基于自適應照明光場校正的快速收斂疊層成像方法

竇健泰

(江蘇科技大學 理學院，鎮江 212100)

相干衍射成像(coherent diffraction imaging，CDI)是一種迭代相位復原算法，其利用遠場衍射光強反演待測物體相位信息.CDI分辨率可不受光學元件質量限制，且無需成像系統.基于此特點，CDI可彌補X射線、電子束等短波成像領域中高性能光學元件缺乏對成像質量的影響[1].常規CDI的成像視場和收斂速度在實際使用時存在明顯不足，為解決其成像視場小和收斂速度慢的問題，文獻[2]提出了疊層成像技術(ptychographical iterative engine，PIE)，其要求照明光相對樣品進行陣列掃描，且相鄰掃描位置有部分重疊.常規PIE系統的初始實驗條件是假設照明光場已知且完全相干，精確已知掃描位置，衍射圖像無噪聲，樣品為薄切片.但是實際實驗過程中，以上假設的條件均很難滿足.為成功應用PIE，學者研究了諸多處理方法，如處理部分相干[3-5]，重建照明光場[6-9]，校正掃描位置誤差[10-16]，降低噪聲影響[17-18]，處理厚樣品[19]等.

上述處理方法中，重建照明光場是最先出現的，也是最重要的.共軛梯度(conjugate gradient，CG)算法[20]、差異圖(difference map，DM)算法[7]和擴展疊層成像(extended ptychographical iterative engine，ePIE)算法[8]已用于重建照明光場，這些方法均解決了需預先已知照明光場的問題.ePIE作為全局優化方法，在每次迭代時均將所有采集的衍射光強代入計算照明光場和物函數，但是ePIE滿足收斂條件時仍需要幾十次甚至幾百次迭代，會消耗大量計算時間.

受Shrink-Wrap算法[20]啟發，文中對ePIE算法進行了優化改進，提出了基于自適應照明光場校正的擴展疊層成像方法，該方法可顯著提高收斂速度，縮短計算時間.

1 理論分析

在疊層成像實驗裝置中，樣品需放置在二維位移平臺上，使樣品在垂直于光軸的平面內相對于照明光進行陣列掃描，且相鄰掃描位置有部分重疊，系統結構如圖1.

圖1 光路系統結構示意

在自適應照明光場校正部分，通過給定的強度閾值追蹤孔徑光闌的邊界，確認孔徑光闌的形狀，即將照明光在光闌平面處小于閾值的光強或振幅設置為0，其余設置為1，即可完成對光闌形狀的估計.雖然初始估計的精確度很低，但可由迭代過程中光闌平面的波前不斷閾值化更新光闌形狀，即將迭代過程中更新后的照明光場逆向傳輸到光闌平面，對光闌平面處的光場振幅閾值化進一步校正光闌形狀.同時，將校正后的光闌形狀用于校正照明光場，然后將校正后的光場傳輸到樣品表面，與樣品作用后傳輸到CCD，重復照明光場與樣品的更新過程.

實驗中記錄的衍射圖樣標記為I(u,sj)，其中u為探測器平面的坐標，j=1, 2, …,J=M'N，其中：M為橫向移動掃描的次數；N是縱向移動掃描的次數.光闌到樣品的距離為Z1，樣品到探測器平面的距離為Z2，照明波長為λ.假設初始猜測的照明光場函數為P0(r)，物函數為O0(r)，其中r為物平面的坐標.第m次迭代詳細步驟：

(1) 照明光與物體作用后的波前為ψm(r,sj)=Om(r)·Pm(r)，將該波前傳輸到CCD平面，即Ψm(u,sj)=F{ψm(r,sj)}，其中：F為傅里葉變換；sj表示第j個衍射圖樣.

(3) 更新物函數和照明光場函數：

(1)

(2)

式中：δ=0.000 1，用來確保數值穩定；α和β的取值范圍是[0,1]，文中α=β=0.5.以上步驟與ePIE算法相同，后續步驟為文中提出的自適應光場校正部分.

(5)若迭代次數m

重復步驟1～8，直至滿足終止條件.

2 仿真驗證

為驗證文中提出方法的正確性，設計了仿真模型，模型選用的系統參數：工作波長λ=632.8 nm，CCD具有1 024×1 024像素，每個像素尺寸是4.4 μm×4.4 μm.光闌到物體，物體到CCD之間的軸向距離分別為10、64 mm，掃描步長為46個像素，共掃描了5×5個位置，以“Mandrill”作為物體的初始振幅和相位，其模的取值范圍為0～1，相位的取值范圍為0～π rad.圖2給出了光闌的形狀、物體表面的照明光場以及物體振幅和相位.

圖2 仿真數據

圖3給出了初始猜測光闌形狀、迭代20次最終光闌形狀、以及它們分別與理想形狀之間的差異.結果表明，隨著迭代次數增多光闌形狀越接近真實形狀.

圖3 迭代過程中的光闌形狀對比

為進一步說明文中提出方法有利于提高照明光場重建精度，比較了迭代50次后ePIE和文中所提方法的重建照明光場與理想照明光場，圖4給出了相應的結果.為定量分析重建精度，選用復原結果與理想結果差值的均方根(root mean square，RMS)來評價重建精度.ePIE方法的重建照明光場的振幅和相位的RMS分別為0.030 2和0.981 5 rad，而文中所提方法分別為0.011 0和0.719 9 rad.相比ePIE，文中所提方法的振幅和相位的重建精度分別提高了63.58%和26.65%.結果表明，在相同的迭代次數情況下，文中所提方法相比于ePIE方法具有更高的照明光場重建精度，高精度的照明光場有助于提高待測物體的重建精度.圖4給出了兩種方法對相同物體的重建精度.ePIE重建待測物的振幅和相位的RMS分別為0.111 6和0.343 8 rad，而文中所提方法分別為0.060 4和0.188 5 rad.這結論表明，在相同的迭代次數情況下，相比于ePIE方法，所提方法在振幅和相位重建精度上分別提高了45.88%和45.17%.以上結果表明，在相同的迭代次數情況下，所提方法可同時提高照明光場和待測物的重建精度.

圖4 50次迭代后兩種方法的重建結果比較

以上分析了重建精度，現分析兩種方法的收斂速度，采用圖2中的仿真數據以及式(3)中的均方根誤差(mean-squared error，MSE)評價收斂速度和重建精度.圖5比較了已知精確照明光場的PIE、ePIE和文中所提方法的MSE曲線.結果表明，文中所提方法的收斂速度比ePIE方法的更快，并與已知精確照明光的PIE方法的收斂速度接近.在同樣的迭代次數情況下，文中所提方法的MSE比ePIE的更小.為進一步對比收斂速度，問將MSE閾值TMSE設為終止條件，即當MSE值小于TMSE，迭代結束并且計算時間.在圖中，當達到閾值TMSE=0.001時，上述3種算法的耗時t分別為523.9，1991.2，1115.5 s.結果表面，已知精確照明光的PIE有最快的收斂速度，但在實驗過程中想要精確獲得照明光場需增加額外測量裝置，同時對環境、光源等穩定性要求高.文中所提方法相比于ePIE的收斂速度提高了43.98%，這說明以固定閾值TMSE為終止條件時，文中所提方法能有效提高收斂速度，縮短計算時間.

(3)

圖5 PIE、ePIE、文中方法的收斂速度

3 實驗驗證

圖6為實驗裝置，其中光源是波長為632.8 nm的He-Ne激光器；8位CCD相機(DMK 23G274)為1 600×1 200像素，像素尺寸為4.4 μm×4.4 μm；二維位移臺可實現相鄰位置的重疊掃描，掃描步長為0.2 mm，光闌的有效半徑為1.35 mm.光闌、物體和CCD之間的距離分別為10.8、65.3 mm.

圖6 實驗系統

圖7展示了標準分辨率版USAF 1951的重建結果、光闌形狀重建結果以及不同方法的MSE曲線的實驗結果.設置閾值TMSE=0.01作為終止條件，達到該終止條件時，文中所提方法和ePIE所需的迭代次數分別為52、87，相應的計算時間分別為1 745.8、2 661.1 s.圖7(a、b)是兩種算法的重建結果，因為終止條件為MSE，其不僅可描述收斂速度也可描述重建精度，當以相同MSE作為終止條件時，不同方法對應的重建質量是一致的.結果表明，物體重建達到同一質量和精度時，文中所提方法相比于ePIE，所需計算時間縮短了34.40%.這一結果證實了，所提方法能有效提升收斂速度，縮短計算時間.

圖7 分辨率版實驗結果

4 結論

(1) ePIE是PIE的擴展方法，其能夠同時重建物體和照明光場.因此，當精確光場很難精確已知時，它可以大大提高重建質量，增加其適用范圍.

(2)文中所述的自適應照明光場校正部分，可得到合理且與實際光場相接近的照明光場函數，精確的照明光場有助于提升收斂速度.

(3)仿真和實驗表明，在相同迭代下，文中所提方法相比ePIE有更高的重建精度.此外，在以MSE或重建質量為終止條件時，所提方法可減少迭代次數和計算時間來提高收斂速度.