二進制刪除信道(BEC)[5]。

對極化碼的研究，還需要兩個重要的信道參數：

對稱容量：

巴氏參數：

這些參數分別被用作信道傳輸速率和傳輸可靠性的度量。I(W)是等概率情況下在信道W之間進行可靠通信的最高速率。Z(W)是信道W僅用于傳輸0或1時的最大似然決策下錯誤概率的上界。在上述公式中，均使用以2為底的對數，因此I(W)和Z(W)都取值于[0,1]。

其中，i=0,1,…,-1，且令Z(i)表示巴氏參數：

定義3[3]：對任意0

E(G)也稱為矩陣G的指數。

指數的定義為極化碼提供了在串行相消譯碼策略[7]下一個有意義的性能度量。事實上，指數與信道無關。指數E(G)也可以表示為W的距離的函數。

定義4[3]給定×階矩陣偏序距離Di(i=1,2,…,)為

其中dH(…,…)表示漢明距離；是由gi+1,…,g生成的空間。

2 核矩陣的選擇

在這一部分，主要討論四階核矩陣，換句話說極化碼塊長度為N=4n。

令W:{0,1}→Y是二進制輸入離散無記憶信道，G是一個4×4階核矩陣。給定4個二進制輸入信道W(i):{0,1}→Y4×{0,1}i(i=0,1,2,3)如下：

Arikan[1]的研究表明對核矩陣G會有多種選擇。顯然，不同的核矩陣會導致不同的性能，因此有必要尋找一種策略來設計一個適合的有限塊長度的G。對于任意的核矩陣都有一些通用的策略[8]，我們首先討論如何從所有可能的核矩陣中選擇一個好的。

2.1 極化率

Arikan[1]認為，矩陣G的指數越大，實現信道極化的程度越徹底，性能越好。因此，如果想找到塊長度為N=4n時的最佳極化碼，那么就需要找到指數最大的核矩陣。根據Arikan做的工作，當≤10時，不存在指數大于的矩陣。事實上，我們可以找到指數等于的四階核矩陣。

證明首先考慮m=4的情況，這意味著最后一行的所有項都是1。xi是u0,u1,u2,u3的函數，因此用gi((u0,u1,u2,u3)G)[9]來表示W(yi|xi),i=0,1,2,3。那么

根據遞歸結構，有

這里⊕是模2的和。這個方程可以通過一個簡單的例子來驗證，例如N=4。

證明：

顯然成立，證畢。

根據遞歸結構，有

如果W是BEC，等式成立。

證明：首先，給出對遞歸信道表達式有用的方程。

下面，使用不等式

當abcd=0或a=d或b=c時，等號成立。

=4Z(W)2-4Z(W)3+Z(W)4,

+(β0δ0+β1δ1+β1δ0+β0δ1)

+(β0δ0+β1δ1+β1δ0+β0δ1)

=4Z(W)-2Z(W)2。

3 結語

Arikan引入的核矩陣G2是唯一的，然而塊長度為N=4n的極化碼對G4有多種選擇，因此其提供了很大的靈活性，但問題是如何找到一種策略來設計一個好的G4。當然，對齊為任意整數，且≥3所有G，都具有這樣的特性。但是隨著的增大，這個問題就越來越難解決了。因此我們關注最簡單的情況，并提出從所有可能的G4中選擇一個好的G4的策略。該策略基于的遞歸公式，因為這些公式直接決定了性能。然而，有些遞歸公式只提供了上限，而不是確切的值，如果信道W不是BEC，那么我們所做的只是一些近似的分析。