時空圖法在狹義相對論教學中的應用

許廣智，李一杰

(遼寧大學物理學院，遼寧 沈陽 110036)

狹義相對論是高校理工科物理課程中的重要內容.但由于狹義相對論效應發生在高能高速條件下，與生活經驗相距甚遠，學生們對相對論帶來的時空觀變革往往無感，對得到的與生活相悖的結論感到困惑.實際教學中，可以引入閔科夫斯基時空幾何(時空圖)來解釋狹義相對論的相關問題，輔助理解[1].比如，利用時空圖來解釋尺縮鐘慢效應[1-5]，容易使學生們理解為什么不能也不必問“究竟誰的尺更短”，“究竟誰的鐘更慢”之類的問題[1,2].另外，利用時空圖，也能夠對雙生子佯謬[1,6]、汽車入庫[1,5]等問題給出直觀的定性解釋.取得較好的教學效果.

但是，另一方面，諸如多普勒效應、光行差等效應以及習題均涉及定量分析及計算，而教材及文獻中多給出代數方法[5,7-12].利用時空圖，能否對這些問題進行分析，答案是肯定的[1,13,14].本文下面內容中將介紹應用時空圖進行定量計算的方法，并利用時空圖討論多普勒效應、光行差等問題.

1 應用時空圖的定量計算方法

簡單來說，應用時空圖進行計算的步驟主要是繪制時空圖，找出所求物理量在時空圖中的對應，最后利用幾何關系給出結果.許多文獻給出了繪制時空圖的詳細方法[1-4]，這里不再詳述.在下面幾小節內容中對時空圖中的幾何關系說明幾點.

1.1 時空圖中線段的長度

時空圖中線段的長度L，即兩事件點的時空距離，由式(1)、(2)與其間隔s2相聯系，其大小是絕對的實數值[6]，與選取的參考系無關.

s2=cΔt2-Δx2-Δy2-Δz2

(1)

(2)

1.2 時空圖中兩線間的角度

時空圖中兩線間的角度，數值上等于相對應的參考系間的相對快度，其大小也是絕對的.快度/角度具有相加性.由快度與速度的關系[15]

(3)

可知速度不具有相加性，只有在低速條件下

v=cthη≈cη+O(η)

(4)

圖1 沿x軸方向運動兩物體的二維時空圖

(5)

(6)

可見，利用時空圖中角度的相加性，速度變換轉化為角度的線性運算，運算也變得簡單.在一些復雜問題中，利用角度進行運算的便捷更為明顯.比如在文獻[18]中，討論了相對論極限下角速度為ω，長度為R的長桿繞一端點轉動問題，給出了不違背狹義相對論的桿外緣轉動速度.這里利用角度相加性，容易重復出文獻中的結果.

把長桿均分為n段，各段有相同角速度ω，內圈某節點參考系下觀測下一節點的相對速度為

(7)

則相對快度為

(8)

利用相對快度的洛倫茲不變性和相加性，長桿外緣相對轉動中心的快度為

(9)

最后，轉動中心參考系中，觀測長桿外緣速度為

(10)

1.3 時空圖中的直角三角形

通過洛倫茲變換及快度定義可以證明時空圖中兩時空矢量A、B的點積定義為

A·B=AΤgB=AμgμνBν=|A||B|ch(ηA-ηB)

(11)

其中ηA-ηB是A、B之間的夾角.可見，點積定義在閔氏時空與三維歐氏空間中具有相同的形式，不同的是前者遵循雙曲(羅巴切夫斯基，羅氏)幾何，后者遵循三角(歐氏)幾何.這也使得時空圖下的直角三角形中的邊角滿足不同于歐氏空間的幾何關系.例如，在圖1中，AB⊥OB，所以△OBA是直角三角形，有

(12)

(13)

(14)

容易看到，直角三角形△OCA中也有類似關系.

1.4 三維時空圖

圖2 確定三維時空圖中物體在S′參考系中的坐標

而ACBD是A點在S′系的等時面，此平面中的矢量均是空間矢量，長度角度依然遵循歐式幾何關系.例如假設物體在S′系中在x′Oy平面與x′軸成θ′角運動，則

(15)

(16)

特別的，如果OA是類光矢量，則

(17)

th∠BOC=cosθ′

(18)

sh∠BOC=cotθ′

(19)

在處理三維時空圖或者更復雜的四維時空圖問題時，可以采用繪制S與S′系共同坐標平面(如圖2中的xOct平面)的方法，利用上面等式關系將問題轉化為二維問題.

thη′x=thη′ cosθ′=th(ηx-ξ)

(20)

(21)

thηychηx/ch(ηx-ξ)

(22)

利用雙曲函數和差公式及式(3)即得x′與y′方向的速度變換公式.

1.5 兩道例題

作為時空圖法定量計算的例子，下面我們求解教材中的兩道習題.

例1(文獻[5]第6章習題4)：一輛以速度v運動的列車上的觀察者，在經過某一高大建筑物時，看見其避雷針上跳起一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線的兩鐵塔.求列車上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時刻差.設建筑物及兩鐵塔都在一直線上，與列車前進方向一致.鐵塔到建筑物的地面距離已知都是l0.

解答：此題問題分兩種情況：1) 鐵塔分別被照亮后反射光線到達觀察者的時刻差；2) 鐵塔分別被照亮時在觀察者參考系的時刻差.繪制如圖3兩時空圖分別對應兩種情況.線OC為列車上觀察者世界線，虛線是電光世界線，點線為輔助線.

圖3 列車觀察者觀測電光照亮鐵塔的時空圖

(23)

電光在任一慣性系中快度的雙曲正切值都為1:

th∠ACB=th∠ADB=1

(24)

(25)

(26)

(27)

∠CAB=∠DBA=η

(28)

(29)

(30)

(31)

所以，兩種情況結果相差2倍.

例2(文獻[5]第6章習題2)：設有2根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為l0，它們以相同速率v相對于某一參考系運動，但運動方向相反，且平行于尺子.求站在一根尺上測量另一根尺的長度.

解答：繪制圖4時空圖，線LA、LC分別是沿x正方向運動尺子(尺1)兩端世界線，LB是相對尺1靜止參考系中等時線(空間軸)，尺子兩端世界線所夾LB上的長度即l0.相對另一尺子(尺2)靜止參考系中時間軸及空間軸分別為LD和LE.LA、LC所夾LE上的長度即尺2參考系中測量的尺1長度.注意到LB與LC垂直，LB、LE與x軸夾角均為η，可得

圖4 反向運動兩尺的時空圖

(32)

2 其它若干問題

光多普勒效應、光行差等是相對論的重要實驗證據.對這些效應的討論，文獻中采用不同的方法[7-12].下面我們應用時空圖法來進行分析.

2.1 光多普勒效應

某參考系中測量光信號的波長，即是在此參考系同時面上測量光信號相鄰波峰所在波陣面之間的空間距離.由于同時的相對性，光源相對觀察者移動時，測量到光波長與光源靜止時不同.同時與光波傳播方向相關.下面分3種情況(光信號傳播方向與光源與觀察者相對運動方向平行、垂直、成夾角)分別進行討論.

圖5 光源與光線平行時光波的多普勒效應時空圖

(33)

(34)

(35)

圖6 光源與光線垂直時光波的多普勒效應時空圖

(36)

(37)

(38)

圖7 光源與光線有夾角時光波的多普勒效應時空圖

(39)

(40)

(41)

當θ取0和π/2時，結果回歸到第一、二種的平行和垂直情況.上面我們求解了多普勒效應中的光波波長，也可以采用類似方法求解相鄰波峰到達同一空間位置時測量的光波周期.

2.2 光行差

設遠處光源在S系下距離原點空間距離為d，與x軸夾角為θ，光線在原點的時空點到達沿著x軸正方向運動的觀測者.如圖8，考慮xOct平面的時空圖，AO是光源出射光線世界線在此平面的投影.根據式(18)、(19)，有sh∠ξ=cotθ,ch∠ξ=cscθ.AC是S′系上相等x值坐標平面在此平面的投影，OC⊥AC，sh∠OAC=cotθ′.因此得到

圖8 光行差時空圖

(42)

2.3 運動平面鏡反射問題

平面鏡沿x軸運動，鏡面垂直運動方向，波長為λ0平面波與運動方向成夾角θ0入射，求反射光波波長及反射角.(參考文獻[5]第六章習題10)

圖9 光線被運動平面鏡反射的時空圖

(43)

chξ=cscθ0,shξ=cotθ0

(44)

γ-2sinθ0/(1+β2+2βcosθ0)

(45)

λ=dsinθ,λ0=dsinθ0

(46)

(47)

3 結論

利用時空圖，能夠使學生對相對論時空觀有更清晰的認識，明確事件點具有絕對時空位置、相對時空坐標的含義[19].同時，時空圖中自然地包含了不同參考系間的洛倫茲變換規則，利用時空圖學生不必記憶諸如洛倫茲變換、速度變換等公式，僅需要熟悉雙曲函數運算規則，就能對相對論中的問題進行定量分析計算.這能使學生繞開較為繁瑣的代數計算，更好地幫助他們理解其中的物理內容.