中子星的形成機理在固體物理教學中的應用

王拴虎，田穎異，王 民，代富平

(西北工業大學 物理科學與技術學院，陜西 西安 710129)

固體物理是大多數國內高校物理學專業和材料學專業均開設的本科必修課[1].學生在學習固體物理的過程中，不僅會學到很多將來在科研中非常重要的實用知識，而且還會加深對先前所學知識的認識[2].

深入分析固體物理研究電子行為的方法，不難看出，固體物理學處理電子的問題依然是基于非相對論量子力學，即薛定諤方程展開的.只是在固體物理中，薛定諤方程的勢能項較為復雜，通常需要采取各種近似加以求解，才能獲得電子的色散關系，再結合能態密度的分析，從而討論固體中電子的各種特性和行為.因為固體中電子的速度遠小于光速，因此電子的相對論行為通常忽略不計.然而在實際研究中，一些相對論效應有時不能忽略，例如電子的自旋軌道耦合[3]或拓撲絕緣體[4,5]中的電子輸運行為等.但對于本科生而言，要深入掌握這些特殊情況的電子相對論效應有一定難度.

筆者在本科物理的教學過程中發現，天體物理[6]中的中子星形成機理涉及的物理問題可以很輕松地將電子的相對論行為引入到固體物理中，讓學生對相對論量子力學有所認識.同時該問題融合了部分電動力學中狹義相對論的知識，以及一些熱力學統計力學的知識，將它和固體物理中電子行為相互融合和比較，不僅可以鞏固已有的四大力學的知識，還能加深學生對電子這種費米子特性的認識，更重要的是能豐富學生的物理學知識，拓展學生的視野.

1 非相對論下的質量與體積關系

在固體物理的索末菲模型(作為零級近似，把電子當做被關閉在箱體中的自由電子)中[7-9]，由于電子的費米速度遠小于光速，因此不考慮相對論特性，其色散關系通常可以簡單地表述為

(1)

其中me為電子的質量，對于一些可以對電子做有效質量近似的材料，也可以代表電子的有效質量.?為狄拉克常數，k為電子波矢，下角標non代表非相對論，考慮到電子的準動量p=?k，則式(1)也可表示為

(2)

這是我們熟知的晶體中在非相對論情況下電子動量和能量的關系式.

而在狹義相對論中，電子的動能為

(3)

其中c為真空光速，me為電子的靜質量，當溫度較低，即電子的速度較低時，靜止質量遠大于電子動能，mec2>>pc，即為非相對論情況，式(3)變為式(1).

根據固體物理對倒空間的定義，可知倒空間的狀態密度為V/(2π)3，E與E+ΔE等能面之間的體積記為ΔVk，易知

(4)

其中，dSdk⊥為E與E+ΔE等能面之間的體積元，顯然有

dk⊥|kE|=ΔE

(5)

(6)

Δω為E與E+ΔE等能面之間可容納的電子數，從公式(1)可以看出，能量為各向同性，因此積分后的等能面可取球面，即

dS=4πk2

(7)

根據式(1)用E表示k，并帶入式(6)，可得非相對論下電子的態密度表達式為

(8)

在T=0時，費米面以下的費米分布函數恒為1，則總電子數Ne為

(9)

其中f(E)為費米狄拉克分布函數，表達式為

(10)

(11)

(12)

從而每個電子的平均能量與電子濃度的關系為

(13)

同時在非相對論情況下，能量與壓強p的關系如下

(14)

因此

(15)

以上內容均是固體物理學在本科課程中涉及的內容，由此可以看出電子的簡并壓力與濃度的5/3次方成正比.對于半徑為R質量為M的白矮星，其內部受到的引力是非常巨大的，如此巨大的壓力只能由電子向外熱膨脹的力與之抗衡，當二者平衡時，則有

(16)

其中α為數量級為1的數值系數，取決于星體的密度分布.

物質的質量主要由中子和質子，即核子所提供，因此星體質量M為

M=NNmN=γNemN

(17)

其中NN為質子和中子的總數，忽略二者的質量差，將二者的質量均記為mN，γ=NN/Ne為核子數和電子數之比.對于氫原子，γ(H)=1，對于4He，γ(4He)=2因此，半徑R為

(18)

由此可以看出，質量與半徑成負相關，質量越大的白矮星，體積反倒越小.

同時值得注意的是，為了簡化計算過程，以上的討論過程中是基于星體處于絕對零度時展開的，這與實際情況有所不同.實際情況需要考慮高溫下費米面的移動，但此處的簡化并不影響最終的定性分析.

2 相對論下的質量與體積關系

當星體質量持續增大，達到一定極限時，電子需要更大的熱膨脹力才能抵消相應增加的萬有引力，此時電子的運動更加劇烈，其費米速度將逐漸趨向光速極限，就必須要考慮相對論效應[6,10].此時mc2<

Ere=?c|k|

(19)

下角標re代表相對論.

將公式(19)帶入式(6)，此時態密度的表達式為

(20)

在T=0時，電子總數Ne

(21)

可以得到此時的零點費米能為

(22)

單個電子平均能量為

(23)

而在相對論情況下，能量與壓強p的關系如下，

(24)

因此，

(25)

此時壓強和質量的關系將發生變化，得到的結果為

(26)

從式(26)可以看出，此時星體的質量已經與半徑沒有關系了，這意味著當星體的質量進一步增加時，星體無法通過減小體積的方式來增加壓強，也就無法與萬有引力對抗.星體終將因為萬有引力的作用持續坍縮下去，原子核內的核子被最終擠壓出來，質子與電子碰撞構成中子，從而形成中子星.

聯系到前式，臨界質量Mc

(27)

當γ=1且α=1時，

Mc=5×1030kg=2.5M⊙

(28)

其中M⊙為太陽質量，當γ=2時，Mc=0.625M⊙.值得一提的是，以上的計算雖然較為粗糙，但白矮星存在一個質量極限的結論是毋庸置疑的，并且與實際天文觀察到的白矮星質量上限在同一個量級上，這一臨界質量也被稱之為錢德拉塞卡極限.詳細的計算需要考慮α的具體數值，以及費米面在高溫下的變化等因素.深入計算表明，如果γ=1，即白矮星是由氫構成的，則Mc=5.6M⊙，而如果γ=2，即白矮星是由氦構成的，則Mc=1.4M⊙.在實際天文觀察中，白矮星的質量均小于1.4M⊙，因此可以判斷白矮星的主要成分為氦.

3 總結

綜上所述，不難發現，中子星形成機理的推算過程完全可以建立在固體物理中對電子行為的討論上.在此基礎上引入相對論修正，即可推導出白矮星的質量極限，即錢德拉塞卡極限.將此過程引入到固體物理的教學中，不僅可以加深學生對固體中電子色散關系的認識，還能極大地拓展學生對于電子相對論行為的認識，更好地將之前所學的知識融合到一起，起到很好的溫故知新的作用.