基于離散模型的柔性直流電網短路電流計算方法

辛業春，王 拓，李國慶，江守其，王威儒

（東北電力大學電氣工程學院，吉林 132012）

隨著可再生能源的持續發展及現有電網技術升級等方面的需求，柔性直流電網擁有非常廣闊的應用前景[1]。目前，模塊化多電平換流器MMC（modu?lar multilevel converter）因其具有的優點成為國內外柔性直流輸電工程應用的主流發展方向[2]。然而，基于MMC的柔性直流電網面臨一些需要解決的關鍵技術[3]，如直流故障的快速檢測與隔離技術、直流電網潮流控制技術等。基于MMC的直流電網故障隔離技術，存在2條技術路線：①采用具有故障自清除能力的子模塊[4]或故障轉移型換流器[5]；②采用直流斷路器[6]。為了系統的設備選型和保護整定，需要準確計算柔性直流電網故障后的短路電流。

國內外研究機構和學者在直流電網故障分量計算方法方面開展了大量研究。文獻[7]分析了MMC直流雙極短路故障機制，建立了換流器閉鎖前和閉鎖后單相等值電路，推導了故障電流應力解析方程；文獻[8]研究了雙極MMC直流短路的故障特性，建立了換流器閉鎖前和閉鎖后三相等值電路，推導了故障電流的解析計算公式；文獻[9]對比分析了單極和雙極柔性直流系統直流短路的故障機理，推導了2種拓撲結構的故障電流解析計算公式；文獻[10]分析了MMC直流側短路故障時交流系統對直流線路故障電流的影響。文獻[7-10]分別研究了雙端柔性直流系統短路電流計算問題。隨著柔性直流電網的發展，直流電網的短路電流計算變得更加重要。文獻[11]分析了四端直流電網的直流短路故障特性，推導了不計及遠端換流站作用的柔性直流電網故障電流解析計算公式；文獻[12-13]分別針對多端單極柔性直流電網單極接地短路故障和極間短路故障，提出了基于狀態方程的短路電流計算方法；文獻[14]針對多端雙極柔性直流電網直流短路故障，提出了基于狀態方程的短路電流計算方法；文獻[15]分析了直流電網的故障特性，提出穩態分量和故障分量疊加的短路電流計算方法。目前，直流電網故障分量計算方法主要集中在建立微分方程組或復頻域方程的暫態電路模型上，隨著柔性直流網絡規模擴大，微分方程組的降階求解或復頻域轉換將變得困難。

針對直流網絡故障電氣分量數值求解計算的難題，本文在直流短路故障等效電路分析的基礎上，提出基于后退歐拉法和梯形積分法的換流器元件及換流站的離散化模型，設計直流電網不同類型故障電流迭代數值求解算法。基于RT-lab平臺搭建了四端柔性直流電網仿真模型，對比驗證了基于所提模型和故障電流數值求解算法能夠準確獲得故障電流，適用于大規模柔性直流電網故障電流計算。

1 MMC直流短路故障等效電路建模

1.1 MMC換流器基本結構及工作原理

MMC換流器的基本拓撲結構如圖1所示，由3個相單元組成，每一個相單元包含上、下兩個橋臂，每個橋臂由N個級聯的子模塊SM（sub-module）和一個電感L0構成。SM由2個反并聯二極管的絕緣柵雙極晶體管IGBT（insulated gate bipolar transis?tor）和一個電容C0構成。

圖1 MMC三相結構拓撲Fig.1 Three-phase topology of MMC

正常工作時，MMC通過控制子模塊IGBT的導通和關斷，使子模塊處于投入或切除狀態，維持直流側和交流側電壓；采用調制和均壓控制策略保證子模塊電容電壓平衡。通過控制子模塊投切產生期望的三相交流電壓，實現交直流側功率交換。

1.2 MMC故障等效電路模型

MMC發生雙極短路故障且子模塊未閉鎖時，直流線路注入的短路電流主要包括兩部分：一是子模塊電容放電電流，二是交流系統饋入的短路電流。由于在較短的時間內，交流系統饋入的電流極小，基本可以忽略[10]，因此MMC直流側故障電流主要由子模塊電容放電電流決定，閉鎖前子模塊電容放電通路如圖2所示。在均壓控制的作用下，子模塊投切狀態不斷發生變化，所有子模塊的電容均會通過故障點不斷放電。

圖2 閉鎖前子模塊電容放電通路Fig.2 SM capacitor discharging circuit before blocking

為描述子模塊中開關器件（即IGBT和二極管）的關斷和導通狀態，將其建模成高、低阻值切換的可變電阻[16]。當開關器件處于導通狀態時，其導通電阻為Ron，本文取值為0.01 Ω；當開關器件處于關斷狀態時，其關斷電阻為Roff，本文假設其處于理想關斷狀態，即其電阻值為無窮大。根據圖2所示閉鎖前子模塊電容放電通路，閉鎖前MMC可以等效為RLC串聯電路[7，13]，其等效模型如圖3所示。

圖3 閉鎖前MMC等效電路模型Fig.3 Equivalent circuit model of MMC before blocking

閉鎖前，MMC的等效電阻Req、等效電感Leq和等效電容Ceq及等效電路初始條件分別為

式中：N為MMC每個橋臂的子模塊個數；R0為每個橋臂的等值電阻；L0為橋臂電抗；C0為子模塊電容；Udc為換流站穩態直流電壓；I0為流經換流站穩態直流電流。

2 柔性直流電網離散建模

2.1 電感和電容離散模型

在MMC閉鎖前故障等效電路模型的基礎上，可以構建柔性直流電網等效電路模型。結合等效電路元件初始條件，可以建立基于微分方程組或復頻域方程的暫態電路模型。隨著柔性直流網絡規模擴大，微分方程組的降階求解或復頻域轉換將變得困難。采用電路離散化模型，避免微分方程和復頻域轉換，離散化的電路可視為不同離散時刻電阻電路的穩態分析，方便電路模型的求解計算。

為了建立柔性直流電網離散模型，首先需要分析電感和電容的離散模型。離散模型需要選取合適的數值積分方法，需要考慮如下3個問題[17]：①數值穩定性問題；②局部截斷誤差問題；③計算效率問題。在數值穩定性方面，顯式積分方法在電路方程為病態微分方程時容易不穩定，隱式積分法具有較好的數值穩定性，后退歐拉法具有A穩定性，梯形積分公式具有對稱A穩定性。在局部截斷誤差方面，若積分步長為h，后退歐拉法的局部截斷誤差為h2數量級，梯形積分法的局部截斷誤差為h3數量級，這兩種數值積分公式均能滿足誤差精度要求。在計算效率上，后退歐拉法和梯形積分法計算效率都比較高。因此，離散模型常采用梯形積分法或后退歐拉法進行離散化處理[16]。

采用后退歐拉法構建離散模型，可以得到電容和電感的離散模型，如圖4所示，分別表示為

觀察式（3）和式（4），可以得到采用后退歐拉法tn+1時刻電容、電感電壓與電流的關系。式（3）表明：在tn+1時刻，電容C可等效為一個電導C/h與電流源-CuC,n/h的并聯，其離散電路模型如圖4（a）所示。式（4）表明：在tn+1時刻，電感L可等效為一個電導h/L與電流源iL,n的并聯，其離散電路模型如圖4（b）所示。

圖4 基于后退歐拉法的離散模型Fig.4 Discrete model based on backward euler method

采用梯形積分法構建離散模型，可以得到電容和電感的離散模型，如圖5所示，分別表示為

同理，觀察式（5）和式（6），可以得到采用梯形積分法tn+1時刻電容、電感上電壓與電流的關系。式（5）表明：在tn+1時刻，電容C可等效為一個電導2C/h與電流源-（2CuC,n/h+iC,n）的并聯，其離散電路模型如圖5（a）所示。式（6）表明：在 tn+1時刻，電感L可等效為一個電導h/2L與電流源（huL,n/2L+iL,n）的并聯，其離散電路模型如圖5（b）所示。

圖5 基于梯形積分法的離散模型Fig.5 Discrete model based on trapezoidal rule

2.2 MMC離散模型

基于電感、電容離散模型及子模塊閉鎖前MMC等效電路模型，MMC離散模型可等效成電壓源與阻抗串聯的戴維南等值電路，如圖6所示。

圖6 閉鎖前MMC離散模型Fig.6 Discrete model of MMC before blocking

采用后退歐拉法構建離散模型，圖6中閉鎖前MMC離散模型相關參數滿足關系

采用梯形積分法構建離散模型，圖6中閉鎖前MMC離散模型相關參數滿足以下關系

2.3 換流站離散模型

基于MMC的柔性直流輸電工程均采用單極結構或雙極結構，兩種結構的柔性直流電網具有不同的故障特性，需要建立不同的等效電路模型[9]。單極直流電網雙極短路故障、雙極直流電網單極接地和雙極短路故障，閉鎖前換流站離散模型如圖7所示，圖中，Zi為第i個換流站的離散阻抗，ui,n為第i個換流站第n次迭代計算時的離散電壓，ii,n為第i個換流站第n次迭代計算的離散電流。

圖7 閉鎖前換流站離散模型Fig.7 Discrete model of converter station before blocking

單極柔性直流電網發生如圖7（a）所示的雙極短路故障時，故障電流在換流站中流經整個MMC，此時換流站離散模型相當于閉鎖前MMC雙極短路故障離散模型。雙極柔性直流電網發生如圖7（b）所示的單極接地故障時，以正極線路接地為例，故障電流在換流站中流經正極MMC，此時換流站離散模型相當于閉鎖前MMC雙極短路故障離散模型。雙極柔性直流電網發生如圖7（c）所示的雙極短路故障時，故障電流流經正、負極MMC，此時換流站離散模型相當于閉鎖前正、負極MMC雙極短路故障離散模型的串聯。

2.4 線路離散模型

基于電容和電感離散模型，忽略線路對地電容的作用，可以得到直流輸電線路離散模型，如圖8所示。圖中Zij為第i個換流站和第j個換流站之間線路的離散阻抗，uij,n為第i個換流站和第j個換流站之間線路第n次迭代計算時的離散電壓，iij,n為第i個換流站和第j個換流站之間線路第n次迭代計算時的離散電流。另外，Lij和Rij分別為第i個換流站和第j個換流站之間線路的等效電感和電阻。

圖8 直流輸電線路離散模型Fig.8 Discrete model of DC transmission line

采用后退歐拉法構建離散模型，圖8中離散模型相關參數滿足關系

采用梯形積分法構建離散模型，圖8中離散模型相關參數滿足關系

2.5 柔性直流電網離散模型

四端環形雙極柔性直流電網示意如圖9所示，直流線路上加裝了線路電抗器和直流斷路器，交流側配備了交流斷路器。假設在換流站2和換流站3之間的正極輸電線路上發生單極接地故障，基于換流站和線路的離散模型，可以得到柔性直流電網離散模型，如圖10所示。

圖9 柔性直流電網示意Fig.9 Schematic of VSC-HVDC grid

圖10 換流器閉鎖前柔性直流電網離散模型Fig.10 Discrete model of VSC-HVDC grid before converter blocking

3 柔性直流電網離散模型的求解與計算

基于圖10所示的柔性直流電網離散模型，可以列出直流電網支路電流方程為

植物與水體搭配造景時，植物將水體襯映的尤為美麗。從目前來看，岸邊種植柳樹與水中鋪荷是較為常見的水體植物配置形式。清風拂過柳樹，把柳樹的枝條吹得搖搖曳曳，清風拂過水面，把水中的波浪吹得波光粼粼，柳樹映在水中的倒影與實際景象相互遮掩又映照襯托，豐富了濱水景觀，從而給人們帶來一種舒適的感覺；池塘中布滿粉色的荷花以及碧綠的荷葉，別有一番趣味。在悶熱的夏天，若在此駐足觀賞，會給人們帶來一種清新爽朗的感覺。園林水景和園林小品中經常出現盆栽與池栽相結合的布置手法，滿足了人們的觀賞需求。

式中：In+1和Il,n+1分別為第n+1次迭代計算時換流站和線路離散電流向量，分別由各換流站和線路的離散電流組成；Un和Ul,n分別為第n次迭代計算時換流站和線路離散模型等效電源向量，分別由各換流站和線路的離散電壓組成；Z和Zl分別為換流站和線路離散模型等效阻抗矩陣；A和Al分別為換流站和線路的節點-支路關聯矩陣；B和Bl分別為換流站和線路的回路-支路關聯矩陣。

In+1和 Il,n+1為待求向量，Un和Ul,n為已知向量，分別定義為

Z和Zl均為以支路阻抗為對角元素的對角陣，分別定義為

A、Al、B和Bl均為依據柔性直流電網離散模型列寫的關聯矩陣，列寫方法不唯一，可以具體表示為

基于柔性直流電網離散等效模型，設計了故障電流數值求解算法，算法流程如圖11所示。首先，基于直流電網離散模型，確定系數矩陣A、Al、B、Bl、Z和Zl；基于電路的初始值狀態確定出換流站等效電源向量U0和線路等效電源向量Ul,0；基于離散步長h及計算時間設置迭代次數K；然后，通過對式（15）的求解，獲得換流站電流向量In+1和線路電流向量Il,n+1，即流經換流站等效電容和電感的電流及線路電感的電流；最后，將電流向量回代入離散公式，更新等效電源向量Un+1和線路等效電源向量Ul,n+1，將更新后的等效電源向量作為下一離散時刻的電路的初始狀態，形成迭代過程，直到達到要求的迭代計算次數，即達到要求的計算時間，完成求解計算。

圖11 故障電流迭代數值求解算法流程Fig.11 Flow chart of iterative numerical solution algorithm for fault current

4 仿真驗證

基于RT-lab仿真平臺搭建了如圖9所示的四端雙極柔性直流電網仿真模型，仿真系統參數如表1所示，換流站間線路長度如表2所示，系統運行參數如表3所示，其仿真步長為25 μs。

表1 仿真系統參數Tab.1 Parameters of simulation system

表2 換流站間輸電線路長度Tab.2 Length of transmission lines between converter stations km

表3 系統控制策略Tab.3 System control strategy

采用Matlab軟件實現基于離散模型的柔性直流電網短路電流數值計算方法，離散計算步長h設置為25 μs。基于四端柔性直流電網仿真模型，對柔性直流電網不同短路故障類型和不同故障位置的短路電流進行計算，并與詳細電磁暫態模型仿真結果進行對比分析，驗證所提出的計算方法的精確性。

4.1 單極接地故障計算結果及精確性對比

圖12 單極接地故障時短路電流計算值與仿真值Fig.12 Calculated and simulation values of short-circuit current under pole-to-ground fault

在換流站2和換流站3之間線路的不同位置發生單極接地故障，即距離換流站2的距離為線路長度的0%、30%、60%、100%，對故障點兩側的故障電流進行定量誤差分析，以仿真數據為基準，采用基于離散模型的柔性直流電網短路電流計算方法故障后10 ms的誤差如表4所示。

表4 不同故障位置的單極接地短路故障電流計算誤差Tab.4 Pole-to-ground short-circuit fault current calculation errors at different fault positions

通過單極接地短路故障計算值和仿真值的對比，無論采用梯形積分法還是后退歐拉法，計算值與仿真值的最大誤差不超過5%，所提方法能夠準確獲得柔性直流電網單極接地故障的短路電流值。

4.2 雙極短路故障計算結果及精確性對比

2 s時，換流站3和換流站4之間線路首端發生雙極短路故障，故障發生后10 ms內各條直流線路的故障電流仿真瞬時值和所提方法的計算結果如圖13所示。

圖13 雙極短路故障時短路電流計算值與仿真值Fig.13 Calculated and simulation values of short-circuit current under pole-to-pole fault

在換流站3和換流站4之間線路的不同位置發生雙極短路故障，對故障點兩側的故障電流進行定量誤差分析，采用基于離散模型的柔性直流電網短路電流計算方法故障后10 ms誤差如表5所示。

表5 不同故障位置的雙極短路故障電流計算誤差Tab.5 Pole-to-pole short-circuit fault current calculation errors at different fault positions

通過雙極短路故障計算值和仿真值的對比，無論采用梯形積分法還是后退歐拉法，計算值與仿真值的最大誤差不超過5.5%，所提出的方法能夠準確獲得柔性直流電網極間短路故障的短路電流值。

4.3 單極直流電網雙極短路計算結果及精確性對比

為驗證此方法對單極直流電網雙極短路故障的有效性，將圖9所示的雙極柔性直流電網改成單極直流電網，其中，MMC、交流系統、直流線路參數保持不變，MCC個數、直流電壓等級和換流站傳輸功率均各減少一半。

2 s時，換流站1和換流站4之間線路首端發生雙極短路故障，故障發生后10 ms內各條直流線路的故障電流仿真瞬時值和所提方法的計算結果如圖14所示。

圖14 單極直流電網雙極短路故障電流計算值與仿真值Fig.14 Calculated and simulation values of short-circuit current under pole-to-pole fault in unipolar DC grid

在換流站1和換流站4之間線路的不同位置發生雙極故障，對故障點兩側的故障電流進行定量誤差分析，采用基于離散模型的柔性直流電網短路電流計算方法故障后10 ms誤差如表6所示。

表6 單極直流電網不同故障位置的短路故障電流計算誤差Tab.6 Calculation errors of short-circuit fault current at different fault positions in unipolar DC grid

通過雙極短路故障計算值和仿真值的對比，無論采用梯形積分法還是后退歐拉法，計算值與仿真值的最大誤差不超過4.5%，所提出的方法能夠準確獲得柔性直流電網極間短路故障的短路電流。

5 結論

本文提出了基于離散模型的柔性直流電網短路電流數值計算方法，通過仿真驗證了此方法的準確性，得到如下的結論。

（1）基于后退歐拉法和梯形積分法的換流器電感、電容和線路的離散化模型具有較好的數值穩定性、較小的誤差、較高的計算效率。

（2）提出的離散模型和故障電流數值求解算法適用于不同故障類型，具有較好的通用性。

（3）提出的模型和故障電流數值求解算法能夠準確獲得故障電流，與詳細模型仿真結果相比，誤差小于5.5%。