勾股模糊近似空間的層次結構刻畫

宋晶晶, 竇慧莉

(1.江蘇科技大學 計算機學院, 鎮江 212100) (2.數據科學與智能應用福建省高校重點實驗室, 漳州363000)

信息粒是粒計算的基本單元,是一族等價關系、相似關系、鄰域關系、模糊關系等組成的對象的集合.文獻[1]指出很多領域都存在信息粒,只是表現形式不同. 粒計算包含信息粒、信息粒化之間的關系以及信息粒化的不確定性度量,可以看作是結構化問題求解和信息處理的新范式[2]. 信息粒化使得論域中對象被分成一族不相交或者相互覆蓋的信息粒. 粒計算就是找到一些合適的信息粒用來有效近似一個復雜概念，其在智能信息處理過程中有著重要作用.目前，粒計算已經快速發展,成為眾多學者研究的熱點[3-7].

粒計算理論包含粗糙集、模糊集和商空間等理論,文獻[8]提出了模糊集的概念,對模糊現象的描述奠定了基礎. 文獻[9]基于模糊集提出了直覺模糊集,用隸屬度、非隸屬度描述決策問題中廣泛存在的肯定度和否定度，其在處理不確定性問題時能夠更加準確地表達模糊信息.在直覺模糊集中,決策者給出的某一對象x∈A的隸屬度與非隸屬度之和須滿足小于等于1的條件. 近年來,基于直覺模糊集,文獻[10-11]進一步提出了勾股模糊集,在勾股模糊集中,隸屬度與非隸屬度的平方和須滿足小于等于1的條件. 當某決策者表達某一備選項滿足某一標準的程度時,可能認為隸屬度為0.866,非隸屬度為0.5,此時隸屬度與非隸屬度之和大于1,不滿足直覺模糊集的條件,但是它們的平方和小于1,所以0.866和0.5可以作為勾股模糊集中的隸屬度與非隸屬度來描述實際決策問題[4]. 相比于直覺模糊集,勾股模糊集可以表達更豐富的決策信息,在處理不確定性問題時顯得更加有效. 已有學者對勾股模糊集進行了研究,文獻[12]將勾股模糊集與粗糙集結合,提出了勾股模糊粗糙集,并討論了勾股模糊粗糙集的若干性質;文獻[13]指出了3種勾股模糊數的排序方法的不足,提出了從特征參數完全刻畫勾股模糊數的排序的方法;文獻[14]以區間模糊偏好關系和直覺模糊偏好關系為依據,將勾股模糊數引入了偏好關系,定義了勾股模糊偏好關系.上述研究對勾股模糊集的發展起到了推動作用[15-19].

信息粒化是粒計算理論中的基本問題,可以看作是信息粒的構建和分解.信息粒化之后,接著分析不同信息粒化之間的關系,合適的信息粒化的選擇是問題求解的預處理階段.從多層次的角度,可以看出層次結構反映了信息粒化的粗細關系.層次結構是多個(偏)序關系的多個層次,每一層代表一個粒度下的抽象表示,不同抽象層次是對理解現實世界問題的不同抽象水平[7].通過有效使用粒度的層次,粒計算可以系統、自然地分析、理解、表示和解決現實世界問題.

文中研究勾股模糊集的信息粒化,以及信息粒化之間的層次結構,以此來表示勾股模糊信息粒化之間的粗細關系.首先給出了勾股模糊信息粒化的表達形式,然后提出了3種序關系來刻畫勾股模糊信息粒化之間的層次結構,并結合實例,說明新提出的3種序關系在刻畫勾股模糊信息粒化的層次結構的應用.

1 背景知識

1.1 模糊集

式中：pij∈[0,1](1≤i,j≤n)為對象xi與對象xj之間的相似度,?xi,xj∈U.

(1)

(2)

可以看出,序關系≤1是序關系≤2的特例,而序關系≤2又是序關系≤3的特例.作為模糊集的泛化,文獻[9]提出的直覺模糊集利用隸屬度和非隸屬度,可以提供對客觀世界更為準確的描述.

1.2 直覺模糊集

1.3 勾股模糊集

與直覺模糊集類似,文獻[10]中定義了勾股模糊集.

根據定義4,可以看出直覺模糊集是勾股模糊集的特例.勾股模糊集表達的信息更廣泛,更能描述客觀世界.

(1)A的補集為{νA(xi),μA (xi)}xi ; (2)A=B?μA(xi)=μB(xi)∧νA(xi)=νB(xi); (3)A?B?μA (xi)≤μB (xi)∧νA (xi)≥νB (xi); (4)A?B?A?B∧A≠B; (5)A∩B=min{μA (xi),μB (xi)},max{νA (xi),νB (xi)}xi ;(6)A∪B=max{μA (xi),μB (xi)},min{νA (xi),νB (xi)}xi .

2 勾股模糊近似空間的層次結構

2.1 勾股模糊信息粒化

定義6令U={x1,x2,…,xn}是一個論域,論域U上勾股模糊關系R的勾股模糊關系矩陣為:

MR=

式中:μR(xi,xj)∈[0, 1]為對象xi與對象xj的相似度；νR(xi,xj)∈[0, 1]為對象xi與對象xj的非相似度,且μR(xi,xj)2+νR(xi,xj)2≤1.

假定文中論域上的勾股模糊二元關系都是自反的,即勾股模糊關系MR中有μR(xi,xi)=1,νR(xi,xi)=0.論域U中所有的勾股模糊關系的集合表示為PFAS=(U, Ω),稱為論域U上的勾股模糊近似空間,Ω為論域U上的勾股模糊關系的集合.

定義7勾股模糊近似空間PFAS=(U,Ω)中的勾股模糊信息粒化定義:

K(R)=(SR(x1),SR(x2)…,SR(xn))

論域U上的所有勾股模糊信息粒化空間的集合表示為K(U,Ω),可以看出勾股模糊信息粒化空間和勾股模糊近似空間(U,Ω)存在一一對應的關系,文中不再區分勾股模糊信息粒化空間和勾股模糊近似空間.

經典集合、模糊集、直覺模糊集、勾股模糊集的基數在信息粒化和其不確定性度量中非常重要，介紹勾股模糊集的基數以及勾股模糊信息粒化之間的操作算子交、并和補.

對應的勾股模糊信息粒化的隸屬度基數、非隸屬度基數和猶豫基數可以定義為:

定義10令K(P)=(SP(x1),SP(x2),…,SP(xn))∈K(U,Ω),K(Q)={SQ(x1),SQ(x2),…,SQ(xn)}∈K(U,Ω),其中

勾股模糊信息粒化K(P)和K(Q)之間的操作算子交、并和勾股模糊信息粒化K(P)的補定義為:

K(P)∩K(Q)=

{SP∩Q(xi)|SP∩Q(xi)=SP(xi)∩SQ(xi),1≤i≤n},

K(P)∪K(Q)=

{SP∪Q(xi)|SP∪Q(xi)=SP(xi)∪SQ(xi),1≤i≤n},

SP(xi)∩SQ(xi)=

SP(xi)∪SQ(xi)=

推論2令K(P),K(Q),K(R)∈K(U,Ω),勾股模糊集的交并補算子滿足以下定律:

(1) 交換律:K(P)∩K(Q)=K(Q)∩K(P),

K(P)∪K(Q)=K(Q)∪K(P).

(2) 結合律:

K(P)∩(K(Q)∪K(R))=(K(P)∩K(Q))∪(K(P)∩K(R)),

K(P)∪(K(Q)∩K(R))=(K(P)∪K(Q))∩(K(P)∪K(R)).

(3) 吸收律:

K(P)∩(K(P)∪K(Q))=K(P)∪(K(P)∩K(Q))=K(P).

(4) 德摩根律:

2.2 勾股模糊近似空間的層次結構

文中提出3種序關系來刻畫勾股模糊近似空間的層次結構,用來比較勾股模糊信息粒化的粗細關系.

定義11令K(P)=(SP(x1),SP(x2),…,SP(xn))∈K(U,Ω),K(Q)={SQ(x1),SQ(x2),…,SQ(xn)}∈K(U,Ω),其中,

(1)P1Q?K(P)1K(Q)?SP(xi)?SQ(xi)?

P=Q?K(P)=K(Q)?SP(xi)=SQ(xi)?

P1Q?K(P)1K(Q)?

K(P)1K(Q)∧K(P)≠K(Q).

(2)P2Q?K(P)2K(Q)?

|SP(xi)|+≤|SQ(xi)|+∧|SP(xi)|-≥SQ(xi)|-?

Pi+≤Qi+∧Pi-≥Qi-,1≤i,j≤n;

P≈2Q?K(P)≈2K(Q)?

|SP(xi)|+=|SQ(xi)|+∧|SP(xi)|-=SQ(xi)|-?

Pi+=Qi+∧Pi-=Qi-,1≤i≤n;

P2Q?K(P)2K(Q)?

K(P)2K(Q)∧K(P)≈2K(Q).

(3)P3Q?K(P)3K(Q)?

|K(P)|+≤|K(Q)|+∧|K(P)|-≥|K(Q)|-?

P≈3Q?K(P)≈3K(Q)?

|K(P)|+=|K(Q)|+∧|K(P)|-=|K(Q)|-；

P3Q?K(P)3K(Q)?

K(P)3K(Q)∧K(P)≈3K(Q).

推論3令K(P),K(Q),K(R)∈K(U,Ω),則：

(1)K(P)iK(Q)?K(Q)CiK(P)C(i=1,2,3)；

(2)K(P)∩K(Q)iK(P) (i=1,2,3)，

K(P)∩K(Q)iK(Q) (i=1,2,3)；

(3)K(P)iK(P)∪K(Q) (i=1,2,3)，

K(Q)iK(P)∪K(Q) (i=1,2,3).

推論4序關系i是序關系i+1(i=1,2)的特例.

第一個序關系定義在兩個勾股模糊信息粒之間的勾股包含關系中,第二、第三種序關系定義在勾股模糊信息粒和勾股模糊信息粒化的基數上.可以看出1是一個偏序關系,2和3分別是(U,Ω)和K(U,Ω)上的預序關系,因為它們不滿足反對稱.另外,以下關系成立:1?2?3.

文中通過一個實例來說明提出的3種序關系在勾股模糊近似空間中的應用.

例1令U={x1,x2,x3,x4},論域U上的勾股模糊二元關系Ri由如下的矩陣表示:

比較勾股模糊信息粒R1和勾股模糊信息粒R3，勾股模糊二元關系R1中,有|SR1(x1)|+=2.4,|SR1(x2)|+=2.5,|SR1(x3)|+=2.2,|SR1(x4)|+=2.3,|SR1(x1)|-=2.3, |SR1(x2)|-=2.1, |SR1(x3)|-=2.3, |SR1(x4)|-=2.3；在勾股模糊二元關系R3中,有|SR3(x1)|+=2.4,|SR3(x2)|+=2.6, |SR3(x3)|+=2.6, |SR3(x4)|+=2.4, |SR3(x1)|-=2.2,|SR3(x2)|-=2.0,|SR3(x3)|-=2.1,|SR3(x4)|-=2.3.

可以看出, ?x∈U,|SR1(x)|+≤|SR3(x)|+且|SR1(x)|-≥|SR3(x)|-,故有K(R1)2K(R3),說明勾股模糊信息粒R1比勾股模糊信息粒R3要細.

比較勾股模糊信息粒R1和勾股模糊信息粒R4，在勾股模糊二元關系R1中,有|K(R1)|+=9.4,|K(R1)|-=9.0；在勾股模糊二元關系R4中,有|K(R4)|+=9.0,|K(R4)|-=9.4.可得|K(R1)|+≥|K(R4)|+且|K(R1)|-≤|K(R4)|-,故有K(R4)3K(R1),說明勾股模糊信息粒R4比勾股模糊信息粒R1要細.

2.3 勾股模糊近似空間的格結構

文獻[21-22]從集合距離的角度,使用格結構刻畫清晰近似空間的信息粒化的層次結構.文獻[23]提出利用知識距離格來刻畫覆蓋近似空間的信息粒化的層次結構.文中將討論勾股模糊近似空間在偏序關系?1上的格結構.

定義12令(L,≤)是一個偏序集,L上的兩個算子∧和∨:L2→L,存在以下關系:

(1) ?a,b∈L,a∧b=b∧a,a∨b=b∨a；

(2) ?a,b,c∈L, (a∧b)∧c=a∧(b∧c), (a∨b)∨c=a∨(b∨c);

(3)a∧b=b?b≤a,a∨b=b??a,b∈L,a≤b則稱(L,≤)是一個格;

(4) 如果(L,≤)是一個格,且?a,b,c∈L,a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c),則稱(L,≤)是一個分配格;

(5) 如果(L,≤)是一個格,且?a∈L,a-1∈L存在(a-1)-1=a且a≤b?b-1≤a-1則稱(L,≤)是一個有補格;如果存在0, 1∈L使得?a∈L, 0≤a≤1,則稱0和1分別是最小元素和最大元素.

結合定義11和12以及推論1,可以得出如下結論:

定理1定義在勾股模糊信息粒化空間K(U,Ω)上的操作算子∩,∪和C如定義11,則(K(U,Ω),1, ∩,∪,C)是一個有補分配格.

證明:根據定義10和定義11,明顯得證.

3 結論

粒計算理論把復雜的問題進行抽象,轉化為簡單的問題,更利于對問題進行分析和解決.勾股模糊集作為一種重要的粒計算模型,在處理問題時可以更客觀的描述現實世界.文中以勾股模糊集為主要研究對象,首先給出了勾股模糊信息粒和勾股模糊信息粒化的表示方法,其次給出了勾股模糊信息粒化的基數表示,最后根據勾股模糊信息粒化之間的關系,用實例給出了3種序關系在勾股模糊近似空間中的應用，并且給出了偏序關系?1上的格結構,對勾股模糊近似空間的層次結構進行了刻畫.

下一步工作將研究勾股模糊信息粒化不同層次上的約簡,以及對勾股模糊信息粒化的不確定性程度進行刻畫,進一步豐富粒計算理論的研究.